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Theorem pell14qrgt0 26613
Description: A positive Pell solution is a positive number. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell14qrgt0  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  (Pell14QR `  D ) )  -> 
0  <  A )

Proof of Theorem pell14qrgt0
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell14qr 26603 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( A  e.  (Pell14QR `  D )  <->  ( A  e.  RR  /\  E. a  e.  NN0  E. b  e.  ZZ  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
2 0cn 9017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
32a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  e.  CC )
4 eldifi 3412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
54ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  NN )
65nnred 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  RR )
75nnnn0d 10206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  NN0 )
87nn0ge0d 10209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  D )
96, 8resqrcld 12147 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( sqr `  D )  e.  RR )
10 zre 10218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  RR )
1110adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )  ->  b  e.  RR )
1211ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  b  e.  RR )
139, 12remulcld 9049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  b )  e.  RR )
1413recnd 9047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  b )  e.  CC )
153, 14abssubd 12182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( 0  -  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( sqr `  D
)  x.  b )  -  0 ) ) )
1614subid1d 9332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( ( sqr `  D
)  x.  b )  -  0 )  =  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )
1716fveq2d 5672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( ( ( sqr `  D )  x.  b )  - 
0 ) )  =  ( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) )
1815, 17eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( 0  -  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) ) )  =  ( abs `  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) )
19 absresq 12034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( sqr `  D
)  x.  b )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  D )  x.  b ) ^
2 ) )
2013, 19syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  D )  x.  b ) ^
2 ) )
216recnd 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  CC )
2221sqrcld 12166 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( sqr `  D )  e.  CC )
2311recnd 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )  ->  b  e.  CC )
2423ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  b  e.  CC )
2522, 24sqmuld 11462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( ( sqr `  D
)  x.  b ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  D ) ^ 2 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )
2621sqsqrd 12168 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( sqr `  D
) ^ 2 )  =  D )
2726oveq1d 6035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( ( sqr `  D
) ^ 2 )  x.  ( b ^
2 ) )  =  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )
2820, 25, 273eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) ^ 2 )  =  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )
29 0lt1 9482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  1
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <  1 )
31 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )
3230, 31breqtrrd 4179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <  ( ( a ^
2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) ) )
3312resqcld 11476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
b ^ 2 )  e.  RR )
346, 33remulcld 9049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  e.  RR )
35 nn0re 10162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  RR )
3635adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )  ->  a  e.  RR )
3736ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  e.  RR )
3837resqcld 11476 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
a ^ 2 )  e.  RR )
3934, 38posdifd 9545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( D  x.  (
b ^ 2 ) )  <  ( a ^ 2 )  <->  0  <  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^
2 ) ) ) ) )
4032, 39mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  <  ( a ^
2 ) )
4128, 40eqbrtrd 4173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) ^ 2 )  <  ( a ^
2 ) )
4214abscld 12165 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  D )  x.  b
) )  e.  RR )
4314absge0d 12173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  ( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) )
44 nn0ge0 10179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  NN0  ->  0  <_ 
a )
4544adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )  ->  0  <_  a )
4645ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  a )
4742, 37, 43, 46lt2sqd 11484 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) )  <  a  <->  ( ( abs `  ( ( sqr `  D )  x.  b
) ) ^ 2 )  <  ( a ^ 2 ) ) )
4841, 47mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  D )  x.  b
) )  <  a
)
4918, 48eqbrtrd 4173 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( 0  -  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) ) )  <  a
)
50 0re 9024 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  e.  RR )
5251, 13, 37absdifltd 12163 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( abs `  (
0  -  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) )  <  a  <->  ( (
( ( sqr `  D
)  x.  b )  -  a )  <  0  /\  0  < 
( ( ( sqr `  D )  x.  b
)  +  a ) ) ) )
5349, 52mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( ( ( sqr `  D )  x.  b
)  -  a )  <  0  /\  0  <  ( ( ( sqr `  D )  x.  b
)  +  a ) ) )
5453simprd 450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <  ( ( ( sqr `  D )  x.  b
)  +  a ) )
55 nn0cn 10163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  CC )
5655adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )  ->  a  e.  CC )
5756ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  e.  CC )
5857, 14addcomd 9200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b ) )  =  ( ( ( sqr `  D )  x.  b )  +  a ) )
5954, 58breqtrrd 4179 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) ) )
6059adantrl 697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
0  <  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) ) )
61 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) ) )
6260, 61breqtrrd 4179 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
0  <  A )
6362ex 424 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) )  /\  (
( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
0  <  A )
)
6463rexlimdvva 2780 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( E. a  e.  NN0  E. b  e.  ZZ  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <  A ) )
6564expimpd 587 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  E. a  e.  NN0  E. b  e.  ZZ  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
0  <  A )
)
661, 65sylbid 207 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( A  e.  (Pell14QR `  D )  ->  0  <  A ) )
6766imp 419 1  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  (Pell14QR `  D ) )  -> 
0  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2650    \ cdif 3260   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223   NNcn 9932   2c2 9981   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ^cexp 11309   sqrcsqr 11965   abscabs 11966  ◻NNcsquarenn 26590  Pell14QRcpell14qr 26593
This theorem is referenced by:  pell14qrrp  26614  elpell14qr2  26616  elpell1qr2  26626  pellfundex  26640
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-pell14qr 26597
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