MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nnd Structured version   Unicode version

Theorem peano2nnd 10018
Description: Peano postulate: a successor of a natural number is a natural number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
peano2nnd  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem peano2nnd
StepHypRef Expression
1 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 peano2nn 10013 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726  (class class class)co 6082   1c1 8992    + caddc 8994   NNcn 10001
This theorem is referenced by:  bcpasc  11613  o1fsum  12593  eftlub  12711  eirrlem  12804  infpnlem1  13279  infpnlem2  13280  prmreclem4  13288  prmreclem5  13289  prmreclem6  13290  vdwlem6  13355  ovolunlem1a  19393  ovolicc2lem3  19416  uniioombllem3  19478  uniioombllem4  19479  vieta1lem1  20228  vieta1lem2  20229  aaliou3lem2  20261  basellem1  20864  basellem2  20865  basellem3  20866  basellem4  20867  basellem5  20868  basellem6  20869  basellem7  20870  basellem8  20871  basellem9  20872  perfectlem1  21014  perfectlem2  21015  bclbnd  21065  lgsdilem2  21116  rplogsumlem2  21180  dchrisumlem2  21185  pntrsumbnd2  21262  pntrlog2bndlem2  21273  pntpbnd1a  21280  pntpbnd1  21281  pntpbnd2  21282  ofldchr  24245  esumfzf  24460  esumpcvgval  24469  esumcvg  24477  dstfrvunirn  24733  dstfrvclim1  24736  lgamgulmlem3  24816  lgamgulmlem4  24817  lgamgulmlem5  24818  lgamgulmlem6  24819  lgamgulm2  24821  lgamcvg2  24840  gamcvg  24841  gamcvg2lem  24844  regamcl  24846  relgamcl  24847  subfacp1lem1  24866  subfacp1lem5  24871  subfaclim  24875  axlowdimlem16  25897  bpolydiflem  26101  4rexfrabdioph  26859  6rexfrabdioph  26860  pellfundge  26946  pellfundgt1  26947  wallispilem5  27795  wallispi2lem1  27797  wallispi2  27799
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-nn 10002
  Copyright terms: Public domain W3C validator