MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprendvds Structured version   Unicode version

Theorem pcprendvds 13219
Description: Non-divisibility property of the prime power pre-function. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pclem.1  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
pclem.2  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
Assertion
Ref Expression
pcprendvds  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  -.  ( P ^ ( S  +  1 ) )  ||  N )
Distinct variable groups:    n, N    P, n
Allowed substitution hints:    A( n)    S( n)

Proof of Theorem pcprendvds
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pclem.1 . . . . 5  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
2 pclem.2 . . . . 5  |-  S  =  sup ( A ,  RR ,  <  )
31, 2pcprecl 13218 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( S  e.  NN0  /\  ( P ^ S
)  ||  N )
)
43simpld 447 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  S  e.  NN0 )
5 nn0re 10235 . . 3  |-  ( S  e.  NN0  ->  S  e.  RR )
6 ltp1 9853 . . . 4  |-  ( S  e.  RR  ->  S  <  ( S  +  1 ) )
7 peano2re 9244 . . . . 5  |-  ( S  e.  RR  ->  ( S  +  1 )  e.  RR )
8 ltnle 9160 . . . . 5  |-  ( ( S  e.  RR  /\  ( S  +  1
)  e.  RR )  ->  ( S  < 
( S  +  1 )  <->  -.  ( S  +  1 )  <_  S ) )
97, 8mpdan 651 . . . 4  |-  ( S  e.  RR  ->  ( S  <  ( S  + 
1 )  <->  -.  ( S  +  1 )  <_  S ) )
106, 9mpbid 203 . . 3  |-  ( S  e.  RR  ->  -.  ( S  +  1
)  <_  S )
114, 5, 103syl 19 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  -.  ( S  +  1 )  <_  S )
121pclem 13217 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
13 peano2nn0 10265 . . . 4  |-  ( S  e.  NN0  ->  ( S  +  1 )  e. 
NN0 )
14 oveq2 6092 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( S  + 
1 )  ->  ( P ^ x )  =  ( P ^ ( S  +  1 ) ) )
1514breq1d 4225 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( S  + 
1 )  ->  (
( P ^ x
)  ||  N  <->  ( P ^ ( S  + 
1 ) )  ||  N ) )
16 oveq2 6092 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  x  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ x
) )
1716breq1d 4225 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  x  ->  (
( P ^ n
)  ||  N  <->  ( P ^ x )  ||  N ) )
1817cbvrabv 2957 . . . . . . 7  |-  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  N }  =  {
x  e.  NN0  | 
( P ^ x
)  ||  N }
191, 18eqtri 2458 . . . . . 6  |-  A  =  { x  e.  NN0  |  ( P ^ x
)  ||  N }
2015, 19elrab2 3096 . . . . 5  |-  ( ( S  +  1 )  e.  A  <->  ( ( S  +  1 )  e.  NN0  /\  ( P ^ ( S  + 
1 ) )  ||  N ) )
2120simplbi2 610 . . . 4  |-  ( ( S  +  1 )  e.  NN0  ->  ( ( P ^ ( S  +  1 ) ) 
||  N  ->  ( S  +  1 )  e.  A ) )
224, 13, 213syl 19 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( P ^
( S  +  1 ) )  ||  N  ->  ( S  +  1 )  e.  A ) )
23 suprzub 10572 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  ( S  + 
1 )  e.  A
)  ->  ( S  +  1 )  <_  sup ( A ,  RR ,  <  ) )
2423, 2syl6breqr 4255 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x  /\  ( S  + 
1 )  e.  A
)  ->  ( S  +  1 )  <_  S )
25243expia 1156 . . . 4  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )  ->  ( ( S  +  1 )  e.  A  ->  ( S  +  1 )  <_  S ) )
26253adant2 977 . . 3  |-  ( ( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x
)  ->  ( ( S  +  1 )  e.  A  ->  ( S  +  1 )  <_  S ) )
2712, 22, 26sylsyld 55 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( ( P ^
( S  +  1 ) )  ||  N  ->  ( S  +  1 )  <_  S )
)
2811, 27mtod 171 1  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  -.  ( P ^ ( S  +  1 ) )  ||  N )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   supcsup 7448   RRcr 8994   0cc0 8995   1c1 8996    + caddc 8998    < clt 9125    <_ cle 9126   2c2 10054   NN0cn0 10226   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ^cexp 11387    || cdivides 12857
This theorem is referenced by:  pcprendvds2  13220  pczndvds  13243
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-dvds 12858
  Copyright terms: Public domain W3C validator