MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2zm Structured version   Unicode version

Theorem peano2zm 10325
Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2zm  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )

Proof of Theorem peano2zm
StepHypRef Expression
1 1z 10316 . 2  |-  1  e.  ZZ
2 zsubcl 10324 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
31, 2mpan2 654 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1726  (class class class)co 6084   1c1 8996    - cmin 9296   ZZcz 10287
This theorem is referenced by:  zlem1lt  10332  zltlem1  10333  zextlt  10349  zeo  10360  uzindOLD  10369  eluzp1m1  10514  uzm1  10521  zbtwnre  10577  fz01en  11084  fzsuc2  11109  elfzm11  11121  uzdisj  11124  elfzo  11147  fzon  11163  fzoss2  11168  fzossrbm1  11169  elfzom1b  11196  sermono  11360  seqf1olem1  11367  seqf1olem2  11368  bcm1k  11611  bcn2  11615  bcp1m1  11616  bcpasc  11617  bccl  11618  hashbclem  11706  seqcoll  11717  revccat  11803  revrev  11804  absrdbnd  12150  fsumm1  12542  binomlem  12613  isumsplit  12625  climcndslem1  12634  arisum2  12645  mertenslem1  12666  oddm1even  12914  oddp1even  12915  3dvds  12917  isprm3  13093  hashdvds  13169  pockthlem  13278  4sqlem11  13328  vdwapun  13347  vdwap0  13349  vdwnnlem2  13369  efgsp1  15374  efgsres  15375  znunit  16849  dvexp3  19867  dvfsumlem1  19915  degltlem1  20000  abelthlem6  20357  atantayl2  20783  log2ublem3  20793  wilthlem1  20856  basellem5  20872  mersenne  21016  perfectlem1  21018  lgslem1  21085  lgsval2lem  21095  lgseisenlem1  21138  lgseisenlem2  21139  lgseisenlem3  21140  lgsquadlem1  21143  lgsquadlem3  21145  lgsquad2lem1  21147  lgsquad3  21150  2sqlem8  21161  2sqblem  21166  dchrisumlem1  21188  logdivbnd  21255  pntrsumbnd2  21266  ostth2lem3  21334  erdszelem7  24888  elfzm12  25117  fz0n  25207  fprodser  25280  fprodm1  25295  risefacval2  25331  fallfacval2  25332  fallfacval3  25333  fallfacfwd  25357  binomfallfaclem2  25361  preduz  25480  predfz  25483  axlowdim  25905  ltflcei  26247  mettrifi  26477  rmxluc  27013  rmyluc  27014  jm2.24  27042  jm2.18  27073  jm2.22  27080  jm2.23  27081  jm2.26lem3  27086  jm2.15nn0  27088  jm2.16nn0  27089  jm2.27a  27090  jm2.27c  27092  jm3.1lem3  27104  stoweidlem11  27750  fzosplitsnm1  28154  swrdtrcfvl  28299  nbhashuvtx1  28431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288
  Copyright terms: Public domain W3C validator