MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2b Unicode version

Theorem peano2b 4688
Description: A class belongs to omega iff its successor does. (Contributed by NM, 3-Dec-1995.)
Assertion
Ref Expression
peano2b  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )

Proof of Theorem peano2b
StepHypRef Expression
1 limom 4687 . 2  |-  Lim  om
2 limsuc 4656 . 2  |-  ( Lim 
om  ->  ( A  e. 
om 
<->  suc  A  e.  om ) )
31, 2ax-mp 8 1  |-  ( A  e.  om  <->  suc  A  e. 
om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    e. wcel 1696   Lim wlim 4409   suc csuc 4410   omcom 4672
This theorem is referenced by:  nnsuc  4689  peano2  4692  peano5  4695  frsuc  6465  frsucmptn  6467  nnaordi  6632  nnmsucr  6639  omsmolem  6667  php  7061  php4  7064  omsucdomOLD  7072  unblem1  7125  isfinite2  7131  inf0  7338  inf3lem1  7345  inf3lem5  7349  cantnfp1lem3  7398  cantnflem1  7407  itunisuc  8061  ituniiun  8064  indpi  8547
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673
  Copyright terms: Public domain W3C validator