Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcoval Structured version   Unicode version

Theorem pcoval 19037
 Description: The concatenation of two paths. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2
pcoval.3
Assertion
Ref Expression
pcoval
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem pcoval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcoval.2 . 2
2 pcoval.3 . 2
3 fveq1 5728 . . . . . 6
43adantr 453 . . . . 5
5 fveq1 5728 . . . . . 6
65adantl 454 . . . . 5
74, 6ifeq12d 3756 . . . 4
87mpteq2dv 4297 . . 3
9 pcofval 19036 . . 3
10 ovex 6107 . . . 4
1110mptex 5967 . . 3
128, 9, 11ovmpt2a 6205 . 2
131, 2, 12syl2anc 644 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  cif 3740   class class class wbr 4213   cmpt 4267  cfv 5455  (class class class)co 6082  cc0 8991  c1 8992   cmul 8996   cle 9122   cmin 9292   cdiv 9678  c2 10050  cicc 10920   ccn 17289  cii 18906  cpco 19026 This theorem is referenced by:  pcovalg  19038  pco1  19041  pcocn  19043  copco  19044  pcopt  19048  pcopt2  19049  pcoass  19050 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-map 7021  df-top 16964  df-topon 16967  df-cn 17292  df-pco 19031
 Copyright terms: Public domain W3C validator