Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pczpre Structured version   Unicode version

Theorem pczpre 13213
 Description: Connect the prime count pre-function to the actual prime count function, when restricted to the integers. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
pczpre.1
Assertion
Ref Expression
pczpre
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem pczpre
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zq 10572 . . 3
2 eqid 2435 . . . 4
3 eqid 2435 . . . 4
42, 3pcval 13210 . . 3
51, 4sylanr1 634 . 2
6 simprl 733 . . . 4
76zcnd 10368 . . . . . 6
87div1d 9774 . . . . 5
98eqcomd 2440 . . . 4
10 prmuz2 13089 . . . . . . . 8
11 eqid 2435 . . . . . . . 8
12 eqid 2435 . . . . . . . . 9
13 eqid 2435 . . . . . . . . 9
1412, 13pcpre1 13208 . . . . . . . 8
1510, 11, 14sylancl 644 . . . . . . 7
1615adantr 452 . . . . . 6
1716oveq2d 6089 . . . . 5
18 eqid 2435 . . . . . . . . . 10
19 pczpre.1 . . . . . . . . . 10
2018, 19pcprecl 13205 . . . . . . . . 9
2110, 20sylan 458 . . . . . . . 8
2221simpld 446 . . . . . . 7
2322nn0cnd 10268 . . . . . 6
2423subid1d 9392 . . . . 5
2517, 24eqtr2d 2468 . . . 4
26 1nn 10003 . . . . 5
27 oveq1 6080 . . . . . . . 8
2827eqeq2d 2446 . . . . . . 7
29 breq2 4208 . . . . . . . . . . . 12
3029rabbidv 2940 . . . . . . . . . . 11
3130supeq1d 7443 . . . . . . . . . 10
3231, 19syl6eqr 2485 . . . . . . . . 9
3332oveq1d 6088 . . . . . . . 8
3433eqeq2d 2446 . . . . . . 7
3528, 34anbi12d 692 . . . . . 6
36 oveq2 6081 . . . . . . . 8
3736eqeq2d 2446 . . . . . . 7
38 breq2 4208 . . . . . . . . . . 11
3938rabbidv 2940 . . . . . . . . . 10
4039supeq1d 7443 . . . . . . . . 9
4140oveq2d 6089 . . . . . . . 8
4241eqeq2d 2446 . . . . . . 7
4337, 42anbi12d 692 . . . . . 6
4435, 43rspc2ev 3052 . . . . 5
4526, 44mp3an2 1267 . . . 4
466, 9, 25, 45syl12anc 1182 . . 3
47 ltso 9148 . . . . . 6
4847supex 7460 . . . . 5
4919, 48eqeltri 2505 . . . 4
502, 3pceu 13212 . . . . 5
511, 50sylanr1 634 . . . 4
52 eqeq1 2441 . . . . . . 7
5352anbi2d 685 . . . . . 6
54532rexbidv 2740 . . . . 5
5554iota2 5436 . . . 4
5649, 51, 55sylancr 645 . . 3
5746, 56mpbid 202 . 2
585, 57eqtrd 2467 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  weu 2280   wne 2598  wrex 2698  crab 2701  cvv 2948   class class class wbr 4204  cio 5408  cfv 5446  (class class class)co 6073  csup 7437  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   clt 9112   cmin 9283   cdiv 9669  cn 9992  c2 10041  cn0 10213  cz 10274  cuz 10480  cq 10566  cexp 11374   cdivides 12844  cprime 13071   cpc 13202 This theorem is referenced by:  pczcl  13214  pcmul  13217  pcdiv  13218  pc1  13221  pczdvds  13228  pczndvds  13230  pczndvds2  13232  pcneg  13239 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-pc 13203
 Copyright terms: Public domain W3C validator