MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nnd Unicode version

Theorem peano2nnd 9779
Description: Peano postulate: a successor of a natural number is a natural number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
peano2nnd  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem peano2nnd
StepHypRef Expression
1 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 peano2nn 9774 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   1c1 8754    + caddc 8756   NNcn 9762
This theorem is referenced by:  bcpasc  11349  o1fsum  12287  eftlub  12405  eirrlem  12498  infpnlem1  12973  infpnlem2  12974  prmreclem4  12982  prmreclem5  12983  prmreclem6  12984  vdwlem6  13049  ovolunlem1a  18871  ovolicc2lem3  18894  uniioombllem3  18956  uniioombllem4  18957  vieta1lem1  19706  vieta1lem2  19707  aaliou3lem2  19739  basellem1  20334  basellem2  20335  basellem3  20336  basellem4  20337  basellem5  20338  basellem6  20339  basellem7  20340  basellem8  20341  basellem9  20342  perfectlem1  20484  perfectlem2  20485  bclbnd  20535  lgsdilem2  20586  rplogsumlem2  20650  dchrisumlem2  20655  pntrsumbnd2  20732  pntrlog2bndlem2  20743  pntpbnd1a  20750  pntpbnd1  20751  pntpbnd2  20752  esumpcvgval  23461  esumcvg  23469  dstfrvunirn  23690  dstfrvclim1  23693  subfacp1lem1  23725  subfacp1lem5  23730  subfaclim  23734  faclimlem9  24125  axlowdimlem16  24657  bpolydiflem  24861  4rexfrabdioph  26982  6rexfrabdioph  26983  pellfundge  27070  pellfundgt1  27071  wallispilem5  27921  wallispi2lem1  27923  wallispi2  27925
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-nn 9763
  Copyright terms: Public domain W3C validator