Theorem peano2 3150

Description: The successor of any natural number is a natural number. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(2) of [TakeutiZaring] p. 42.

Assertion

Ref	Expression
peano2	|- (A e. om -> suc A e. om)

Proof of Theorem peano2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2b 3147	. 2 |- (A e. om <-> suc A e. om)
2	1	biimp 151	1 |- (A e. om -> suc A e. om)

Syntax hints:   -> wi 3   e. wcel 958  suc csuc 2950  omcom 3131

This theorem is referenced by:  nnacl 4229  nnecl 4231  1onn 4253  2onn 4254  unbnn2 4545  axinf2 4624  dfom3 4630  noinfep 4640  trcl 4645  alephfp 4900  om2uzran 6300  uzrdgsuc 6304  top2usne 10549

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132

Copyright terms: Public domain