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Theorem pcz 13244
Description: The prime count function can be used as an indicator that a given rational number is an integer. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcz  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  e.  ZZ  <->  A. p  e.  Prime  0  <_  (
p  pCnt  A )
) )
Distinct variable group:    A, p

Proof of Theorem pcz
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcge0 13225 . . . 4  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ )  ->  0  <_  ( p  pCnt  A
) )
21ancoms 440 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  Prime )  -> 
0  <_  ( p  pCnt  A ) )
32ralrimiva 2781 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A. p  e.  Prime  0  <_  (
p  pCnt  A )
)
4 elq 10566 . . 3  |-  ( A  e.  QQ  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  /  y ) )
5 nnz 10293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  ZZ )
6 dvds0 12855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  ||  0 )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN  ->  y  ||  0 )
87ad2antlr 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =  0 )  ->  y  ||  0 )
9 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =  0 )  ->  x  = 
0 )
108, 9breqtrrd 4230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =  0 )  ->  y  ||  x )
1110a1d 23 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =  0 )  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_ 
( p  pCnt  (
x  /  y ) )  ->  y  ||  x ) )
12 simpr 448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
13 simplll 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  x  e.  ZZ )
14 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  x  =/=  0 )
15 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  y  e.  NN )
16 pcdiv 13216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 )  /\  y  e.  NN )  ->  ( p  pCnt  (
x  /  y ) )  =  ( ( p  pCnt  x )  -  ( p  pCnt  y ) ) )
1712, 13, 14, 15, 16syl121anc 1189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  ( x  /  y ) )  =  ( ( p 
pCnt  x )  -  (
p  pCnt  y )
) )
1817breq2d 4216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
0  <_  ( p  pCnt  ( x  /  y
) )  <->  0  <_  ( ( p  pCnt  x
)  -  ( p 
pCnt  y ) ) ) )
19 pczcl 13212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0 ) )  ->  ( p  pCnt  x )  e.  NN0 )
2012, 13, 14, 19syl12anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  x )  e.  NN0 )
2120nn0red 10265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  x )  e.  RR )
2212, 15pccld 13214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  y )  e.  NN0 )
2322nn0red 10265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  pCnt  y )  e.  RR )
2421, 23subge0d 9606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
0  <_  ( (
p  pCnt  x )  -  ( p  pCnt  y ) )  <->  ( p  pCnt  y )  <_  (
p  pCnt  x )
) )
2518, 24bitrd 245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
0  <_  ( p  pCnt  ( x  /  y
) )  <->  ( p  pCnt  y )  <_  (
p  pCnt  x )
) )
2625ralbidva 2713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_ 
( p  pCnt  (
x  /  y ) )  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  <_  ( p  pCnt  x
) ) )
27 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  ZZ )
28 pc2dvds 13242 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  ||  x  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  y )  <_  ( p  pCnt  x
) ) )
295, 27, 28syl2anr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  ||  x  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  y )  <_  ( p  pCnt  x
) ) )
3029adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( y  ||  x  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  y )  <_  ( p  pCnt  x
) ) )
3126, 30bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_ 
( p  pCnt  (
x  /  y ) )  <->  y  ||  x
) )
3231biimpd 199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  /\  x  =/=  0
)  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_ 
( p  pCnt  (
x  /  y ) )  ->  y  ||  x ) )
3311, 32pm2.61dane 2676 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. p  e. 
Prime  0  <_  ( p 
pCnt  ( x  / 
y ) )  -> 
y  ||  x )
)
345adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  y  e.  ZZ )
35 nnne0 10022 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN  ->  y  =/=  0 )
3635adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  y  =/=  0 )
37 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  x  e.  ZZ )
38 dvdsval2 12845 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  y  =/=  0  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
y  ||  x  <->  ( x  /  y )  e.  ZZ ) )
3934, 36, 37, 38syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( y  ||  x  <->  ( x  /  y )  e.  ZZ ) )
4033, 39sylibd 206 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A. p  e. 
Prime  0  <_  ( p 
pCnt  ( x  / 
y ) )  -> 
( x  /  y
)  e.  ZZ ) )
41 oveq2 6081 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  (
p  pCnt  A )  =  ( p  pCnt  ( x  /  y ) ) )
4241breq2d 4216 . . . . . . 7  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  (
0  <_  ( p  pCnt  A )  <->  0  <_  ( p  pCnt  ( x  /  y ) ) ) )
4342ralbidv 2717 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_  ( p  pCnt  A )  <->  A. p  e.  Prime  0  <_  ( p  pCnt  ( x  /  y ) ) ) )
44 eleq1 2495 . . . . . 6  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A  e.  ZZ  <->  ( x  /  y )  e.  ZZ ) )
4543, 44imbi12d 312 . . . . 5  |-  ( A  =  ( x  / 
y )  ->  (
( A. p  e. 
Prime  0  <_  ( p 
pCnt  A )  ->  A  e.  ZZ )  <->  ( A. p  e.  Prime  0  <_ 
( p  pCnt  (
x  /  y ) )  ->  ( x  /  y )  e.  ZZ ) ) )
4640, 45syl5ibrcom 214 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  NN )  ->  ( A  =  ( x  /  y )  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_  (
p  pCnt  A )  ->  A  e.  ZZ ) ) )
4746rexlimivv 2827 . . 3  |-  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  A  =  ( x  / 
y )  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_  ( p  pCnt  A )  ->  A  e.  ZZ ) )
484, 47sylbi 188 . 2  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A. p  e.  Prime  0  <_  ( p  pCnt  A )  ->  A  e.  ZZ ) )
493, 48impbid2 196 1  |-  ( A  e.  QQ  ->  ( A  e.  ZZ  <->  A. p  e.  Prime  0  <_  (
p  pCnt  A )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   0cc0 8980    <_ cle 9111    - cmin 9281    / cdiv 9667   NNcn 9990   NN0cn0 10211   ZZcz 10272   QQcq 10564    || cdivides 12842   Primecprime 13069    pCnt cpc 13200
This theorem is referenced by:  pcmptdvds  13253  qexpz  13260
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-fz 11034  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-exp 11373  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-dvds 12843  df-gcd 12997  df-prm 13070  df-pc 13201
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