Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcorevlem Unicode version

Theorem pcorevlem 18540
 Description: Lemma for pcorev 18541. Prove continuity of the homotopy function. (Contributed by Jeff Madsen, 11-Jun-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcorev.1
pcorev.2
pcorevlem.3
Assertion
Ref Expression
pcorevlem
Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,)

Proof of Theorem pcorevlem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcorev.1 . . . . 5
2 iitopon 18399 . . . . . . 7 TopOn
32a1i 10 . . . . . 6 TopOn
4 iirevcn 18444 . . . . . . 7
54a1i 10 . . . . . 6
6 id 19 . . . . . 6
73, 5, 6cnmpt11f 17374 . . . . 5
81, 7syl5eqel 2380 . . . 4
9 1elunit 10771 . . . . 5
10 oveq2 5882 . . . . . . . 8
11 1m1e0 9830 . . . . . . . 8
1210, 11syl6eq 2344 . . . . . . 7
1312fveq2d 5545 . . . . . 6
14 fvex 5555 . . . . . 6
1513, 1, 14fvmpt 5618 . . . . 5
169, 15mp1i 11 . . . 4
178, 6, 16pcocn 18531 . . 3
18 cntop2 16987 . . . . . 6
19 eqid 2296 . . . . . . 7
2019toptopon 16687 . . . . . 6 TopOn
2118, 20sylib 188 . . . . 5 TopOn
22 iiuni 18401 . . . . . . 7
2322, 19cnf 16992 . . . . . 6
24 ffvelrn 5679 . . . . . 6
2523, 9, 24sylancl 643 . . . . 5
26 pcorev.2 . . . . . 6
2726pcoptcl 18535 . . . . 5 TopOn
2821, 25, 27syl2anc 642 . . . 4
2928simp1d 967 . . 3
30 pcorevlem.3 . . . 4
31 eqid 2296 . . . . . 6
32 eqid 2296 . . . . . 6 t t
33 eqid 2296 . . . . . 6 t t
34 dfii2 18402 . . . . . 6 t
35 0re 8854 . . . . . . 7
3635a1i 10 . . . . . 6
37 1re 8853 . . . . . . 7
3837a1i 10 . . . . . 6
39 rehalfcl 9954 . . . . . . . . 9
4037, 39ax-mp 8 . . . . . . . 8
41 halfgt0 9948 . . . . . . . . 9
4235, 40, 41ltleii 8957 . . . . . . . 8
43 halflt1 9949 . . . . . . . . 9
4440, 37, 43ltleii 8957 . . . . . . . 8
4535, 37elicc2i 10732 . . . . . . . 8
4640, 42, 44, 45mpbir3an 1134 . . . . . . 7
4746a1i 10 . . . . . 6
48 simprl 732 . . . . . . . . . . 11
4948oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
50 2cn 9832 . . . . . . . . . . 11
51 2ne0 9845 . . . . . . . . . . 11
5250, 51recidi 9507 . . . . . . . . . 10
5349, 52syl6eq 2344 . . . . . . . . 9
5453oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12
5554, 11syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11
5655oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
57 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . 11
5857subid1i 9134 . . . . . . . . . 10
5956, 58syl6eq 2344 . . . . . . . . 9
6053, 59eqtr4d 2331 . . . . . . . 8
6160oveq2d 5890 . . . . . . 7
6261oveq2d 5890 . . . . . 6
63 retopon 18288 . . . . . . . . 9 TopOn
64 iccssre 10747 . . . . . . . . . 10
6535, 40, 64mp2an 653 . . . . . . . . 9
66 resttopon 16908 . . . . . . . . 9 TopOn t TopOn
6763, 65, 66mp2an 653 . . . . . . . 8 t TopOn
6867a1i 10 . . . . . . 7 t TopOn
6968, 3cnmpt2nd 17379 . . . . . . . . 9 t
70 oveq2 5882 . . . . . . . . 9
7168, 3, 69, 3, 5, 70cnmpt21 17381 . . . . . . . 8 t
7268, 3cnmpt1st 17378 . . . . . . . . 9 t t
7332iihalf1cn 18446 . . . . . . . . . 10 t
7473a1i 10 . . . . . . . . 9 t
75 oveq2 5882 . . . . . . . . 9
7668, 3, 72, 68, 74, 75cnmpt21 17381 . . . . . . . 8 t
77 iimulcn 18452 . . . . . . . . 9
7877a1i 10 . . . . . . . 8
79 oveq12 5883 . . . . . . . 8
8068, 3, 71, 76, 3, 3, 78, 79cnmpt22 17384 . . . . . . 7 t
81 oveq2 5882 . . . . . . 7
8268, 3, 80, 3, 5, 81cnmpt21 17381 . . . . . 6 t
83 iccssre 10747 . . . . . . . . . 10
8440, 37, 83mp2an 653 . . . . . . . . 9
85 resttopon 16908 . . . . . . . . 9 TopOn t TopOn
8663, 84, 85mp2an 653 . . . . . . . 8 t TopOn
8786a1i 10 . . . . . . 7 t TopOn
8887, 3cnmpt2nd 17379 . . . . . . . . 9 t
8987, 3, 88, 3, 5, 70cnmpt21 17381 . . . . . . . 8 t
9087, 3cnmpt1st 17378 . . . . . . . . . 10 t t
9133iihalf2cn 18448 . . . . . . . . . . 11 t
9291a1i 10 . . . . . . . . . 10 t
9375oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10
9487, 3, 90, 87, 92, 93cnmpt21 17381 . . . . . . . . 9 t
95 oveq2 5882 . . . . . . . . 9
9687, 3, 94, 3, 5, 95cnmpt21 17381 . . . . . . . 8 t
97 oveq12 5883 . . . . . . . 8
9887, 3, 89, 96, 3, 3, 78, 97cnmpt22 17384 . . . . . . 7 t
99 oveq2 5882 . . . . . . 7
