MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  peano5uzti Unicode version

Theorem peano5uzti 10319
Description: Peano's inductive postulate for upper integers. (Contributed by NM, 6-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
peano5uzti  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
) )
Distinct variable groups:    x, k, A    k, N, x

Proof of Theorem peano5uzti
StepHypRef Expression
1 eleq1 2468 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  -> 
( N  e.  A  <->  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  e.  A ) )
21anbi1d 686 . . 3  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  -> 
( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1 )  e.  A )  <->  ( if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A ) ) )
3 breq1 4179 . . . . 5  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  -> 
( N  <_  k  <->  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  <_  k ) )
43rabbidv 2912 . . . 4  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k }  =  { k  e.  ZZ  |  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  <_  k } )
54sseq1d 3339 . . 3  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  -> 
( { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A  <->  { k  e.  ZZ  |  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  <_  k }  C_  A ) )
62, 5imbi12d 312 . 2  |-  ( N  =  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  -> 
( ( ( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_  k } 
C_  A )  <->  ( ( if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  e.  A  /\  A. x  e.  A  (
x  +  1 )  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  if ( N  e.  ZZ ,  N , 
1 )  <_  k }  C_  A ) ) )
7 1z 10271 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
87elimel 3755 . . 3  |-  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  e.  ZZ
98peano5uzi 10318 . 2  |-  ( ( if ( N  e.  ZZ ,  N , 
1 )  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  if ( N  e.  ZZ ,  N ,  1 )  <_  k }  C_  A )
106, 9dedth 3744 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  e.  A  /\  A. x  e.  A  ( x  +  1
)  e.  A )  ->  { k  e.  ZZ  |  N  <_ 
k }  C_  A
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2670   {crab 2674    C_ wss 3284   ifcif 3703   class class class wbr 4176  (class class class)co 6044   1c1 8951    + caddc 8953    <_ cle 9081   ZZcz 10242
This theorem is referenced by:  uzind  10321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-er 6868  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-n0 10182  df-z 10243
  Copyright terms: Public domain W3C validator