MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprendvds Unicode version

Theorem pcprendvds 13173
Description: Non-divisibility property of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pclem.1  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
pclem.2  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
pcprendvds  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  -.  ( P ^ ( S  +  1 ) )  ||  N )
Distinct variable groups:    n, N    P, n
Allowed substitution hints:    A( n)    S( n)

Proof of Theorem pcprendvds
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pclem.1 . . . . 5  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
2 pclem.2 . . . . 5  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
31, 2pcprecl 13172 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( S  e.  NN0  /\  ( P ^ S
)  ||  N )
)
43simpld 446 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  S  e.  NN0 )
5 nn0re 10190 . . 3  |-  ( S  e.  NN0  ->  S  e.  RR )
6 ltp1 9808 . . . 4  |-  ( S  e.  RR  ->  S  <  ( S  +  1 ) )
7 peano2re 9199 . . . . 5  |-  ( S  e.  RR  ->  ( S  +  1 )  e.  RR )
8 ltnle 9115 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( S  +  1
)  e.  RR )  ->  ( S  < 
( S  +  1 )  <->  -.  ( S  +  1 )  <_  S ) )
97, 8mpdan 650 . . . 4  |-  ( S  e.  RR  ->  ( S  <  ( S  + 
1 )  <->  -.  ( S  +  1 )  <_  S ) )
106, 9mpbid 202 . . 3  |-  ( S  e.  RR  ->  -.  ( S  +  1
)  <_  S )
114, 5, 103syl 19 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  -.  ( S  +  1 )  <_  S )
121pclem 13171 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
13 peano2nn0 10220 . . . 4  |-  ( S  e.  NN0  ->  ( S  +  1 )  e. 
NN0 )
14 oveq2 6052 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( S  + 
1 )  ->  ( P ^ x )  =  ( P ^ ( S  +  1 ) ) )
1514breq1d 4186 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( S  + 
1 )  ->  (
( P ^ x
)  ||  N  <->  ( P ^ ( S  + 
1 ) )  ||  N ) )
16 oveq2 6052 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  x  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ x
) )
1716breq1d 4186 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  x  ->  (
( P ^ n
)  ||  N  <->  ( P ^ x )  ||  N ) )
1817cbvrabv 2919 . . . . . . 7  |-  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  N }  =  {
x  e.  NN0  | 
( P ^ x
)  ||  N }
191, 18eqtri 2428 . . . . . 6  |-  A  =  { x  e.  NN0  |  ( P ^ x
)  ||  N }
2015, 19elrab2 3058 . . . . 5  |-  ( ( S  +  1 )  e.  A  <->  ( ( S  +  1 )  e.  NN0  /\  ( P ^ ( S  + 
1 ) )  ||  N ) )
2120simplbi2 609 . . . 4  |-  ( ( S  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( P ^ ( S  +  1 ) ) 
||  N  ->  ( S  +  1 )  e.  A ) )
224, 13, 213syl 19 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( P ^
( S  +  1 ) )  ||  N  ->  ( S  +  1 )  e.  A ) )
23 suprzub 10527 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  ( S  + 
1 )  e.  A
)  ->  ( S  +  1 )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
2423, 2syl6breqr 4216 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  ( S  + 
1 )  e.  A
)  ->  ( S  +  1 )  <_  S )
25243expia 1155 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  ( ( S  +  1 )  e.  A  ->  ( S  +  1 )  <_  S ) )
26253adant2 976 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( ( S  +  1 )  e.  A  ->  ( S  +  1 )  <_  S ) )
2712, 22, 26sylsyld 54 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( P ^
( S  +  1 ) )  ||  N  ->  ( S  +  1 )  <_  S )
)
2811, 27mtod 170 1  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  -.  ( P ^ ( S  +  1 ) )  ||  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   E.wrex 2671   {crab 2674    C_ wss 3284   (/)c0 3592   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   supcsup 7407   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    < clt 9080    <_ cle 9081   2c2 10009   NN0cn0 10181   ZZcz 10242   ZZ>=cuz 10448   ^cexp 11341    || cdivides 12811
This theorem is referenced by:  pcprendvds2  13174  pczndvds  13197
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-sup 7408  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-rp 10573  df-fl 11161  df-seq 11283  df-exp 11342  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-dvds 12812
  Copyright terms: Public domain W3C validator