MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano1 Unicode version

Theorem peano1 4647
Description: Zero is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: Unlike most textbooks, our proofs of peano1 4647 through peano5 4651 do not use the Axiom of Infinity. Unlike Takeuti and Zaring, they also do not use the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
peano1  |-  (/)  e.  om

Proof of Theorem peano1
StepHypRef Expression
1 limom 4643 . 2  |-  Lim  om
2 0ellim 4426 . 2  |-  ( Lim 
om  ->  (/)  e.  om )
31, 2ax-mp 10 1  |-  (/)  e.  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1621   (/)c0 3430   Lim wlim 4365   omcom 4628
This theorem is referenced by:  onnseq  6329  rdg0  6402  fr0g  6416  seqomlem3  6432  oa1suc  6498  om1  6508  oe1  6510  nna0r  6575  nnm0r  6576  nnmcl  6578  nnecl  6579  nnmsucr  6591  nnaword1  6595  nnaordex  6604  1onn  6605  oaabs2  6611  nnm1  6614  nneob  6618  omopth  6624  snfi  6909  0sdom1dom  7028  0fin  7055  findcard2  7066  nnunifi  7076  unblem2  7078  infn0  7087  unfilem3  7091  dffi3  7152  inf0  7290  infeq5i  7305  axinf2  7309  dfom3  7316  infdifsn  7325  noinfep  7328  noinfepOLD  7329  cantnflt  7341  cnfcomlem  7370  cnfcom  7371  cnfcom2lem  7372  cnfcom3lem  7374  cnfcom3  7375  trcl  7378  rankdmr1  7441  rankeq0b  7500  cardlim  7573  infxpenc  7613  infxpenc2  7617  alephgeom  7677  alephfplem4  7702  ackbij1lem13  7826  ackbij1  7832  ackbij1b  7833  ominf4  7906  fin23lem16  7929  fin23lem31  7937  fin23lem40  7945  isf32lem9  7955  isf34lem7  7973  isf34lem6  7974  fin1a2lem6  7999  fin1a2lem7  8000  fin1a2lem11  8004  axdc3lem2  8045  axdc3lem4  8047  axdc4lem  8049  axcclem  8051  axdclem2  8115  pwfseqlem5  8253  omina  8281  wunexALT  8331  1lt2pi  8497  1nn  9725  om2uzrani  10981  uzrdg0i  10988  fzennn  10996  axdc4uzlem  11010  hash1  11335  ltbwe  16176  2ndcdisj2  17145  trpredpred  23600  0hf  24182  neibastop2lem  25676
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-br 3998  df-opab 4052  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629
  Copyright terms: Public domain W3C validator