MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano5uzti Structured version   Unicode version

Theorem peano5uzti 10364
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
peano5uzti  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
) )
Distinct variable groups:    x, k, A    k, N, x

Proof of Theorem peano5uzti
StepHypRef Expression
1 eleq1 2498 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  -> 
( N  e.  A  <->  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  e.  A ) )
21anbi1d 687 . . 3  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  -> 
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  <->  ( if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A ) ) )
3 breq1 4218 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  -> 
( N  <_  k  <->  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  <_  k ) )
43rabbidv 2950 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k }  =  { k  e.  ZZ  |  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  <_  k } )
54sseq1d 3377 . . 3  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  -> 
( { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A  <->  { k  e.  ZZ  |  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  <_  k }  C_  A ) )
62, 5imbi12d 313 . 2  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } 
C_  A )  <->  ( ( if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  if ( N  e.  ZZ ,  N , 
1 )  <_  k }  C_  A ) ) )
7 1z 10316 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
87elimel 3793 . . 3  |-  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  e.  ZZ
98peano5uzi 10363 . 2  |-  ( ( if ( N  e.  ZZ ,  N , 
1 )  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  <_  k }  C_  A )
106, 9dedth 3782 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711    C_ wss 3322   ifcif 3741   class class class wbr 4215  (class class class)co 6084   1c1 8996    + caddc 8998    <_ cle 9126   ZZcz 10287
This theorem is referenced by:  uzind  10366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-n0 10227  df-z 10288
  Copyright terms: Public domain W3C validator