Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pell1qr1 Structured version   Unicode version

Theorem pell1qr1 26915
 Description: 1 is a Pell solution and in the first quadrant as one. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qr1 NN Pell1QR

Proof of Theorem pell1qr1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9082 . . 3
21a1i 11 . 2 NN
3 1nn0 10229 . . . 4
43a1i 11 . . 3 NN
5 0nn0 10228 . . . 4
65a1i 11 . . 3 NN
7 eldifi 3461 . . . . . . . 8 NN
87nncnd 10008 . . . . . . 7 NN
98sqrcld 12231 . . . . . 6 NN
109mul01d 9257 . . . . 5 NN
1110oveq2d 6089 . . . 4 NN
12 ax-1cn 9040 . . . . 5
1312addid1i 9245 . . . 4
1411, 13syl6req 2484 . . 3 NN
15 sq1 11468 . . . . . 6
1615a1i 11 . . . . 5 NN
17 sq0 11465 . . . . . . 7
1817oveq2i 6084 . . . . . 6
198mul01d 9257 . . . . . 6 NN
2018, 19syl5eq 2479 . . . . 5 NN
2116, 20oveq12d 6091 . . . 4 NN
2212subid1i 9364 . . . 4
2321, 22syl6eq 2483 . . 3 NN
24 oveq1 6080 . . . . . 6
2524eqeq2d 2446 . . . . 5
26 oveq1 6080 . . . . . . 7
2726oveq1d 6088 . . . . . 6
2827eqeq1d 2443 . . . . 5
2925, 28anbi12d 692 . . . 4
30 oveq2 6081 . . . . . . 7
3130oveq2d 6089 . . . . . 6
3231eqeq2d 2446 . . . . 5
33 oveq1 6080 . . . . . . . 8
3433oveq2d 6089 . . . . . . 7
3534oveq2d 6089 . . . . . 6
3635eqeq1d 2443 . . . . 5
3732, 36anbi12d 692 . . . 4
3829, 37rspc2ev 3052 . . 3
394, 6, 14, 23, 38syl112anc 1188 . 2 NN
40 elpell1qr 26891 . 2 NN Pell1QR
412, 39, 40mpbir2and 889 1 NN Pell1QR
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698   cdif 3309  cfv 5446  (class class class)co 6073  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   caddc 8985   cmul 8987   cmin 9283  cn 9992  c2 10041  cn0 10213  cexp 11374  csqr 12030  ◻NNcsquarenn 26880  Pell1QRcpell1qr 26881 This theorem is referenced by:  elpell1qr2  26916 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-pell1qr 26886
 Copyright terms: Public domain W3C validator