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Theorem pell1qrgaplem 26627
Description: Lemma for pell1qrgap 26628. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrgaplem  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_ 
( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) ) )

Proof of Theorem pell1qrgaplem
StepHypRef Expression
1 nnrp 10553 . . . . . 6  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  RR+ )
21ad2antrr 707 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  D  e.  RR+ )
3 1rp 10548 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  e.  RR+ )
52, 4rpaddcld 10595 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  1 )  e.  RR+ )
65rpsqrcld 12141 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  ( D  + 
1 ) )  e.  RR+ )
76rpred 10580 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  ( D  + 
1 ) )  e.  RR )
82rpsqrcld 12141 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  D )  e.  RR+ )
98rpred 10580 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  D )  e.  RR )
10 nn0re 10162 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
1110adantr 452 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
1211ad2antlr 708 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  A  e.  RR )
13 nn0re 10162 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN0  ->  B  e.  RR )
1413adantl 453 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  B  e.  RR )
1514ad2antlr 708 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  B  e.  RR )
169, 15remulcld 9049 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  B )  e.  RR )
172rpred 10580 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  D  e.  RR )
18 1re 9023 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1918a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  e.  RR )
2015resqcld 11476 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
2119, 20resubcld 9397 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
2217, 21remulcld 9049 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^
2 ) ) )  e.  RR )
23 0re 9024 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  0  e.  RR )
2517, 24remulcld 9049 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  0 )  e.  RR )
2612resqcld 11476 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
27 sq1 11403 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2827a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
29 nnge1 9958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  1  <_  B )
3029adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  e.  NN )  ->  1  <_  B )
31 simplrl 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) ) )
32 oveq1 6027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  =  0  ->  ( B ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
3332adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
34 sq0 11400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
3533, 34syl6eq 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( B ^ 2 )  =  0 )
3635oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( D  x.  0 ) )
372rpcnd 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  D  e.  CC )
3837adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  D  e.  CC )
3938mul01d 9197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( D  x.  0 )  =  0 )
4036, 39eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  =  0 )
4140oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) )  =  ( ( A ^ 2 )  - 
0 ) )
42 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) )  =  1 )
4312recnd 9047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  A  e.  CC )
4443sqcld 11448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
4544adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
4645subid1d 9332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  0 )  =  ( A ^
2 ) )
4741, 42, 463eqtr3d 2427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  1  =  ( A ^
2 ) )
4827, 47syl5req 2432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
49 nn0ge0 10179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
5049adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
0  <_  A )
5150ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  0  <_  A )
52 0le1 9483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <_  1
5352a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  0  <_  1 )
54 sq11 11381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  A  =  1
) )
5512, 51, 19, 53, 54syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  A  = 
1 ) )
5655adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  A  = 
1 ) )
5748, 56mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  A  =  1 )
58 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  B  =  0 )
5958oveq2d 6036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  B )  =  ( ( sqr `  D )  x.  0 ) )
608rpcnd 10582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  D )  e.  CC )
6160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( sqr `  D )  e.  CC )
6261mul01d 9197 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  0 )  =  0 )
6359, 62eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  B )  =  0 )
6457, 63oveq12d 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  =  ( 1  +  0 ) )
65 ax-1cn 8981 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
6665addid1i 9185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  0 )  =  1
6764, 66syl6eq 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  =  1 )
6831, 67breqtrd 4177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  1  <  1 )
6918ltnri 9115 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1  <  1
70 pm2.24 103 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  <  1  ->  ( -.  1  <  1  ->  1  <_  B )
