MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nn Unicode version

Theorem peano2nn 9774
Description: Peano postulate: a successor of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
peano2nn  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem peano2nn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 6463 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om
2 fvelrnb 5586 . . . 4  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om  ->  ( A  e.  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  <->  E. y  e.  om  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  A ) )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  ( A  e.  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  <->  E. y  e.  om  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  A )
4 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  +  1 )  e.  _V
5 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om )
6 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
7 oveq1 5881 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  ->  (
z  +  1 )  =  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 ) )
85, 6, 7frsucmpt2 6468 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 )  e.  _V )  ->  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  y )  =  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 ) )
94, 8mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  y )  =  ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 ) )
10 peano2 4692 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
11 fnfvelrn 5678 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om  /\ 
suc  y  e.  om )  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  y )  e. 
ran  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om )
)
121, 10, 11sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  y )  e.  ran  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) )
13 df-nn 9763 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 ) " om )
14 df-ima 4718 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 ) " om )  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )
1513, 14eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  NN  =  ran  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
1612, 15syl6eleqr 2387 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  y )  e.  NN )
179, 16eqeltrrd 2371 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 )  e.  NN )
18 oveq1 5881 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  A  -> 
( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 )  =  ( A  +  1 ) )
1918eleq1d 2362 . . . . 5  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  A  -> 
( ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 )  e.  NN  <->  ( A  + 
1 )  e.  NN ) )
2017, 19syl5ibcom 211 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  =  A  ->  ( A  + 
1 )  e.  NN ) )
2120rexlimiv 2674 . . 3  |-  ( E. y  e.  om  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  A  -> 
( A  +  1 )  e.  NN )
223, 21sylbi 187 . 2  |-  ( A  e.  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
2322, 15eleq2s 2388 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    e. cmpt 4093   suc csuc 4410   omcom 4672   ran crn 4706    |` cres 4707   "cima 4708    Fn wfn 5266   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   reccrdg 6438   1c1 8754    + caddc 8756   NNcn 9762
This theorem is referenced by:  dfnn2  9775  dfnn3  9776  peano2nnd  9779  nnind  9780  nnaddcl  9784  2nn  9893  3nn  9894  4nn  9895  5nn  9896  6nn  9897  7nn  9898  8nn  9899  9nn  9900  10nn  9901  nnunb  9977  nneo  10111  ser1const  11118  expp1  11126  facp1  11309  isercolllem1  12154  isercoll2  12158  climcndslem2  12325  climcnds  12326  harmonic  12333  trireciplem  12336  trirecip  12337  rpnnen2lem9  12517  sqr2irr  12543  rplpwr  12751  prmind2  12785  eulerthlem2  12866  pcmpt  12956  pockthi  12970  prmreclem6  12984  dec5nprm  13097  mulgnnp1  14591  1stcfb  17187  bcthlem3  18764  bcthlem4  18765  ovolunlem1a  18871  ovolicc2lem4  18895  voliunlem1  18923  volsup  18929  volsup2  18976  itg1climres  19085  mbfi1fseqlem5  19090  itg2monolem1  19121  itg2i1fseqle  19125  itg2i1fseq  19126  itg2i1fseq2  19127  itg2addlem  19129  itg2gt0  19131  itg2cnlem1  19132  aaliou3lem7  19745  emcllem1  20305  emcllem2  20306  emcllem3  20307  emcllem5  20309  emcllem6  20310  emcllem7  20311  bclbnd  20535  bposlem5  20543  2sqlem10  20629  dchrisumlem2  20655  logdivbnd  20721  pntrsumo1  20730  pntrsumbnd  20731  gxnn0suc  20947  opsqrlem5  22740  opsqrlem6  22741  esumpmono  23462  zetacvg  23704  subfacp1lem6  23731  subfaclim  23734  faclimlem3  24119  faclimlem4  24120  faclimlem5  24121  faclimlem9  24125  faclim  24126  nn0prpwlem  26341  seqpo  26560  incsequz  26561  incsequz2  26562  geomcau  26578  heiborlem6  26643  bfplem1  26649  jm2.27dlem4  27208  stoweidlem20  27872  wallispilem4  27920  wallispi2lem1  27923  wallispi2lem2  27924  stirlinglem4  27929  stirlinglem8  27933  stirlinglem11  27936  stirlinglem12  27937  stirlinglem13  27938
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-nn 9763
  Copyright terms: Public domain W3C validator