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Theorem peano5uzi 10350
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
peano5uz.1  |-  N  e.  ZZ
Assertion
Ref Expression
peano5uzi  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } 
C_  A )
Distinct variable groups:    x, k, A    k, N, x

Proof of Theorem peano5uzi
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 4208 . . . 4  |-  ( k  =  n  ->  ( N  <_  k  <->  N  <_  n ) )
21elrab 3084 . . 3  |-  ( n  e.  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  <->  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )
3 zcn 10279 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ZZ  ->  n  e.  CC )
43ad2antrl 709 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  ->  n  e.  CC )
5 peano5uz.1 . . . . . . . 8  |-  N  e.  ZZ
6 zcn 10279 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
75, 6ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  N  e.  CC
8 ax-1cn 9040 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
97, 8subcli 9368 . . . . . 6  |-  ( N  -  1 )  e.  CC
10 npcan 9306 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  CC )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  =  n )
114, 9, 10sylancl 644 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( ( n  -  ( N  -  1
) )  +  ( N  -  1 ) )  =  n )
12 subsub 9323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
137, 8, 12mp3an23 1271 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
144, 13syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( n  -  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  N )  +  1 ) )
15 znn0sub 10315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( N  <_  n  <->  ( n  -  N )  e.  NN0 ) )
165, 15mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ZZ  ->  ( N  <_  n  <->  ( n  -  N )  e.  NN0 ) )
1716biimpa 471 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n )  -> 
( n  -  N
)  e.  NN0 )
1817adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( n  -  N
)  e.  NN0 )
19 nn0p1nn 10251 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  -  N )  e.  NN0  ->  ( ( n  -  N )  +  1 )  e.  NN )
2018, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( ( n  -  N )  +  1 )  e.  NN )
2114, 20eqeltrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( n  -  ( N  -  1 ) )  e.  NN )
22 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )
23 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  1  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( 1  +  ( N  -  1 ) ) )
2423eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  1  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
2524imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( k  =  1  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( 1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
26 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( n  +  ( N  -  1
) ) )
2726eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( n  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
2827imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( k  =  n  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
29 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) ) )
3029eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( (
n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3130imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
32 oveq1 6080 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  =  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) ) )
3332eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  <->  ( (
n  -  ( N  -  1 ) )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
3433imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( n  -  ( N  -  1
) )  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
k  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  <->  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  -  ( N  -  1
) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
358, 7pncan3i 9369 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  ( N  - 
1 ) )  =  N
36 simpl 444 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  N  e.  A )
3735, 36syl5eqel 2519 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( 1  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )
38 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( n  +  ( N  -  1
) )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( n  +  ( N  - 
1 ) )  +  1 ) )
3938eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( n  +  ( N  -  1
) )  ->  (
( x  +  1 )  e.  A  <->  ( (
n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  A ) )
4039rspccv 3041 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  -> 
( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  e.  A ) )
4140ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  A ) )
42 nncn 10000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
4342adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  n  e.  CC )
44 add32 9272 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  CC  /\  ( N  -  1
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  +  ( N  -  1
) )  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) ) )
459, 8, 44mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  CC  ->  (
( n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) ) )
4643, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( (
n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  =  ( ( n  + 
1 )  +  ( N  -  1 ) ) )
4746eleq1d 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( (
( n  +  ( N  -  1 ) )  +  1 )  e.  A  <->  ( (
n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) )
4841, 47sylibd 206 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  /\  ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A ) )  ->  ( (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A  ->  (
( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) )
4948ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( n  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A  ->  ( (
n  +  1 )  +  ( N  - 
1 ) )  e.  A ) ) )
5049a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
n  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )  -> 
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  (
( n  +  1 )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A ) ) )
5125, 28, 31, 34, 37, 50nnind 10010 . . . . . 6  |-  ( ( n  -  ( N  -  1 ) )  e.  NN  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  ( ( n  -  ( N  - 
1 ) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A
) )
5221, 22, 51sylc 58 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  -> 
( ( n  -  ( N  -  1
) )  +  ( N  -  1 ) )  e.  A )
5311, 52eqeltrrd 2510 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  /\  ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n ) )  ->  n  e.  A )
5453ex 424 . . 3  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( ( n  e.  ZZ  /\  N  <_  n )  ->  n  e.  A ) )
552, 54syl5bi 209 . 2  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  -> 
( n  e.  {
k  e.  ZZ  |  N  <_  k }  ->  n  e.  A ) )
5655ssrdv 3346 1  |-  ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } 
C_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   {crab 2701    C_ wss 3312   class class class wbr 4204  (class class class)co 6073   CCcc 8980   1c1 8983    + caddc 8985    <_ cle 9113    - cmin 9283   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ZZcz 10274
This theorem is referenced by:  peano5uzti  10351  dfuzi  10352
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-n0 10214  df-z 10275
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