MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2zm Unicode version

Theorem peano2zm 10154
Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2zm  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )

Proof of Theorem peano2zm
StepHypRef Expression
1 1z 10145 . 2  |-  1  e.  ZZ
2 zsubcl 10153 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
31, 2mpan2 652 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1710  (class class class)co 5945   1c1 8828    - cmin 9127   ZZcz 10116
This theorem is referenced by:  zlem1lt  10161  zltlem1  10162  zextlt  10178  zeo  10189  uzindOLD  10198  eluzp1m1  10343  uzm1  10350  zbtwnre  10406  fz01en  10910  fzsuc2  10934  elfzm11  10945  uzdisj  10948  elfzo  10969  fzoss2  10989  elfzom1b  11010  sermono  11170  seqf1olem1  11177  seqf1olem2  11178  bcm1k  11420  bcn2  11424  bcp1m1  11425  bcpasc  11426  bccl  11427  hashbclem  11486  seqcoll  11497  revccat  11580  revrev  11581  absrdbnd  11921  fsumm1  12313  binomlem  12384  isumsplit  12396  climcndslem1  12405  arisum2  12416  mertenslem1  12437  oddm1even  12685  oddp1even  12686  3dvds  12688  isprm3  12864  hashdvds  12940  pockthlem  13049  4sqlem11  13099  vdwapun  13118  vdwap0  13120  vdwnnlem2  13140  efgsp1  15145  efgsres  15146  znunit  16623  dvexp3  19429  dvfsumlem1  19477  degltlem1  19562  abelthlem6  19919  atantayl2  20345  log2ublem3  20355  wilthlem1  20418  basellem5  20434  mersenne  20578  perfectlem1  20580  lgslem1  20647  lgsval2lem  20657  lgseisenlem1  20700  lgseisenlem2  20701  lgseisenlem3  20702  lgsquadlem1  20705  lgsquadlem3  20707  lgsquad2lem1  20709  lgsquad3  20712  2sqlem8  20723  2sqblem  20728  dchrisumlem1  20750  logdivbnd  20817  pntrsumbnd2  20828  ostth2lem3  20896  erdszelem7  24132  elfzm12  24412  fz0n  24503  fprodser  24576  fprodm1  24591  risefacval2  24617  fallfacval2  24618  fallfacfac  24639  preduz  24758  predfz  24761  axlowdim  25148  bpoly0  25344  ltflcei  25485  mettrifi  25797  rmxluc  26344  rmyluc  26345  jm2.24  26373  jm2.18  26404  jm2.22  26411  jm2.23  26412  jm2.26lem3  26417  jm2.15nn0  26419  jm2.16nn0  26420  jm2.27a  26421  jm2.27c  26423  jm3.1lem3  26435  stoweidlem11  27083  fzossrbm1  27457  fzon  27461
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-nn 9837  df-n0 10058  df-z 10117
  Copyright terms: Public domain W3C validator