MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2zd Unicode version

Theorem peano2zd 10136
Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
peano2zd  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  ZZ )

Proof of Theorem peano2zd
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 peano2z 10076 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  +  1 )  e.  ZZ )
31, 2syl 15 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   1c1 8754    + caddc 8756   ZZcz 10040
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  10362  flge  10953  uzsup  10983  seqf1olem1  11101  bcp1nk  11345  bcval5  11346  rexuzre  11852  limsupgre  11971  rlimclim1  12035  iseraltlem2  12171  fsumtscopo  12276  fsumparts  12280  climcnds  12326  geo2sum  12345  dvdsfac  12599  bits0o  12637  bitsp1o  12640  bitsinv1lem  12648  smupvallem  12690  smueqlem  12697  hashdvds  12859  opoe  12880  prmreclem4  12982  prmreclem5  12983  vdwnnlem3  13060  sylow1lem1  14925  ovoliunlem2  18878  ovolicc2lem4  18895  uniioombllem3  18956  dyaddisjlem  18966  dvfsumlem1  19389  dvfsumlem3  19391  plyco0  19590  abelthlem6  19828  birthdaylem2  20263  wilthlem1  20322  wilth  20325  basellem3  20336  chpp1  20409  perfect  20486  bcmono  20532  lgslem1  20551  lgsval2lem  20561  lgseisenlem1  20604  lgsquadlem1  20609  m1lgs  20617  2sqblem  20632  rplogsumlem2  20650  rpvmasumlem  20652  dchrisumlema  20653  dchrisumlem2  20655  pntpbnd1  20751  pntpbnd2  20752  pntlemq  20766  pntlemr  20767  pntlemj  20768  pntlemf  20770  ballotlemsf1o  23088  ballotlemsima  23090  eupath2lem3  23918  fznatpl1  24108  axlowdimlem16  24657  ltflcei  24998  fdc  26558  incsequz  26561  cntotbnd  26623  lzunuz  26950  lzenom  26952  ltrmxnn0  27139  jm2.17a  27150  jm2.17b  27151  jm2.17c  27152  jm2.24  27153  rmygeid  27154  jm2.25  27195  jm2.27a  27201  jm3.1lem1  27213  expdiophlem1  27217  climsuselem1  27836  wallispilem4  27920  stirlinglem4  27929  stirlinglem8  27933  stirlinglem11  27936  stirlinglem13  27938
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041
  Copyright terms: Public domain W3C validator