MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcprmpw Structured version   Unicode version

Theorem pcprmpw 13258
Description: Self-referential expression for a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
pcprmpw  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  A  =  ( P ^
n )  <->  A  =  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, n    P, n

Proof of Theorem pcprmpw
StepHypRef Expression
1 prmz 13085 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
21adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  P  e.  ZZ )
3 zexpcl 11398 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( P ^ n
)  e.  ZZ )
42, 3sylan 459 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( P ^
n )  e.  ZZ )
5 iddvds 12865 . . . . . 6  |-  ( ( P ^ n )  e.  ZZ  ->  ( P ^ n )  ||  ( P ^ n ) )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( P ^
n )  ||  ( P ^ n ) )
7 breq1 4217 . . . . 5  |-  ( A  =  ( P ^
n )  ->  ( A  ||  ( P ^
n )  <->  ( P ^ n )  ||  ( P ^ n ) ) )
86, 7syl5ibrcom 215 . . . 4  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( A  =  ( P ^ n
)  ->  A  ||  ( P ^ n ) ) )
98reximdva 2820 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  A  =  ( P ^
n )  ->  E. n  e.  NN0  A  ||  ( P ^ n ) ) )
10 pcprmpw2 13257 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  A 
||  ( P ^
n )  <->  A  =  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) ) )
119, 10sylibd 207 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  A  =  ( P ^
n )  ->  A  =  ( P ^
( P  pCnt  A
) ) ) )
12 pccl 13225 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  A )  e. 
NN0 )
13 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( P  pCnt  A )  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )
1413eqeq2d 2449 . . . . 5  |-  ( n  =  ( P  pCnt  A )  ->  ( A  =  ( P ^
n )  <->  A  =  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) ) )
1514rspcev 3054 . . . 4  |-  ( ( ( P  pCnt  A
)  e.  NN0  /\  A  =  ( P ^ ( P  pCnt  A ) ) )  ->  E. n  e.  NN0  A  =  ( P ^
n ) )
1615ex 425 . . 3  |-  ( ( P  pCnt  A )  e.  NN0  ->  ( A  =  ( P ^
( P  pCnt  A
) )  ->  E. n  e.  NN0  A  =  ( P ^ n ) ) )
1712, 16syl 16 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( A  =  ( P ^ ( P  pCnt  A ) )  ->  E. n  e.  NN0  A  =  ( P ^ n ) ) )
1811, 17impbid 185 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  A  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  A  =  ( P ^
n )  <->  A  =  ( P ^ ( P 
pCnt  A ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2708   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   NNcn 10002   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ^cexp 11384    || cdivides 12854   Primecprime 13081    pCnt cpc 13212
This theorem is referenced by:  pgpfi1  15231  pgpfi  15241  pgpfi2  15242  fislw  15261
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-pc 13213
  Copyright terms: Public domain W3C validator