MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nn0 Unicode version

Theorem peano2nn0 10185
Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2nn0  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0
StepHypRef Expression
1 1nn0 10162 . 2  |-  1  e.  NN0
2 nn0addcl 10180 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
31, 2mpan2 653 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717  (class class class)co 6013   1c1 8917    + caddc 8919   NN0cn0 10146
This theorem is referenced by:  leexp2r  11357  expnbnd  11428  facdiv  11498  facwordi  11500  faclbnd  11501  faclbnd2  11502  faclbnd3  11503  faclbnd6  11510  bcnp1n  11525  bcp1m1  11531  bcpasc  11532  hashfz  11612  hashf1  11626  brfi1indlem  11634  brfi1uzind  11635  swrds2  11800  iseraltlem2  12396  bcxmas  12535  climcndslem1  12549  climcnds  12551  geolim  12567  geo2sum  12570  mertenslem1  12581  mertenslem2  12582  mertens  12583  efcllem  12600  eftlub  12630  efsep  12631  effsumlt  12632  ruclem9  12757  bitsp1  12863  sadcp1  12887  smuval2  12914  smu01lem  12917  smup1  12921  nn0seqcvgd  12981  algcvg  12987  nonsq  13071  iserodd  13129  pcprendvds  13134  pcpremul  13137  pcdvdsb  13162  4sqlem11  13243  vdwapun  13262  vdwlem1  13269  vdwlem9  13277  ramub1  13316  ramcl  13317  decexp2  13331  sylow1lem3  15154  efgsfo  15291  efgred  15300  cpnord  19681  ply1divex  19919  fta1glem1  19948  fta1glem2  19949  fta1g  19950  plyco0  19971  plyaddlem1  19992  plymullem1  19993  plyco  20020  dvply1  20061  dvply2g  20062  aaliou3lem8  20122  aaliou3lem9  20127  dvtaylp  20146  dvradcnv  20197  pserdvlem2  20204  advlogexp  20406  atantayl3  20639  leibpi  20642  log2cnv  20644  ftalem4  20718  ftalem5  20719  perfectlem1  20873  bcp1ctr  20923  dchrisum0flblem1  21062  ostth2lem2  21188  ostth2lem3  21189  eupap1  21539  eupath2lem3  21542  eupath2  21543  subfacval2  24645  erdsze2lem1  24661  risefacp1  25106  fallfacp1  25107  fsumkthpow  25809  heiborlem3  26206  heiborlem4  26207  heiborlem6  26209  2rexfrabdioph  26540  elnn0rabdioph  26547  dvdsrabdioph  26554  jm2.17a  26709  jm2.17b  26710  expdiophlem1  26776  expdiophlem2  26777  hbt  26996  stoweidlem17  27427  wallispilem1  27475  stirlinglem5  27488
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-ltxr 9051  df-nn 9926  df-n0 10147
  Copyright terms: Public domain W3C validator