MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nn Unicode version

Theorem peano2nn 9758
Description: Peano postulate: a successor of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 11-Jan-1997.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
peano2nn  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem peano2nn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frfnom 6447 . . . 4  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om
2 fvelrnb 5570 . . . 4  |-  ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om  ->  ( A  e.  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  <->  E. y  e.  om  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  A ) )
31, 2ax-mp 8 . . 3  |-  ( A  e.  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  <->  E. y  e.  om  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  A )
4 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  +  1 )  e.  _V
5 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  =  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om )
6 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  x  ->  (
z  +  1 )  =  ( x  + 
1 ) )
7 oveq1 5865 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  ->  (
z  +  1 )  =  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 ) )
85, 6, 7frsucmpt2 6452 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  om  /\  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 )  e.  _V )  ->  ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  y )  =  ( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 ) )
94, 8mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  y )  =  ( ( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 ) )
10 peano2 4676 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  suc  y  e.  om )
11 fnfvelrn 5662 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )  Fn  om  /\ 
suc  y  e.  om )  ->  ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  y )  e. 
ran  ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om )
)
121, 10, 11sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  y )  e.  ran  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) )
13 df-nn 9747 . . . . . . . 8  |-  NN  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 ) " om )
14 df-ima 4702 . . . . . . . 8  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 ) " om )  =  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )
1513, 14eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  NN  =  ran  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om )
1612, 15syl6eleqr 2374 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  suc  y )  e.  NN )
179, 16eqeltrrd 2358 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 )  e.  NN )
18 oveq1 5865 . . . . . 6  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  A  -> 
( ( ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 )  =  ( A  +  1 ) )
1918eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  A  -> 
( ( ( ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  +  1 )  e.  NN  <->  ( A  + 
1 )  e.  NN ) )
2017, 19syl5ibcom 211 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  (
( ( rec (
( x  e.  _V  |->  ( x  +  1
) ) ,  1 )  |`  om ) `  y )  =  A  ->  ( A  + 
1 )  e.  NN ) )
2120rexlimiv 2661 . . 3  |-  ( E. y  e.  om  (
( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  1 )  |`  om ) `  y
)  =  A  -> 
( A  +  1 )  e.  NN )
223, 21sylbi 187 . 2  |-  ( A  e.  ran  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  1 )  |`  om )  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
2322, 15eleq2s 2375 1  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    e. cmpt 4077   suc csuc 4394   omcom 4656   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   reccrdg 6422   1c1 8738    + caddc 8740   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  dfnn2  9759  dfnn3  9760  peano2nnd  9763  nnind  9764  nnaddcl  9768  2nn  9877  3nn  9878  4nn  9879  5nn  9880  6nn  9881  7nn  9882  8nn  9883  9nn  9884  10nn  9885  nnunb  9961  nneo  10095  ser1const  11102  expp1  11110  facp1  11293  isercolllem1  12138  isercoll2  12142  climcndslem2  12309  climcnds  12310  harmonic  12317  trireciplem  12320  trirecip  12321  rpnnen2lem9  12501  sqr2irr  12527  rplpwr  12735  prmind2  12769  eulerthlem2  12850  pcmpt  12940  pockthi  12954  prmreclem6  12968  dec5nprm  13081  mulgnnp1  14575  1stcfb  17171  bcthlem3  18748  bcthlem4  18749  ovolunlem1a  18855  ovolicc2lem4  18879  voliunlem1  18907  volsup  18913  volsup2  18960  itg1climres  19069  mbfi1fseqlem5  19074  itg2monolem1  19105  itg2i1fseqle  19109  itg2i1fseq  19110  itg2i1fseq2  19111  itg2addlem  19113  itg2gt0  19115  itg2cnlem1  19116  aaliou3lem7  19729  emcllem1  20289  emcllem2  20290  emcllem3  20291  emcllem5  20293  emcllem6  20294  emcllem7  20295  bclbnd  20519  bposlem5  20527  2sqlem10  20613  dchrisumlem2  20639  logdivbnd  20705  pntrsumo1  20714  pntrsumbnd  20715  gxnn0suc  20931  opsqrlem5  22724  opsqrlem6  22725  esumpmono  23447  zetacvg  23689  subfacp1lem6  23716  subfaclim  23719  nn0prpwlem  26238  seqpo  26457  incsequz  26458  incsequz2  26459  geomcau  26475  heiborlem6  26540  bfplem1  26546  jm2.27dlem4  27105  stoweidlem20  27769  wallispilem4  27817  wallispi2lem1  27820  wallispi2lem2  27821  stirlinglem4  27826  stirlinglem8  27830  stirlinglem11  27833  stirlinglem12  27834  stirlinglem13  27835
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747
  Copyright terms: Public domain W3C validator