Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcpremul Structured version   Unicode version

Theorem pcpremul 13248
 Description: Multiplicative property of the prime count pre-function. Note that the primality of is essential for this property; but . Since this is needed to show uniqueness for the real prime count function (over ), we don't bother to define it off the primes. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcpremul.1
pcpremul.2
pcpremul.3
Assertion
Ref Expression
pcpremul
Distinct variable groups:   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem pcpremul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmuz2 13128 . . . . . . 7
213ad2ant1 979 . . . . . 6
3 zmulcl 10355 . . . . . . . 8
43ad2ant2r 729 . . . . . . 7
543adant1 976 . . . . . 6
6 zcn 10318 . . . . . . . . 9
76anim1i 553 . . . . . . . 8
8 zcn 10318 . . . . . . . . 9
98anim1i 553 . . . . . . . 8
10 mulne0 9695 . . . . . . . 8
117, 9, 10syl2an 465 . . . . . . 7
12113adant1 976 . . . . . 6
13 eqid 2442 . . . . . . 7
1413pclem 13243 . . . . . 6
152, 5, 12, 14syl12anc 1183 . . . . 5
1615simp1d 970 . . . 4
1715simp3d 972 . . . 4
18 simp2l 984 . . . . . . . . 9
19 simp2r 985 . . . . . . . . 9
20 eqid 2442 . . . . . . . . . 10
21 pcpremul.1 . . . . . . . . . 10
2220, 21pcprecl 13244 . . . . . . . . 9
232, 18, 19, 22syl12anc 1183 . . . . . . . 8
2423simpld 447 . . . . . . 7
25 simp3l 986 . . . . . . . . 9
26 simp3r 987 . . . . . . . . 9
27 eqid 2442 . . . . . . . . . 10
28 pcpremul.2 . . . . . . . . . 10
2927, 28pcprecl 13244 . . . . . . . . 9
302, 25, 26, 29syl12anc 1183 . . . . . . . 8
3130simpld 447 . . . . . . 7
3224, 31nn0addcld 10309 . . . . . 6
33 prmnn 13113 . . . . . . . . . . 11
34333ad2ant1 979 . . . . . . . . . 10
3534nncnd 10047 . . . . . . . . 9
3635, 31, 24expaddd 11556 . . . . . . . 8
3723simprd 451 . . . . . . . . 9
3834, 24nnexpcld 11575 . . . . . . . . . . 11
3938nnzd 10405 . . . . . . . . . 10
4034, 31nnexpcld 11575 . . . . . . . . . . 11
4140nnzd 10405 . . . . . . . . . 10
42 dvdsmulc 12908 . . . . . . . . . 10
4339, 18, 41, 42syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
4437, 43mpd 15 . . . . . . . 8
4536, 44eqbrtrd 4257 . . . . . . 7
4630simprd 451 . . . . . . . 8
47 dvdscmul 12907 . . . . . . . . 9
4841, 25, 18, 47syl3anc 1185 . . . . . . . 8
4946, 48mpd 15 . . . . . . 7
5034, 32nnexpcld 11575 . . . . . . . . 9
5150nnzd 10405 . . . . . . . 8
5218, 41zmulcld 10412 . . . . . . . 8
53 dvdstr 12914 . . . . . . . 8
5451, 52, 5, 53syl3anc 1185 . . . . . . 7
5545, 49, 54mp2and 662 . . . . . 6
56 oveq2 6118 . . . . . . . 8
5756breq1d 4247 . . . . . . 7
5857elrab 3098 . . . . . 6
5932, 55, 58sylanbrc 647 . . . . 5
60 oveq2 6118 . . . . . . 7
6160breq1d 4247 . . . . . 6
6261cbvrabv 2961 . . . . 5
6359, 62syl6eleq 2532 . . . 4
64 suprzub 10598 . . . 4
6516, 17, 63, 64syl3anc 1185 . . 3
66 pcpremul.3 . . 3
6765, 66syl6breqr 4277 . 2
6820, 21pcprendvds2 13246 . . . . . 6
692, 18, 19, 68syl12anc 1183 . . . . 5
