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Theorem pell14qrgt0 26944
Description: A positive Pell solution is a positive number. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell14qrgt0  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  (Pell14QR `  D ) )  -> 
0  <  A )

Proof of Theorem pell14qrgt0
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell14qr 26934 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( A  e.  (Pell14QR `  D )  <->  ( A  e.  RR  /\  E. a  e.  NN0  E. b  e.  ZZ  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
2 0cn 8831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0  e.  CC
32a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  e.  CC )
4 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
54ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  NN )
65nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  RR )
75nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  NN0 )
87nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  D )
96, 8resqrcld 11900 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( sqr `  D )  e.  RR )
10 zre 10028 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  RR )
1110adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )  ->  b  e.  RR )
1211ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  b  e.  RR )
139, 12remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  b )  e.  RR )
1413recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  b )  e.  CC )
153, 14abssubd 11935 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( 0  -  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( sqr `  D
)  x.  b )  -  0 ) ) )
1614subid1d 9146 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( ( sqr `  D
)  x.  b )  -  0 )  =  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )
1716fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( ( ( sqr `  D )  x.  b )  - 
0 ) )  =  ( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) )
1815, 17eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( 0  -  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) ) )  =  ( abs `  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) )
19 absresq 11787 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( sqr `  D
)  x.  b )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  D )  x.  b ) ^
2 ) )
2013, 19syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  D )  x.  b ) ^
2 ) )
216recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  CC )
2221sqrcld 11919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( sqr `  D )  e.  CC )
2311recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )  ->  b  e.  CC )
2423ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  b  e.  CC )
2522, 24sqmuld 11257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( ( sqr `  D
)  x.  b ) ^ 2 )  =  ( ( ( sqr `  D ) ^ 2 )  x.  ( b ^ 2 ) ) )
2621sqsqrd 11921 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( sqr `  D
) ^ 2 )  =  D )
2726oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( ( sqr `  D
) ^ 2 )  x.  ( b ^
2 ) )  =  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )
2820, 25, 273eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) ^ 2 )  =  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )
29 0lt1 9296 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <  1
3029a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <  1 )
31 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )
3230, 31breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <  ( ( a ^
2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) ) )
3312resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
b ^ 2 )  e.  RR )
346, 33remulcld 8863 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  e.  RR )
35 nn0re 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  RR )
3635adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )  ->  a  e.  RR )
3736ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  e.  RR )
3837resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
a ^ 2 )  e.  RR )
3934, 38posdifd 9359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( D  x.  (
b ^ 2 ) )  <  ( a ^ 2 )  <->  0  <  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^
2 ) ) ) ) )
4032, 39mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  <  ( a ^
2 ) )
4128, 40eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) ^ 2 )  <  ( a ^
2 ) )
4214abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  D )  x.  b
) )  e.  RR )
4314absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  ( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) ) )
44 nn0ge0 9991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  NN0  ->  0  <_ 
a )
4544adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )  ->  0  <_  a )
4645ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  a )
4742, 37, 43, 46lt2sqd 11279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( abs `  (
( sqr `  D
)  x.  b ) )  <  a  <->  ( ( abs `  ( ( sqr `  D )  x.  b
) ) ^ 2 )  <  ( a ^ 2 ) ) )
4841, 47mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( ( sqr `  D )  x.  b
) )  <  a
)
4918, 48eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( abs `  ( 0  -  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) ) )  <  a
)
50 0re 8838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
5150a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  e.  RR )
5251, 13, 37absdifltd 11916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( abs `  (
0  -  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) )  <  a  <->  ( (
( ( sqr `  D
)  x.  b )  -  a )  <  0  /\  0  < 
( ( ( sqr `  D )  x.  b
)  +  a ) ) ) )
5349, 52mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
( ( ( sqr `  D )  x.  b
)  -  a )  <  0  /\  0  <  ( ( ( sqr `  D )  x.  b
)  +  a ) ) )
5453simprd 449 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <  ( ( ( sqr `  D )  x.  b
)  +  a ) )
55 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  CC )
5655adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )  ->  a  e.  CC )
5756ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  e.  CC )
5857, 14addcomd 9014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b ) )  =  ( ( ( sqr `  D )  x.  b )  +  a ) )
5954, 58breqtrrd 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( (
a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) ) )
6059adantrl 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
0  <  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) ) )
61 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) ) )
6260, 61breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
0  <  A )
6362ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) )  /\  (
( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )  -> 
0  <  A )
)
6463rexlimdvva 2674 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( E. a  e.  NN0  E. b  e.  ZZ  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <  A ) )
6564expimpd 586 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  E. a  e.  NN0  E. b  e.  ZZ  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
0  <  A )
)
661, 65sylbid 206 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( A  e.  (Pell14QR `  D )  ->  0  <  A ) )
6766imp 418 1  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  (Pell14QR `  D ) )  -> 
0  <  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    \ cdif 3149   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718   abscabs 11719  ◻NNcsquarenn 26921  Pell14QRcpell14qr 26924
This theorem is referenced by:  pell14qrrp  26945  elpell14qr2  26947  elpell1qr2  26957  pellfundex  26971
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-pell14qr 26928
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