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Theorem pell14qrdich 26954
 Description: A positive Pell solution is either in the first quadrant, or its reciprocal is. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell14qrdich NN Pell14QR Pell1QR Pell1QR

Proof of Theorem pell14qrdich
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell14qr 26934 . . 3 NN Pell14QR
21biimpa 470 . 2 NN Pell14QR
3 simplrr 737 . . . . . . . 8 NN Pell14QR
4 elznn0 10038 . . . . . . . 8
53, 4sylib 188 . . . . . . 7 NN Pell14QR
65simprd 449 . . . . . 6 NN Pell14QR
7 simplr 731 . . . . . . . . . . 11 NN Pell14QR
87ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10 NN Pell14QR
9 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell14QR
109ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11 NN Pell14QR
11 simpr 447 . . . . . . . . . . 11 NN Pell14QR
12 simplr 731 . . . . . . . . . . 11 NN Pell14QR
13 rsp2e 2606 . . . . . . . . . . 11
1410, 11, 12, 13syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10 NN Pell14QR
158, 14jca 518 . . . . . . . . 9 NN Pell14QR
1615ex 423 . . . . . . . 8 NN Pell14QR
17 elpell1qr 26932 . . . . . . . . . 10 NN Pell1QR
1817adantr 451 . . . . . . . . 9 NN Pell14QR Pell1QR
1918ad3antrrr 710 . . . . . . . 8 NN Pell14QR Pell1QR
2016, 19sylibrd 225 . . . . . . 7 NN Pell14QR Pell1QR
217ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11 NN Pell14QR
22 simpll 730 . . . . . . . . . . . . 13 NN Pell14QR NN
2322ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell14QR NN
24 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13 NN Pell14QR Pell14QR
2524ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell14QR Pell14QR
26 pell14qrne0 26943 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell14QR
2723, 25, 26syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 NN Pell14QR
2821, 27rereccld 9587 . . . . . . . . . 10 NN Pell14QR
299ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11 NN Pell14QR
30 simpr 447 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell14QR
31 pell14qrre 26942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 NN Pell14QR
3231recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NN Pell14QR
3332, 26recidd 9531 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NN Pell14QR
3433ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NN Pell14QR
35 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NN Pell14QR
3634, 35eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NN Pell14QR
37 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3837ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 NN Pell14QR
3938adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NN Pell14QR
40 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 NN
4140nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 NN
4241ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 NN Pell14QR
4342sqrcld 11919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 NN Pell14QR
44 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4544ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 NN Pell14QR
4643, 45mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 NN Pell14QR
4746adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NN Pell14QR
48 subsq 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4939, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NN Pell14QR
5043, 45sqmuld 11257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 NN Pell14QR
5142sqsqrd 11921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 NN Pell14QR
5251oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 NN Pell14QR
5350, 52eqtr2d 2316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 NN Pell14QR
5453oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NN Pell14QR
5554adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NN Pell14QR
56 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NN Pell14QR
5743, 45mulneg2d 9233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 NN Pell14QR
5857oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 NN Pell14QR
59 negsub 9095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6059eqcomd 2288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6138, 46, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 NN Pell14QR
6258, 61eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 NN Pell14QR
6362adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NN Pell14QR
6456, 63oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NN Pell14QR
6549, 55, 643eqtr4d 2325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NN Pell14QR
6665adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NN Pell14QR
6736, 66eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . 15 NN Pell14QR
6832, 26reccld 9529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NN Pell14QR
6968ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NN Pell14QR
7045negcld 9144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NN Pell14QR
7143, 70mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NN Pell14QR
7238, 71addcld 8854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NN Pell14QR
7372adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NN Pell14QR
7432ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NN Pell14QR
7526ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NN Pell14QR
7669, 73, 74, 75mulcand 9401 . . . . . . . . . . . . . . 15 NN Pell14QR
7767, 76mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14 NN Pell14QR
7877adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13 NN Pell14QR
7945ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NN Pell14QR
80 sqneg 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8179, 80syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NN Pell14QR
8281oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15 NN Pell14QR
8382oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . 14 NN Pell14QR
84 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . 14 NN Pell14QR
8583, 84eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13 NN Pell14QR
8678, 85jca 518 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell14QR
87 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8887oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . 14
90 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9190oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9291oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15
9392eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . 14
9489, 93anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . 13
9594rspcev 2884 . . . . . . . . . . . 12
9630, 86, 95syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11 NN Pell14QR
97 rspe 2604 . . . . . . . . . . 11
9829, 96, 97syl2anc 642 . . . . . . . . . 10 NN Pell14QR
9928, 98jca 518 . . . . . . . . 9 NN Pell14QR
10099ex 423 . . . . . . . 8 NN Pell14QR
101 elpell1qr 26932 . . . . . . . . . 10 NN Pell1QR
102101adantr 451 . . . . . . . . 9 NN Pell14QR Pell1QR
103102ad3antrrr 710 . . . . . . . 8 NN Pell14QR Pell1QR
104100, 103sylibrd 225 . . . . . . 7 NN Pell14QR Pell1QR
10520, 104orim12d 811 . . . . . 6 NN Pell14QR Pell1QR Pell1QR
1066, 105mpd 14 . . . . 5 NN Pell14QR Pell1QR Pell1QR
107106ex 423 . . . 4 NN Pell14QR Pell1QR Pell1QR
108107rexlimdvva 2674 . . 3 NN Pell14QR Pell1QR Pell1QR
109108expimpd 586 . 2 NN Pell14QR Pell1QR Pell1QR
1102, 109mpd 14 1 NN Pell14QR Pell1QR Pell1QR
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1623   wcel 1684   wne 2446  wrex 2544   cdif 3149  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc 8735  cr 8736  cc0 8737  c1 8738   caddc 8740   cmul 8742   cmin 9037  cneg 9038   cdiv 9423  cn 9746  c2 9795  cn0 9965  cz 10024  cexp 11104  csqr 11718  ◻NNcsquarenn 26921  Pell1QRcpell1qr 26922  Pell14QRcpell14qr 26924 This theorem is referenced by:  elpell1qr2  26957 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-pell1qr 26927  df-pell14qr 26928  df-pell1234qr 26929
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