MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2zd Unicode version

Theorem peano2zd 10303
Description: Deduction from second Peano postulate generalized to integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
peano2zd  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  ZZ )

Proof of Theorem peano2zd
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 peano2z 10243 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  +  1 )  e.  ZZ )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1717  (class class class)co 6013   1c1 8917    + caddc 8919   ZZcz 10207
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem5  10529  flge  11134  uzsup  11164  seqf1olem1  11282  bcp1nk  11528  bcval5  11529  rexuzre  12076  limsupgre  12195  rlimclim1  12259  iseraltlem2  12396  fsumtscopo  12501  fsumparts  12505  climcnds  12551  geo2sum  12570  dvdsfac  12824  bits0o  12862  bitsp1o  12865  bitsinv1lem  12873  smupvallem  12915  smueqlem  12922  hashdvds  13084  opoe  13105  prmreclem4  13207  prmreclem5  13208  vdwnnlem3  13285  sylow1lem1  15152  ovoliunlem2  19259  ovolicc2lem4  19276  uniioombllem3  19337  dyaddisjlem  19347  dvfsumlem1  19770  dvfsumlem3  19772  plyco0  19971  abelthlem6  20212  birthdaylem2  20651  wilthlem1  20711  wilth  20714  basellem3  20725  chpp1  20798  perfect  20875  bcmono  20921  lgslem1  20940  lgsval2lem  20950  lgseisenlem1  20993  lgsquadlem1  20998  m1lgs  21006  2sqblem  21021  rplogsumlem2  21039  rpvmasumlem  21041  dchrisumlema  21042  dchrisumlem2  21044  pntpbnd1  21140  pntpbnd2  21141  pntlemq  21155  pntlemr  21156  pntlemj  21157  pntlemf  21159  eupath2lem3  21542  ballotlemsf1o  24543  ballotlemsima  24545  fznatpl1  24970  clim2prod  24988  clim2div  24989  fprodntriv  25040  axlowdimlem16  25603  ltflcei  25943  fdc  26133  incsequz  26136  cntotbnd  26189  lzunuz  26510  lzenom  26512  ltrmxnn0  26698  jm2.17a  26709  jm2.17b  26710  jm2.17c  26711  jm2.24  26712  rmygeid  26713  jm2.25  26754  jm2.27a  26760  jm3.1lem1  26772  expdiophlem1  26776  fmul01lt1lem1  27375  climsuselem1  27394  stoweidlem26  27436  wallispilem4  27478  stirlinglem4  27487  stirlinglem8  27491  stirlinglem11  27494  stirlinglem13  27496
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-n0 10147  df-z 10208
  Copyright terms: Public domain W3C validator