)
7168, 69, 70ee10 1382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  1  <_  B )
72 simplrr 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  B  e.  NN0 )
73 elnn0 10155 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN0  <->  ( B  e.  NN  \/  B  =  0 ) )
7472, 73sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( B  e.  NN  \/  B  =  0 ) )
7530, 71, 74mpjaodan 762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  <_  B )
76 nn0ge0 10179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN0  ->  0  <_  B )
7776adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
0  <_  B )
7877ad2antlr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  0  <_  B )
7919, 15, 53, 78le2sqd 11485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1  <_  B  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( B ^ 2 ) ) )
8075, 79mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1 ^ 2 )  <_  ( B ^
2 ) )
8128, 80eqbrtrrd 4175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  <_  ( B ^ 2 ) )
8219, 20suble0d 9549 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( 1  -  ( B ^ 2 ) )  <_  0  <->  1  <_  ( B ^ 2 ) ) )
8381, 82mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1  -  ( B ^ 2 ) )  <_  0 )
8421, 24, 2lemul2d 10620 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( 1  -  ( B ^ 2 ) )  <_  0  <->  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^ 2 ) ) )  <_  ( D  x.  0 ) ) )
8583, 84mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^
2 ) ) )  <_  ( D  x.  0 ) )
8622, 25, 26, 85leadd2dd 9573 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^ 2 ) ) ) )  <_  ( ( A ^ 2 )  +  ( D  x.  0 ) ) )
875rpcnd 10582 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  1 )  e.  CC )
8887sqsqrd 12168 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( D  + 
1 ) )
89 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) )  =  1 )
9089eqcomd 2392 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
9190oveq2d 6036 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  1 )  =  ( D  +  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9215recnd 9047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  B  e.  CC )
9392sqcld 11448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
9437, 93mulcld 9041 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
9537, 44, 94addsub12d 9366 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( D  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9619recnd 9047 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  e.  CC )
9737, 96, 93subdid 9421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^
2 ) ) )  =  ( ( D  x.  1 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
9837mulid1d 9038 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  1 )  =  D )
9998oveq1d 6035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( D  x.  1 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) )  =  ( D  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
10097, 99eqtr2d 2420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( D  x.  (
1  -  ( B ^ 2 ) ) ) )
101100oveq2d 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( D  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( A ^
2 )  +  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^
2 ) ) ) ) )
10295, 101eqtrd 2419 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
10391, 102eqtrd 2419 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  1 )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( D  x.  (
1  -  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
10488, 103eqtrd 2419 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( D  x.  (
1  -  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
10537mul01d 9197 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  0 )  =  0 )
106105oveq2d 6036 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( D  x.  0 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  0 ) )
10744addid1d 9198 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  0 )  =  ( A ^
2 ) )
108106, 107eqtr2d 2420 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( ( A ^
2 )  +  ( D  x.  0 ) ) )
10986, 104, 1083brtr4d 4183 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) ) ^ 2 )  <_  ( A ^
2 ) )
1106rpge0d 10584 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  0  <_  ( sqr `  ( D  +  1 ) ) )
1117, 12, 110, 51le2sqd 11485 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) )  <_  A  <->  ( ( sqr `  ( D  + 
1 ) ) ^
2 )  <_  ( A ^ 2 ) ) )
112109, 111mpbird 224 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  ( D  + 
1 ) )  <_  A )
11360mulid1d 9038 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  1 )  =  ( sqr `  D
) )
11419, 15, 8lemul2d 10620 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1  <_  B  <->  ( ( sqr `  D )  x.  1 )  <_  (
( sqr `  D
)  x.  B ) ) )
11575, 114mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  1 )  <_  ( ( sqr `  D )  x.  B
) )
116113, 115eqbrtrrd 4175 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  D )  <_ 
( ( sqr `  D
)  x.  B ) )
1177, 9, 12, 16, 112, 116le2addd 9576 1  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_ 
( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   CCcc 8921   RRcr 8922   0cc0 8923   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928    < clt 9053    <_ cle 9054    - cmin 9223   NNcn 9932   2c2 9981   NN0cn0 10153   RR+crp 10544   ^cexp 11309   sqrcsqr 11965
This theorem is referenced by:  pell1qrgap  26628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-sup 7381  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-rp 10545  df-seq 11251  df-exp 11310  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968
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