Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1234qrreccl Structured version   Unicode version

Theorem pell1234qrreccl 26919
 Description: General solutions of the Pell equation are closed under reciprocals. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1234qrreccl NN Pell1234QR Pell1234QR

Proof of Theorem pell1234qrreccl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1234qr 26916 . . . 4 NN Pell1234QR
21biimpa 472 . . 3 NN Pell1234QR
3 pell1234qrre 26917 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
4 pell1234qrne0 26918 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
53, 4rereccld 9843 . . . . . . . 8 NN Pell1234QR
65ad2antrr 708 . . . . . . 7 NN Pell1234QR
7 simplrl 738 . . . . . . . 8 NN Pell1234QR
8 simplrr 739 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
98znegcld 10379 . . . . . . . 8 NN Pell1234QR
105recnd 9116 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
1110ad2antrr 708 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
12 zcn 10289 . . . . . . . . . . . 12
1312adantr 453 . . . . . . . . . . 11
1413ad2antlr 709 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
15 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . . 14 NN
1615nncnd 10018 . . . . . . . . . . . . 13 NN
1716ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
1817sqrcld 12241 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
198zcnd 10378 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
2019negcld 9400 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
2118, 20mulcld 9110 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
2214, 21addcld 9109 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
233recnd 9116 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
2423ad2antrr 708 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
254ad2antrr 708 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
2618, 19sqmuld 11537 . . . . . . . . . . . . 13 NN Pell1234QR
2717sqsqrd 12243 . . . . . . . . . . . . . 14 NN Pell1234QR
2827oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . 13 NN Pell1234QR
2926, 28eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
3029oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
31 simprr 735 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
3218, 19mulcld 9110 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
33 subsq 11490 . . . . . . . . . . . 12
3414, 32, 33syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
3530, 31, 343eqtr3d 2478 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
3624, 25recidd 9787 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
37 simprl 734 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
3818, 19mulneg2d 9489 . . . . . . . . . . . . 13 NN Pell1234QR
3938oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
4014, 32negsubd 9419 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
4139, 40eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
4237, 41oveq12d 6101 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
4335, 36, 423eqtr4d 2480 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
4411, 22, 24, 25, 43mulcanad 9659 . . . . . . . 8 NN Pell1234QR
45 sqneg 11444 . . . . . . . . . . . 12
4619, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
4746oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
4847oveq2d 6099 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
4948, 31eqtrd 2470 . . . . . . . 8 NN Pell1234QR
50 oveq1 6090 . . . . . . . . . . 11
5150eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10
52 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . 12
5352oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11
5453eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10
5551, 54anbi12d 693 . . . . . . . . 9
56 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . 12
5756oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11
5857eqeq2d 2449 . . . . . . . . . 10
59 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . 13
6059oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . 12
6160oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11
6261eqeq1d 2446 . . . . . . . . . 10
6358, 62anbi12d 693 . . . . . . . . 9
6455, 63rspc2ev 3062 . . . . . . . 8
657, 9, 44, 49, 64syl112anc 1189 . . . . . . 7 NN Pell1234QR
666, 65jca 520 . . . . . 6 NN Pell1234QR
6766ex 425 . . . . 5 NN Pell1234QR
6867rexlimdvva 2839 . . . 4 NN Pell1234QR
6968adantld 455 . . 3 NN Pell1234QR
702, 69mpd 15 . 2 NN Pell1234QR
71 elpell1234qr 26916 . . 3 NN Pell1234QR
7271adantr 453 . 2 NN Pell1234QR Pell1234QR
7370, 72mpbird 225 1 NN Pell1234QR Pell1234QR
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wrex 2708   cdif 3319  cfv 5456  (class class class)co 6083  cc 8990  cr 8991  cc0 8992  c1 8993   caddc 8995   cmul 8997   cmin 9293  cneg 9294   cdiv 9679  cn 10002  c2 10051  cz 10284  cexp 11384  csqr 12040  ◻NNcsquarenn 26901  Pell1234QRcpell1234qr 26903 This theorem is referenced by:  pell14qrreccl  26929 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-pell1234qr 26909
 Copyright terms: Public domain W3C validator