MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprendvds Unicode version

Theorem pcprendvds 12990
Description: Non-divisibility property of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pclem.1  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
pclem.2  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
pcprendvds  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  -.  ( P ^ ( S  +  1 ) )  ||  N )
Distinct variable groups:    n, N    P, n
Allowed substitution hints:    A( n)    S( n)

Proof of Theorem pcprendvds
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pclem.1 . . . . 5  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
2 pclem.2 . . . . 5  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
31, 2pcprecl 12989 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( S  e.  NN0  /\  ( P ^ S
)  ||  N )
)
43simpld 445 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  S  e.  NN0 )
5 nn0re 10066 . . 3  |-  ( S  e.  NN0  ->  S  e.  RR )
6 ltp1 9684 . . . 4  |-  ( S  e.  RR  ->  S  <  ( S  +  1 ) )
7 peano2re 9075 . . . . 5  |-  ( S  e.  RR  ->  ( S  +  1 )  e.  RR )
8 ltnle 8992 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( S  +  1
)  e.  RR )  ->  ( S  < 
( S  +  1 )  <->  -.  ( S  +  1 )  <_  S ) )
97, 8mpdan 649 . . . 4  |-  ( S  e.  RR  ->  ( S  <  ( S  + 
1 )  <->  -.  ( S  +  1 )  <_  S ) )
106, 9mpbid 201 . . 3  |-  ( S  e.  RR  ->  -.  ( S  +  1
)  <_  S )
114, 5, 103syl 18 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  -.  ( S  +  1 )  <_  S )
121pclem 12988 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
13 peano2nn0 10096 . . . 4  |-  ( S  e.  NN0  ->  ( S  +  1 )  e. 
NN0 )
14 oveq2 5953 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( S  + 
1 )  ->  ( P ^ x )  =  ( P ^ ( S  +  1 ) ) )
1514breq1d 4114 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( S  + 
1 )  ->  (
( P ^ x
)  ||  N  <->  ( P ^ ( S  + 
1 ) )  ||  N ) )
16 oveq2 5953 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  x  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ x
) )
1716breq1d 4114 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  x  ->  (
( P ^ n
)  ||  N  <->  ( P ^ x )  ||  N ) )
1817cbvrabv 2863 . . . . . . 7  |-  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  N }  =  {
x  e.  NN0  | 
( P ^ x
)  ||  N }
191, 18eqtri 2378 . . . . . 6  |-  A  =  { x  e.  NN0  |  ( P ^ x
)  ||  N }
2015, 19elrab2 3001 . . . . 5  |-  ( ( S  +  1 )  e.  A  <->  ( ( S  +  1 )  e.  NN0  /\  ( P ^ ( S  + 
1 ) )  ||  N ) )
2120simplbi2 608 . . . 4  |-  ( ( S  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( P ^ ( S  +  1 ) ) 
||  N  ->  ( S  +  1 )  e.  A ) )
224, 13, 213syl 18 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( P ^
( S  +  1 ) )  ||  N  ->  ( S  +  1 )  e.  A ) )
23 suprzub 10401 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  ( S  + 
1 )  e.  A
)  ->  ( S  +  1 )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
2423, 2syl6breqr 4144 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  ( S  + 
1 )  e.  A
)  ->  ( S  +  1 )  <_  S )
25243expia 1153 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  ( ( S  +  1 )  e.  A  ->  ( S  +  1 )  <_  S ) )
26253adant2 974 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( ( S  +  1 )  e.  A  ->  ( S  +  1 )  <_  S ) )
2712, 22, 26sylsyld 52 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( P ^
( S  +  1 ) )  ||  N  ->  ( S  +  1 )  <_  S )
)
2811, 27mtod 168 1  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  -.  ( P ^ ( S  +  1 ) )  ||  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   A.wral 2619   E.wrex 2620   {crab 2623    C_ wss 3228   (/)c0 3531   class class class wbr 4104   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   supcsup 7283   RRcr 8826   0cc0 8827   1c1 8828    + caddc 8830    < clt 8957    <_ cle 8958   2c2 9885   NN0cn0 10057   ZZcz 10116   ZZ>=cuz 10322   ^cexp 11197    || cdivides 12628
This theorem is referenced by:  pcprendvds2  12991  pczndvds  13014
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-fl 11017  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-dvds 12629
  Copyright terms: Public domain W3C validator