10087, 3, 98, 3, 5, 99cnmpt21 17381 . . . . . 6 t
10131, 32, 33, 34, 36, 38, 47, 3, 62, 82, 100cnmpt2pc 18442 . . . . 5
1023, 3, 101, 6cnmpt21f 17382 . . . 4
10330, 102syl5eqel 2380 . . 3
104 simpr 447 . . . . 5
105 0elunit 10770 . . . . 5
106 simpl 443 . . . . . . . . 9
107106breq1d 4049 . . . . . . . 8
108 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12
109108oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11
110109, 58syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10
111106oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
112110, 111oveq12d 5892 . . . . . . . . 9
113112oveq2d 5890 . . . . . . . 8
114111oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11
115114oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
116110, 115oveq12d 5892 . . . . . . . . 9
117116oveq2d 5890 . . . . . . . 8
118107, 113, 117ifbieq12d 3600 . . . . . . 7
119118fveq2d 5545 . . . . . 6
120 fvex 5555 . . . . . 6
121119, 30, 120ovmpt2a 5994 . . . . 5
122104, 105, 121sylancl 643 . . . 4
123 iftrue 3584 . . . . . . . 8
124123adantl 452 . . . . . . 7
125124fveq2d 5545 . . . . . 6
126 elii1 18449 . . . . . . . 8
1278, 6pcoval1 18527 . . . . . . . . 9
128 iihalf1 18445 . . . . . . . . . . 11
129128adantl 452 . . . . . . . . . 10
130 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . 13
131130fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . 12
132 fvex 5555 . . . . . . . . . . . 12
133131, 1, 132fvmpt 5618 . . . . . . . . . . 11
134 iccssre 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
13535, 37, 134mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136135sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . 15
137136recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14
138137mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . 13
139138oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12
140139fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11
141133, 140eqtr4d 2331 . . . . . . . . . 10
142129, 141syl 15 . . . . . . . . 9
143127, 142eqtrd 2328 . . . . . . . 8
144126, 143sylan2br 462 . . . . . . 7
145144anassrs 629 . . . . . 6
146125, 145eqtr4d 2331 . . . . 5
147 iffalse 3585 . . . . . . . 8
148147adantl 452 . . . . . . 7
149148fveq2d 5545 . . . . . 6
150 elii2 18450 . . . . . . . 8
1518, 6, 16pcoval2 18530 . . . . . . . . 9
152 iihalf2 18447 . . . . . . . . . . . 12
153152adantl 452 . . . . . . . . . . 11
154135sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16
155154recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . 15
156 subcl 9067 . . . . . . . . . . . . . . 15
15757, 155, 156sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14
158157mulid2d 8869 . . . . . . . . . . . . 13
159158oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12
160 nncan 9092 . . . . . . . . . . . . 13
16157, 155, 160sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12
162159, 161eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . 11
163153, 162syl 15 . . . . . . . . . 10
164163fveq2d 5545 . . . . . . . . 9
165151, 164eqtrd 2328 . . . . . . . 8
166150, 165sylan2 460 . . . . . . 7
167166anassrs 629 . . . . . 6
168149, 167eqtr4d 2331 . . . . 5
169146, 168pm2.61dan 766 . . . 4
170122, 169eqtrd 2328 . . 3
171135sseli 3189 . . . . . . . . . . . . 13
172171recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12
173 mulcl 8837 . . . . . . . . . . . 12
17450, 172, 173sylancr 644 . . . . . . . . . . 11
175174adantl 452 . . . . . . . . . 10
176175mul02d 9026 . . . . . . . . 9
177176oveq2d 5890 . . . . . . . 8
178177, 58syl6eq 2344 . . . . . . 7
179 subcl 9067 . . . . . . . . . . . 12
180175, 57, 179sylancl 643 . . . . . . . . . . 11
18157, 180, 156sylancr 644 . . . . . . . . . 10
182181mul02d 9026 . . . . . . . . 9
183182oveq2d 5890 . . . . . . . 8
184183, 58syl6eq 2344 . . . . . . 7
185178, 184ifeq12d 3594 . . . . . 6
186 ifid 3610 . . . . . 6
187185, 186syl6eq 2344 . . . . 5
188187fveq2d 5545 . . . 4
189 simpl 443 . . . . . . . . 9
190189breq1d 4049 . . . . . . . 8
191 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12
192191oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11
