MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano2zm Unicode version

Theorem peano2zm 10062
Description: "Reverse" second Peano postulate for integers. (Contributed by NM, 12-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
peano2zm  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )

Proof of Theorem peano2zm
StepHypRef Expression
1 1z 10053 . 2  |-  1  e.  ZZ
2 zsubcl 10061 . 2  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
31, 2mpan2 652 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   1c1 8738    - cmin 9037   ZZcz 10024
This theorem is referenced by:  zlem1lt  10069  zltlem1  10070  zextlt  10086  zeo  10097  uzindOLD  10106  eluzp1m1  10251  uzm1  10258  zbtwnre  10314  fz01en  10818  fzsuc2  10842  elfzm11  10853  uzdisj  10856  elfzo  10877  fzoss2  10897  elfzom1b  10918  sermono  11078  seqf1olem1  11085  seqf1olem2  11086  bcm1k  11327  bcn2  11331  bcp1m1  11332  bcpasc  11333  bccl  11334  hashbclem  11390  seqcoll  11401  revccat  11484  revrev  11485  absrdbnd  11825  fsumm1  12216  binomlem  12287  isumsplit  12299  climcndslem1  12308  arisum2  12319  mertenslem1  12340  oddm1even  12588  oddp1even  12589  3dvds  12591  isprm3  12767  hashdvds  12843  pockthlem  12952  4sqlem11  13002  vdwapun  13021  vdwap0  13023  vdwnnlem2  13043  efgsp1  15046  efgsres  15047  znunit  16517  dvexp3  19325  dvfsumlem1  19373  degltlem1  19458  abelthlem6  19812  atantayl2  20234  log2ublem3  20244  wilthlem1  20306  basellem5  20322  mersenne  20466  perfectlem1  20468  lgslem1  20535  lgsval2lem  20545  lgseisenlem1  20588  lgseisenlem2  20589  lgseisenlem3  20590  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem3  20595  lgsquad2lem1  20597  lgsquad3  20600  2sqlem8  20611  2sqblem  20616  dchrisumlem1  20638  logdivbnd  20705  pntrsumbnd2  20716  ostth2lem3  20784  erdszelem7  23728  elfzm12  24008  fz0n  24097  preduz  24200  predfz  24203  axlowdim  24589  bpoly0  24785  mettrifi  26473  rmxluc  27021  rmyluc  27022  jm2.24  27050  jm2.18  27081  jm2.22  27088  jm2.23  27089  jm2.26lem3  27094  jm2.15nn0  27096  jm2.16nn0  27097  jm2.27a  27098  jm2.27c  27100  jm3.1lem3  27112  stoweidlem11  27760
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025
  Copyright terms: Public domain W3C validator