Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1234qrreccl Unicode version

Theorem pell1234qrreccl 27042
 Description: General solutions of the Pell equation are closed under reciprocals. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1234qrreccl NN Pell1234QR Pell1234QR

Proof of Theorem pell1234qrreccl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1234qr 27039 . . . 4 NN Pell1234QR
21biimpa 470 . . 3 NN Pell1234QR
3 pell1234qrre 27040 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
4 pell1234qrne0 27041 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
53, 4rereccld 9603 . . . . . . . 8 NN Pell1234QR
65ad2antrr 706 . . . . . . 7 NN Pell1234QR
7 simplrl 736 . . . . . . . 8 NN Pell1234QR
8 simplrr 737 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
98znegcld 10135 . . . . . . . 8 NN Pell1234QR
10 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NN
1110nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NN
1211ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 NN Pell1234QR
1312sqrcld 11935 . . . . . . . . . . . . . 14 NN Pell1234QR
148zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . 14 NN Pell1234QR
1513, 14sqmuld 11273 . . . . . . . . . . . . 13 NN Pell1234QR
1612sqsqrd 11937 . . . . . . . . . . . . . 14 NN Pell1234QR
1716oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13 NN Pell1234QR
1815, 17eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
1918oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
20 simprr 733 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
21 zcn 10045 . . . . . . . . . . . . . 14
2221adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
2322ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
2413, 14mulcld 8871 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
25 subsq 11226 . . . . . . . . . . . 12
2623, 24, 25syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
2719, 20, 263eqtr3d 2336 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
283recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
2928ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
304ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
3129, 30recidd 9547 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
32 simprl 732 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
3313, 14mulneg2d 9249 . . . . . . . . . . . . 13 NN Pell1234QR
3433oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
3523, 24negsubd 9179 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
3634, 35eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
3732, 36oveq12d 5892 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
3827, 31, 373eqtr4d 2338 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
395recnd 8877 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
4039ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
4114negcld 9160 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell1234QR
4213, 41mulcld 8871 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
4323, 42addcld 8870 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
4440, 43, 29, 30mulcand 9417 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
4538, 44mpbid 201 . . . . . . . 8 NN Pell1234QR
46 sqneg 11180 . . . . . . . . . . . 12
4714, 46syl 15 . . . . . . . . . . 11 NN Pell1234QR
4847oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10 NN Pell1234QR
4948oveq2d 5890 . . . . . . . . 9 NN Pell1234QR
5049, 20eqtrd 2328 . . . . . . . 8 NN Pell1234QR
51 oveq1 5881 . . . . . . . . . . 11
5251eqeq2d 2307 . . . . . . . . . 10
53 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . 12
5453oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11
5554eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10
5652, 55anbi12d 691 . . . . . . . . 9
57 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . 12
5857oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11
5958eqeq2d 2307 . . . . . . . . . 10
60 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . 13
6160oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12
6261oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11
6362eqeq1d 2304 . . . . . . . . . 10
6459, 63anbi12d 691 . . . . . . . . 9
6556, 64rspc2ev 2905 . . . . . . . 8
667, 9, 45, 50, 65syl112anc 1186 . . . . . . 7 NN Pell1234QR
676, 66jca 518 . . . . . 6 NN Pell1234QR
6867ex 423 . . . . 5 NN Pell1234QR
6968rexlimdvva 2687 . . . 4 NN Pell1234QR
7069adantld 453 . . 3 NN Pell1234QR
712, 70mpd 14 . 2 NN Pell1234QR
72 elpell1234qr 27039 . . 3 NN Pell1234QR
7372adantr 451 . 2 NN Pell1234QR Pell1234QR
7471, 73mpbird 223 1 NN Pell1234QR Pell1234QR
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wrex 2557   cdif 3162  cfv 5271  (class class class)co 5874  cc 8751  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758   cmin 9053  cneg 9054   cdiv 9439  cn 9762  c2 9811  cz 10040  cexp 11120  csqr 11734  ◻NNcsquarenn 27024  Pell1234QRcpell1234qr 27026 This theorem is referenced by:  pell14qrreccl  27052 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-pell1234qr 27032
 Copyright terms: Public domain W3C validator