MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nn0 Structured version   Unicode version

Theorem peano2nn0 10250
Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2nn0  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0
StepHypRef Expression
1 1nn0 10227 . 2  |-  1  e.  NN0
2 nn0addcl 10245 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
31, 2mpan2 653 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1725  (class class class)co 6073   1c1 8981    + caddc 8983   NN0cn0 10211
This theorem is referenced by:  leexp2r  11427  expnbnd  11498  facdiv  11568  facwordi  11570  faclbnd  11571  faclbnd2  11572  faclbnd3  11573  faclbnd6  11580  bcnp1n  11595  bcp1m1  11601  bcpasc  11602  hashfz  11682  hashf1  11696  brfi1indlem  11704  brfi1uzind  11705  swrds2  11870  iseraltlem2  12466  bcxmas  12605  climcndslem1  12619  climcnds  12621  geolim  12637  geo2sum  12640  mertenslem1  12651  mertenslem2  12652  mertens  12653  efcllem  12670  eftlub  12700  efsep  12701  effsumlt  12702  ruclem9  12827  bitsp1  12933  sadcp1  12957  smuval2  12984  smu01lem  12987  smup1  12991  nn0seqcvgd  13051  algcvg  13057  nonsq  13141  iserodd  13199  pcprendvds  13204  pcpremul  13207  pcdvdsb  13232  4sqlem11  13313  vdwapun  13332  vdwlem1  13339  vdwlem9  13347  ramub1  13386  ramcl  13387  decexp2  13401  sylow1lem3  15224  efgsfo  15361  efgred  15370  cpnord  19811  ply1divex  20049  fta1glem1  20078  fta1glem2  20079  fta1g  20080  plyco0  20101  plyaddlem1  20122  plymullem1  20123  plyco  20150  dvply1  20191  dvply2g  20192  aaliou3lem8  20252  aaliou3lem9  20257  dvtaylp  20276  dvradcnv  20327  pserdvlem2  20334  advlogexp  20536  atantayl3  20769  leibpi  20772  log2cnv  20774  ftalem4  20848  ftalem5  20849  perfectlem1  21003  bcp1ctr  21053  dchrisum0flblem1  21192  ostth2lem2  21318  ostth2lem3  21319  eupap1  21688  eupath2lem3  21691  eupath2  21692  subfacval2  24863  erdsze2lem1  24879  risefacp1  25335  fallfacp1  25336  binomfallfaclem1  25345  binomfallfaclem2  25346  fsumkthpow  26067  heiborlem3  26476  heiborlem4  26477  heiborlem6  26479  2rexfrabdioph  26810  elnn0rabdioph  26817  dvdsrabdioph  26824  jm2.17a  26979  jm2.17b  26980  expdiophlem1  27046  expdiophlem2  27047  hbt  27266  stoweidlem17  27697  wallispilem1  27745  stirlinglem5  27758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-ltxr 9115  df-nn 9991  df-n0 10212
  Copyright terms: Public domain W3C validator