MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcrec Unicode version

Theorem pcrec 13152
Description: Prime power of a reciprocal. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
pcrec  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  (
1  /  A ) )  =  -u ( P  pCnt  A ) )

Proof of Theorem pcrec
StepHypRef Expression
1 1z 10236 . . . . . 6  |-  1  e.  ZZ
2 zq 10505 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  QQ )
31, 2ax-mp 8 . . . . 5  |-  1  e.  QQ
4 ax-1ne0 8985 . . . . 5  |-  1  =/=  0
53, 4pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( 1  e.  QQ  /\  1  =/=  0 )
6 pcqdiv 13151 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
1  e.  QQ  /\  1  =/=  0 )  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( 1  /  A
) )  =  ( ( P  pCnt  1
)  -  ( P 
pCnt  A ) ) )
75, 6mp3an2 1267 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  (
1  /  A ) )  =  ( ( P  pCnt  1 )  -  ( P  pCnt  A ) ) )
8 pc1 13149 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  1 )  =  0 )
98adantr 452 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  1
)  =  0 )
109oveq1d 6028 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( ( P  pCnt  1 )  -  ( P  pCnt  A ) )  =  ( 0  -  ( P  pCnt  A
) ) )
117, 10eqtrd 2412 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  (
1  /  A ) )  =  ( 0  -  ( P  pCnt  A ) ) )
12 df-neg 9219 . 2  |-  -u ( P  pCnt  A )  =  ( 0  -  ( P  pCnt  A ) )
1311, 12syl6eqr 2430 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( A  e.  QQ  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  (
1  /  A ) )  =  -u ( P  pCnt  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543  (class class class)co 6013   0cc0 8916   1c1 8917    - cmin 9216   -ucneg 9217    / cdiv 9602   ZZcz 10207   QQcq 10499   Primecprime 12999    pCnt cpc 13130
This theorem is referenced by:  pcexp  13153
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-q 10500  df-rp 10538  df-fl 11122  df-mod 11171  df-seq 11244  df-exp 11303  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961  df-dvds 12773  df-gcd 12927  df-prm 13000  df-pc 13131
  Copyright terms: Public domain W3C validator