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Theorem peano5 4679
Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43, except our proof does not require the Axiom of Infinity. The more traditional statement of mathematical induction as a theorem schema, with a basis and an induction hypothesis, is derived from this theorem as theorem findes 4686. (Contributed by NM, 18-Feb-2004.)
Assertion
Ref Expression
peano5  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
)
Distinct variable group:    x, A
Dummy variable  y is distinct from all other variables.

Proof of Theorem peano5
StepHypRef Expression
1 eldifn 3301 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  -.  y  e.  A )
21adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  ->  -.  y  e.  A )
3 eldifi 3300 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  y  e.  om )
43adantl 454 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  y  e.  ( om  \  A ) )  -> 
y  e.  om )
5 elndif 3302 . . . . . . . . . 10  |-  ( (/)  e.  A  ->  -.  (/)  e.  ( om  \  A ) )
6 eleq1 2345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y  e.  ( om  \  A
)  <->  (/)  e.  ( om 
\  A ) ) )
76biimpcd 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( y  =  (/)  ->  (/)  e.  ( om  \  A ) ) )
87necon3bd 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( -.  (/) 
e.  ( om  \  A
)  ->  y  =/=  (/) ) )
95, 8mpan9 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  y  e.  ( om  \  A ) )  -> 
y  =/=  (/) )
10 nnsuc 4673 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  y  =/=  (/) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
114, 9, 10syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  y  e.  ( om  \  A ) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
1211adantlr 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
1312adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  /\  (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  E. x  e.  om  y  =  suc  x )
14 nfra1 2595 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)
15 nfv 1606 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( y  e.  ( om  \  A )  /\  ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )
1614, 15nfan 1773 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x
( A. x  e. 
om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  /\  (
y  e.  ( om 
\  A )  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) ) )
17 nfv 1606 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x  y  e.  A
18 rsp 2605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  ( x  e. 
om  ->  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) ) )
19 vex 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  x  e. 
_V
2019sucid 4471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  x  e. 
suc  x
21 eleq2 2346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( x  e.  y  <-> 
x  e.  suc  x
) )
2220, 21mpbiri 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  suc  x  ->  x  e.  y )
23 eleq1 2345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  <->  suc  x  e.  om )
)
24 peano2b 4672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  om  <->  suc  x  e. 
om )
2523, 24syl6bbr 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  <->  x  e.  om ) )
26 minel 3512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  y  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  -.  x  e.  ( om  \  A ) )
27 neldif 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  om  /\  -.  x  e.  ( om  \  A ) )  ->  x  e.  A
)
2826, 27sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  om  /\  ( x  e.  y  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  e.  A )
2928exp32 590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  e.  y  -> 
( ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A ) ) )
3025, 29syl6bi 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  ->  ( x  e.  y  ->  ( ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A
) ) ) )
3122, 30mpid 39 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  om  ->  ( ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A ) ) )
323, 31syl5 30 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  e.  ( om  \  A )  ->  ( ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/)  ->  x  e.  A
) ) )
3332imp3a 422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( ( y  e.  ( om  \  A
)  /\  ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/) )  ->  x  e.  A
) )
34 eleq1a 2354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( suc  x  e.  A  -> 
( y  =  suc  x  ->  y  e.  A
) )
3534com12 29 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( suc  x  e.  A  ->  y  e.  A
) )
3633, 35imim12d 70 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  (
( y  e.  ( om  \  A )  /\  ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )  ->  y  e.  A
) ) )
3736com13 76 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( om 
\  A )  /\  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)  ->  ( y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) )
3818, 37sylan9 640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( om  \  A
)  /\  ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  (
x  e.  om  ->  ( y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) )
3916, 17, 38rexlimd 2666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
)  /\  ( y  e.  ( om  \  A
)  /\  ( ( om  \  A )  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  -> 
y  e.  A ) )
4039exp32 590 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) ) )
4140a1i 12 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  A  ->  ( A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A )  ->  ( y  e.  ( om  \  A
)  ->  ( (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/)  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  ->  y  e.  A ) ) ) ) )
4241imp41 578 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  /\  (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( E. x  e.  om  y  =  suc  x  -> 
y  e.  A ) )
4313, 42mpd 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  /\  (
( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )  ->  y  e.  A )
442, 43mtand 642 . . . 4  |-  ( ( ( (/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  ( x  e.  A  ->  suc  x  e.  A
) )  /\  y  e.  ( om  \  A
) )  ->  -.  ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )
4544nrexdv 2648 . . 3  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  -.  E. y  e.  ( om  \  A
) ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )
46 ordom 4665 . . . . 5  |-  Ord  om
47 difss 3305 . . . . 5  |-  ( om 
\  A )  C_  om
48 tz7.5 4413 . . . . 5  |-  ( ( Ord  om  /\  ( om  \  A )  C_  om 
/\  ( om  \  A
)  =/=  (/) )  ->  E. y  e.  ( om  \  A ) ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/) )
4946, 47, 48mp3an12 1269 . . . 4  |-  ( ( om  \  A )  =/=  (/)  ->  E. y  e.  ( om  \  A
) ( ( om 
\  A )  i^i  y )  =  (/) )
5049necon1bi 2491 . . 3  |-  ( -. 
E. y  e.  ( om  \  A ) ( ( om  \  A
)  i^i  y )  =  (/)  ->  ( om  \  A )  =  (/) )
5145, 50syl 17 . 2  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  ( om  \  A )  =  (/) )
52 ssdif0 3515 . 2  |-  ( om  C_  A  <->  ( om  \  A
)  =  (/) )
5351, 52sylibr 205 1  |-  ( (
(/)  e.  A  /\  A. x  e.  om  (
x  e.  A  ->  suc  x  e.  A ) )  ->  om  C_  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2448   A.wral 2545   E.wrex 2546    \ cdif 3151    i^i cin 3153    C_ wss 3154   (/)c0 3457   Ord word 4391   suc csuc 4394   omcom 4656
This theorem is referenced by:  find  4681  finds  4682  finds2  4684  omex  7340  dfom3  7344
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-br 4026  df-opab 4080  df-tr 4116  df-eprel 4305  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657
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