MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano1 Structured version   Unicode version

Theorem peano1 4866
Description: Zero is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(1) of [TakeutiZaring] p. 42. Note: Unlike most textbooks, our proofs of peano1 4866 through peano5 4870 do not use the Axiom of Infinity. Unlike Takeuti and Zaring, they also do not use the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 15-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
peano1  |-  (/)  e.  om

Proof of Theorem peano1
StepHypRef Expression
1 limom 4862 . 2  |-  Lim  om
2 0ellim 4645 . 2  |-  ( Lim 
om  ->  (/)  e.  om )
31, 2ax-mp 8 1  |-  (/)  e.  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1726   (/)c0 3630   Lim wlim 4584   omcom 4847
This theorem is referenced by:  onnseq  6608  rdg0  6681  fr0g  6695  seqomlem3  6711  oa1suc  6777  om1  6787  oe1  6789  nna0r  6854  nnm0r  6855  nnmcl  6857  nnecl  6858  nnmsucr  6870  nnaword1  6874  nnaordex  6883  1onn  6884  oaabs2  6890  nnm1  6893  nneob  6897  omopth  6903  snfi  7189  0sdom1dom  7308  0fin  7338  findcard2  7350  nnunifi  7360  unblem2  7362  infn0  7371  unfilem3  7375  dffi3  7438  inf0  7578  infeq5i  7593  axinf2  7597  dfom3  7604  infdifsn  7613  noinfep  7616  noinfepOLD  7617  cantnflt  7629  cnfcomlem  7658  cnfcom  7659  cnfcom2lem  7660  cnfcom3lem  7662  cnfcom3  7663  trcl  7666  rankdmr1  7729  rankeq0b  7788  cardlim  7861  infxpenc  7901  infxpenc2  7905  alephgeom  7965  alephfplem4  7990  ackbij1lem13  8114  ackbij1  8120  ackbij1b  8121  ominf4  8194  fin23lem16  8217  fin23lem31  8225  fin23lem40  8233  isf32lem9  8243  isf34lem7  8261  isf34lem6  8262  fin1a2lem6  8287  fin1a2lem7  8288  fin1a2lem11  8292  axdc3lem2  8333  axdc3lem4  8335  axdc4lem  8337  axcclem  8339  axdclem2  8402  pwfseqlem5  8540  omina  8568  wunex3  8618  1lt2pi  8784  1nn  10013  om2uzrani  11294  uzrdg0i  11301  fzennn  11309  axdc4uzlem  11323  hash1  11675  ltbwe  16535  2ndcdisj2  17522  snct  24105  trpredpred  25508  0hf  26120  neibastop2lem  26391
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848
  Copyright terms: Public domain W3C validator