MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2b Structured version   Unicode version

Theorem peano2b 4863
Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)
Assertion
Ref Expression
peano2b  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )

Proof of Theorem peano2b
StepHypRef Expression
1 limom 4862 . 2  |-  Lim  om
2 limsuc 4831 . 2  |-  ( Lim 
om  ->  ( A  e. 
om 
<->  suc  A  e.  om ) )
31, 2ax-mp 8 1  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    e. wcel 1726   Lim wlim 4584   suc csuc 4585   omcom 4847
This theorem is referenced by:  nnsuc  4864  peano2  4867  peano5  4870  frsuc  6696  frsucmptn  6698  nnaordi  6863  nnmsucr  6870  omsmolem  6898  php  7293  php4  7296  omsucdomOLD  7304  unblem1  7361  isfinite2  7367  inf0  7578  inf3lem1  7585  inf3lem5  7589  cantnfp1lem3  7638  cantnflem1  7647  itunisuc  8301  ituniiun  8304  indpi  8786
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-br 4215  df-opab 4269  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848
  Copyright terms: Public domain W3C validator