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Theorem pell14qrdich 26946
 Description: A positive Pell solution is either in the first quadrant, or its reciprocal is. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell14qrdich NN Pell14QR Pell1QR Pell1QR

Proof of Theorem pell14qrdich
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell14qr 26926 . . 3 NN Pell14QR
21biimpa 472 . 2 NN Pell14QR
3 simplrr 739 . . . . . . . 8 NN Pell14QR
4 elznn0 10301 . . . . . . . 8
53, 4sylib 190 . . . . . . 7 NN Pell14QR
65simprd 451 . . . . . 6 NN Pell14QR
7 simplr 733 . . . . . . . . . . 11 NN Pell14QR
87ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 NN Pell14QR
9 simprl 734 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell14QR
109ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 NN Pell14QR
11 simpr 449 . . . . . . . . . . 11 NN Pell14QR
12 simplr 733 . . . . . . . . . . 11 NN Pell14QR
13 rsp2e 2771 . . . . . . . . . . 11
1410, 11, 12, 13syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10 NN Pell14QR
158, 14jca 520 . . . . . . . . 9 NN Pell14QR
1615ex 425 . . . . . . . 8 NN Pell14QR
17 elpell1qr 26924 . . . . . . . . 9 NN Pell1QR
1817ad4antr 714 . . . . . . . 8 NN Pell14QR Pell1QR
1916, 18sylibrd 227 . . . . . . 7 NN Pell14QR Pell1QR
207ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 NN Pell14QR
21 pell14qrne0 26935 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell14QR
2221ad4antr 714 . . . . . . . . . . 11 NN Pell14QR
2320, 22rereccld 9846 . . . . . . . . . 10 NN Pell14QR
249ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 NN Pell14QR
25 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell14QR
26 pell14qrre 26934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NN Pell14QR
2726recnd 9119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NN Pell14QR
2827, 21reccld 9788 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NN Pell14QR
2928ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 NN Pell14QR
30 nn0cn 10236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3130ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NN Pell14QR
32 eldifi 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 NN
3332nncnd 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 NN
3433ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NN Pell14QR
3534sqrcld 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NN Pell14QR
36 zcn 10292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3736ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NN Pell14QR
3837negcld 9403 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NN Pell14QR
3935, 38mulcld 9113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NN Pell14QR
4031, 39addcld 9112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NN Pell14QR
4140adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 NN Pell14QR
4227ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 NN Pell14QR
4321ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 NN Pell14QR
4427, 21recidd 9790 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NN Pell14QR
4544ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NN Pell14QR
46 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NN Pell14QR
4745, 46eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NN Pell14QR
4831adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NN Pell14QR
4935, 37mulcld 9113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 NN Pell14QR
5049adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NN Pell14QR
51 subsq 11493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5248, 50, 51syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NN Pell14QR
5335, 37sqmuld 11540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 NN Pell14QR
5434sqsqrd 12246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 NN Pell14QR
5554oveq1d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 NN Pell14QR
5653, 55eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 NN Pell14QR
5756oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NN Pell14QR
5857adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NN Pell14QR
59 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NN Pell14QR
6035, 37mulneg2d 9492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 NN Pell14QR
6160oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 NN Pell14QR
62 negsub 9354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6362eqcomd 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6431, 49, 63syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 NN Pell14QR
6561, 64eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 NN Pell14QR
6665adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 NN Pell14QR
6759, 66oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 NN Pell14QR
6852, 58, 673eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NN Pell14QR
6968adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NN Pell14QR
7047, 69eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15 NN Pell14QR
7129, 41, 42, 43, 70mulcanad 9662 . . . . . . . . . . . . . 14 NN Pell14QR
7271adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13 NN Pell14QR
7337ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 NN Pell14QR
74 sqneg 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7573, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16 NN Pell14QR
7675oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15 NN Pell14QR
7776oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . 14 NN Pell14QR
78 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . 14 NN Pell14QR
7977, 78eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . 13 NN Pell14QR
8072, 79jca 520 . . . . . . . . . . . 12 NN Pell14QR
81 oveq2 6092 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8281oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15
8382eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . 14
84 oveq1 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8584oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8685oveq2d 6100 . . . . . . . . . . . . . . 15
8786eqeq1d 2446 . . . . . . . . . . . . . 14
8883, 87anbi12d 693 . . . . . . . . . . . . 13
8988rspcev 3054 . . . . . . . . . . . 12
9025, 80, 89syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11 NN Pell14QR
91 rspe 2769 . . . . . . . . . . 11
9224, 90, 91syl2anc 644 . . . . . . . . . 10 NN Pell14QR
9323, 92jca 520 . . . . . . . . 9 NN Pell14QR
9493ex 425 . . . . . . . 8 NN Pell14QR
95 elpell1qr 26924 . . . . . . . . 9 NN Pell1QR
9695ad4antr 714 . . . . . . . 8 NN Pell14QR Pell1QR
9794, 96sylibrd 227 . . . . . . 7 NN Pell14QR Pell1QR
9819, 97orim12d 813 . . . . . 6 NN Pell14QR Pell1QR Pell1QR
996, 98mpd 15 . . . . 5 NN Pell14QR Pell1QR Pell1QR
10099ex 425 . . . 4 NN Pell14QR Pell1QR Pell1QR
101100rexlimdvva 2839 . . 3 NN Pell14QR Pell1QR Pell1QR
102101expimpd 588 . 2 NN Pell14QR Pell1QR Pell1QR
1032, 102mpd 15 1 NN Pell14QR Pell1QR Pell1QR
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wo 359   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wrex 2708   cdif 3319  cfv 5457  (class class class)co 6084  cc 8993  cr 8994  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998   cmul 9000   cmin 9296  cneg 9297   cdiv 9682  cn 10005  c2 10054  cn0 10226  cz 10287  cexp 11387  csqr 12043  ◻NNcsquarenn 26913  Pell1QRcpell1qr 26914  Pell14QRcpell14qr 26916 This theorem is referenced by:  elpell1qr2  26949 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-rp 10618  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-pell1qr 26919  df-pell14qr 26920  df-pell1234qr 26921
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