MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nn0 Unicode version

Theorem peano2nn0 10020
Description: Second Peano postulate for nonnegative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2nn0  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )

Proof of Theorem peano2nn0
StepHypRef Expression
1 1nn0 9997 . 2  |-  1  e.  NN0
2 nn0addcl 10015 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  1  e.  NN0 )  -> 
( N  +  1 )  e.  NN0 )
31, 2mpan2 652 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( N  +  1 )  e. 
NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   1c1 8754    + caddc 8756   NN0cn0 9981
This theorem is referenced by:  leexp2r  11175  expnbnd  11246  facdiv  11316  facwordi  11318  faclbnd  11319  faclbnd2  11320  faclbnd3  11321  faclbnd6  11328  bcnp1n  11342  bcp1m1  11348  bcpasc  11349  hashfz  11397  hashf1  11411  swrds2  11576  iseraltlem2  12171  bcxmas  12310  climcndslem1  12324  climcnds  12326  geolim  12342  geo2sum  12345  mertenslem1  12356  mertenslem2  12357  mertens  12358  efcllem  12375  eftlub  12405  efsep  12406  effsumlt  12407  ruclem9  12532  bitsp1  12638  sadcp1  12662  smuval2  12689  smu01lem  12692  smup1  12696  nn0seqcvgd  12756  algcvg  12762  nonsq  12846  iserodd  12904  pcprendvds  12909  pcpremul  12912  pcdvdsb  12937  4sqlem11  13018  vdwapun  13037  vdwlem1  13044  vdwlem9  13052  ramub1  13091  ramcl  13092  decexp2  13106  sylow1lem3  14927  efgsfo  15064  efgred  15073  cpnord  19300  ply1divex  19538  fta1glem1  19567  fta1glem2  19568  fta1g  19569  plyco0  19590  plyaddlem1  19611  plymullem1  19612  plyco  19639  dvply1  19680  dvply2g  19681  aaliou3lem8  19741  aaliou3lem9  19746  dvtaylp  19765  dvradcnv  19813  pserdvlem2  19820  advlogexp  20018  atantayl3  20251  leibpi  20254  log2cnv  20256  ftalem4  20329  ftalem5  20330  perfectlem1  20484  bcp1ctr  20534  dchrisum0flblem1  20673  ostth2lem2  20799  ostth2lem3  20800  subfacval2  23733  erdsze2lem1  23749  eupap1  23915  eupath2lem3  23918  eupath2  23919  faclimlem9  24125  fsumkthpow  24863  heiborlem3  26640  heiborlem4  26641  heiborlem6  26643  2rexfrabdioph  26980  elnn0rabdioph  26987  dvdsrabdioph  26994  jm2.17a  27150  jm2.17b  27151  expdiophlem1  27217  expdiophlem2  27218  hbt  27437  stoweidlem17  27869  wallispilem1  27917  stirlinglem5  27930
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-ltxr 8888  df-nn 9763  df-n0 9982
  Copyright terms: Public domain W3C validator