193192, 11syl6eq 2344 . . . . . . . . . 10
194189oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
195193, 194oveq12d 5892 . . . . . . . . 9
196195oveq2d 5890 . . . . . . . 8
197194oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11
198197oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
199193, 198oveq12d 5892 . . . . . . . . 9
200199oveq2d 5890 . . . . . . . 8
201190, 196, 200ifbieq12d 3600 . . . . . . 7
202201fveq2d 5545 . . . . . 6
203 fvex 5555 . . . . . 6
204202, 30, 203ovmpt2a 5994 . . . . 5
205104, 9, 204sylancl 643 . . . 4
20626fveq1i 5542 . . . . 5
207 fvex 5555 . . . . . . 7
208207fvconst2 5745 . . . . . 6
209208adantl 452 . . . . 5
210206, 209syl5eq 2340 . . . 4
211188, 205, 2103eqtr4d 2338 . . 3
212 simpl 443 . . . . . . . . . . 11
213212, 42syl6eqbr 4076 . . . . . . . . . 10
214 iftrue 3584 . . . . . . . . . 10
215213, 214syl 15 . . . . . . . . 9
216 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12
217216oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11
218212oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12
21950mul01i 9018 . . . . . . . . . . . 12
220218, 219syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11
221217, 220oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10
222221oveq2d 5890 . . . . . . . . 9
223215, 222eqtrd 2328 . . . . . . . 8
224223fveq2d 5545 . . . . . . 7
225 fvex 5555 . . . . . . 7
226224, 30, 225ovmpt2a 5994 . . . . . 6
227105, 226mpan 651 . . . . 5
228 subcl 9067 . . . . . . . . . 10
22957, 172, 228sylancr 644 . . . . . . . . 9
230229mul01d 9027 . . . . . . . 8
231230oveq2d 5890 . . . . . . 7
232231, 58syl6eq 2344 . . . . . 6
233232fveq2d 5545 . . . . 5
234227, 233eqtrd 2328 . . . 4
2358, 6pco0 18528 . . . . 5
236 oveq2 5882 . . . . . . . . 9
237236, 58syl6eq 2344 . . . . . . . 8
238237fveq2d 5545 . . . . . . 7
239238, 1, 207fvmpt 5618 . . . . . 6
240105, 239ax-mp 8 . . . . 5
241235, 240syl6req 2345 . . . 4
242234, 241sylan9eqr 2350 . . 3
24340, 37ltnlei 8955 . . . . . . . . . . . 12
24443, 243mpbi 199 . . . . . . . . . . 11
245 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12
246245breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11
247244, 246mtbiri 294 . . . . . . . . . 10
248 iffalse 3585 . . . . . . . . . 10
249247, 248syl 15 . . . . . . . . 9
250 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12
251250oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11
252245oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16
25350mulid1i 8855 . . . . . . . . . . . . . . . 16
254252, 253syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15
255254oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14
256 1p1e2 9856 . . . . . . . . . . . . . . 15
25750, 57, 57, 256subaddrii 9151 . . . . . . . . . . . . . 14
258255, 257syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . 13
259258oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12
260259, 11syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11
261251, 260oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10
262261oveq2d 5890 . . . . . . . . 9
263249, 262eqtrd 2328 . . . . . . . 8
264263fveq2d 5545 . . . . . . 7
265264, 30, 225ovmpt2a 5994 . . . . . 6
2669, 265mpan 651 . . . . 5
267266, 233eqtrd 2328 . . . 4
2688, 6pco1 18529 . . . . 5
269268eqcomd 2301 . . . 4
270267, 269sylan9eqr 2350 . . 3
27117, 29, 103, 170, 211, 242, 270isphtpy2d 18501 . 2
272 ne0i 3474 . . . 4
273271, 272syl 15 . . 3
274 isphtpc 18508 . . 3
27517, 29, 273, 274syl3anbrc 1136 . 2
276271, 275jca 518 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459   wss 3165  c0 3468  cif 3578  csn 3653  cuni 3843   class class class wbr 4039   cmpt 4093   cxp 4703   crn 4706  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  c2 9811  cioo 10672  cicc 10675   ↾t crest 13341  ctg 13358  ctop 16647  TopOnctopon 16648   ccn 16970   ctx 17271  cii 18395  cphtpy 18482   cphtpc 18483  cpco 18514 This theorem is referenced by:  pcorev  18541 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-ii 18397  df-htpy 18484  df-phtpy 18485  df-phtpc 18506  df-pco 18519
 Copyright terms: Public domain W3C validator