MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2uz2 Structured version   Unicode version

Theorem peano2uz2 10349
Description: Second Peano postulate for upper integers. (Contributed by NM, 3-Oct-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano2uz2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )  ->  ( B  +  1 )  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem peano2uz2
StepHypRef Expression
1 peano2z 10310 . . . 4  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
21ad2antrl 709 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B )
)  ->  ( B  +  1 )  e.  ZZ )
3 zre 10278 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
4 zre 10278 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
5 lep1 9841 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_  ( B  +  1 ) )
65adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <_  ( B  +  1 ) )
7 peano2re 9231 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  +  1 )  e.  RR )
87ancli 535 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  ( B  e.  RR  /\  ( B  +  1 )  e.  RR ) )
9 letr 9159 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( B  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  1 ) )  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
1093expb 1154 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  ( B  +  1 )  e.  RR ) )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  1 ) )  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
118, 10sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  ( B  +  1 ) )  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
126, 11mpan2d 656 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
133, 4, 12syl2an 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  <_  B  ->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
1413impr 603 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B )
)  ->  A  <_  ( B  +  1 ) )
152, 14jca 519 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B )
)  ->  ( ( B  +  1 )  e.  ZZ  /\  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
16 breq2 4208 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  B ) )
1716elrab 3084 . . 3  |-  ( B  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x }  <->  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) )
1817anbi2i 676 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  ( B  e.  ZZ  /\  A  <_  B ) ) )
19 breq2 4208 . . 3  |-  ( x  =  ( B  + 
1 )  ->  ( A  <_  x  <->  A  <_  ( B  +  1 ) ) )
2019elrab 3084 . 2  |-  ( ( B  +  1 )  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x }  <->  ( ( B  +  1 )  e.  ZZ  /\  A  <_ 
( B  +  1 ) ) )
2115, 18, 203imtr4i 258 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )  ->  ( B  +  1 )  e.  { x  e.  ZZ  |  A  <_  x } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725   {crab 2701   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   RRcr 8981   1c1 8983    + caddc 8985    <_ cle 9113   ZZcz 10274
This theorem is referenced by:  dfuzi  10352
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275
  Copyright terms: Public domain W3C validator