7027, 28pcprendvds2 13246 . . . . . 6
712, 25, 26, 70syl12anc 1183 . . . . 5
72 ioran 478 . . . . 5
7369, 71, 72sylanbrc 647 . . . 4
74 simp1 958 . . . . 5
7538nnne0d 10075 . . . . . . 7
76 dvdsval2 12886 . . . . . . 7
7739, 75, 18, 76syl3anc 1185 . . . . . 6
7837, 77mpbid 203 . . . . 5
7940nnne0d 10075 . . . . . . 7
80 dvdsval2 12886 . . . . . . 7
8141, 79, 25, 80syl3anc 1185 . . . . . 6
8246, 81mpbid 203 . . . . 5
83 euclemma 13139 . . . . 5
8474, 78, 82, 83syl3anc 1185 . . . 4
8573, 84mtbird 294 . . 3
8613, 66pcprecl 13244 . . . . . . 7
872, 5, 12, 86syl12anc 1183 . . . . . 6
8887simpld 447 . . . . 5
89 nn0ltp1le 10363 . . . . 5
9032, 88, 89syl2anc 644 . . . 4
9134nnzd 10405 . . . . . . 7
92 peano2nn0 10291 . . . . . . . 8
9332, 92syl 16 . . . . . . 7
94 dvdsexp 12936 . . . . . . . 8
95943expia 1156 . . . . . . 7
9691, 93, 95syl2anc 644 . . . . . 6
9787simprd 451 . . . . . . 7
9834, 93nnexpcld 11575 . . . . . . . . 9
9998nnzd 10405 . . . . . . . 8
10034, 88nnexpcld 11575 . . . . . . . . 9
101100nnzd 10405 . . . . . . . 8
102 dvdstr 12914 . . . . . . . 8
10399, 101, 5, 102syl3anc 1185 . . . . . . 7
10497, 103mpan2d 657 . . . . . 6
10596, 104syld 43 . . . . 5
10693nn0zd 10404 . . . . . 6
10788nn0zd 10404 . . . . . 6
108 eluz 10530 . . . . . 6
109106, 107, 108syl2anc 644 . . . . 5
11035, 32expp1d 11555 . . . . . . 7
11118zcnd 10407 . . . . . . . . . 10
11225zcnd 10407 . . . . . . . . . 10
113111, 112mulcld 9139 . . . . . . . . 9
11450nncnd 10047 . . . . . . . . 9
11550nnne0d 10075 . . . . . . . . 9
116113, 114, 115divcan2d 9823 . . . . . . . 8
11736oveq2d 6126 . . . . . . . . . 10
11838nncnd 10047 . . . . . . . . . . 11
11940nncnd 10047 . . . . . . . . . . 11
120111, 118, 112, 119, 75, 79divmuldivd 9862 . . . . . . . . . 10
121117, 120eqtr4d 2477 . . . . . . . . 9
122121oveq2d 6126 . . . . . . . 8
123116, 122eqtr3d 2476 . . . . . . 7
124110, 123breq12d 4250 . . . . . 6
12578, 82zmulcld 10412 . . . . . . 7
126 dvdscmulr 12909 . . . . . . 7
12791, 125, 51, 115, 126syl112anc 1189 . . . . . 6
128124, 127bitrd 246 . . . . 5
129105, 109, 1283imtr3d 260 . . . 4
13090, 129sylbid 208 . . 3
13185, 130mtod 171 . 2
13232nn0red 10306 . . 3
13388nn0red 10306 . . 3
134132, 133eqleltd 9248 . 2
13567, 131, 134mpbir2and 890 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1727   wne 2605  wral 2711  wrex 2712  crab 2715   wss 3306  c0 3613   class class class wbr 4237  cfv 5483  (class class class)co 6110  csup 7474  cc 9019  cr 9020  cc0 9021  c1 9022   caddc 9024   cmul 9026   clt 9151   cle 9152   cdiv 9708  cn 10031  c2 10080  cn0 10252  cz 10313  cuz 10519  cexp 11413   cdivides 12883  cprime 13110 This theorem is referenced by:  pceulem  13250  pcmul  13256 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-n0 10253  df-z 10314  df-uz 10520  df-rp 10644  df-fl 11233  df-mod 11282  df-seq 11355  df-exp 11414  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-dvds 12884  df-gcd 13038  df-prm 13111
 Copyright terms: Public domain W3C validator