MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano5uzti Unicode version

Theorem peano5uzti 10252
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
peano5uzti  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
) )
Distinct variable groups:    x, k, A    k, N, x

Proof of Theorem peano5uzti
StepHypRef Expression
1 eleq1 2426 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  -> 
( N  e.  A  <->  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  e.  A ) )
21anbi1d 685 . . 3  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  -> 
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  <->  ( if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A ) ) )
3 breq1 4128 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  -> 
( N  <_  k  <->  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  <_  k ) )
43rabbidv 2865 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k }  =  { k  e.  ZZ  |  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  <_  k } )
54sseq1d 3291 . . 3  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  -> 
( { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A  <->  { k  e.  ZZ  |  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  <_  k }  C_  A ) )
62, 5imbi12d 311 . 2  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } 
C_  A )  <->  ( ( if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  if ( N  e.  ZZ ,  N , 
1 )  <_  k }  C_  A ) ) )
7 1z 10204 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
87elimel 3706 . . 3  |-  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  e.  ZZ
98peano5uzi 10251 . 2  |-  ( ( if ( N  e.  ZZ ,  N , 
1 )  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  <_  k }  C_  A )
106, 9dedth 3695 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1647    e. wcel 1715   A.wral 2628   {crab 2632    C_ wss 3238   ifcif 3654   class class class wbr 4125  (class class class)co 5981   1c1 8885    + caddc 8887    <_ cle 9015   ZZcz 10175
This theorem is referenced by:  uzind  10254
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-er 6802  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-nn 9894  df-n0 10115  df-z 10176
  Copyright terms: Public domain W3C validator