MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2nnd Unicode version

Theorem peano2nnd 9763
Description: Peano postulate: a successor of a natural number is a natural number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
nnred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
Assertion
Ref Expression
peano2nnd  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )

Proof of Theorem peano2nnd
StepHypRef Expression
1 nnred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 peano2nn 9758 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740   NNcn 9746
This theorem is referenced by:  bcpasc  11333  o1fsum  12271  eftlub  12389  eirrlem  12482  infpnlem1  12957  infpnlem2  12958  prmreclem4  12966  prmreclem5  12967  prmreclem6  12968  vdwlem6  13033  ovolunlem1a  18855  ovolicc2lem3  18878  uniioombllem3  18940  uniioombllem4  18941  vieta1lem1  19690  vieta1lem2  19691  aaliou3lem2  19723  basellem1  20318  basellem2  20319  basellem3  20320  basellem4  20321  basellem5  20322  basellem6  20323  basellem7  20324  basellem8  20325  basellem9  20326  perfectlem1  20468  perfectlem2  20469  bclbnd  20519  lgsdilem2  20570  rplogsumlem2  20634  dchrisumlem2  20639  pntrsumbnd2  20716  pntrlog2bndlem2  20727  pntpbnd1a  20734  pntpbnd1  20735  pntpbnd2  20736  esumpcvgval  23446  esumcvg  23454  dstfrvunirn  23675  dstfrvclim1  23678  subfacp1lem1  23710  subfacp1lem5  23715  subfaclim  23719  axlowdimlem16  24585  bpolydiflem  24789  4rexfrabdioph  26879  6rexfrabdioph  26880  pellfundge  26967  pellfundgt1  26968  wallispilem5  27818  wallispi2lem1  27820  wallispi2  27822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747
  Copyright terms: Public domain W3C validator