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Theorem pell1qrgaplem 27061
Description: Lemma for pell1qrgap 27062. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrgaplem  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_ 
( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) ) )

Proof of Theorem pell1qrgaplem
StepHypRef Expression
1 nnrp 10379 . . . . . 6  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  RR+ )
21ad2antrr 706 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  D  e.  RR+ )
3 1rp 10374 . . . . . 6  |-  1  e.  RR+
43a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  e.  RR+ )
52, 4rpaddcld 10421 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  1 )  e.  RR+ )
65rpsqrcld 11910 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  ( D  + 
1 ) )  e.  RR+ )
76rpred 10406 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  ( D  + 
1 ) )  e.  RR )
82rpsqrcld 11910 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  D )  e.  RR+ )
98rpred 10406 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  D )  e.  RR )
10 nn0re 9990 . . . 4  |-  ( A  e.  NN0  ->  A  e.  RR )
1110adantr 451 . . 3  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
1211ad2antlr 707 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  A  e.  RR )
13 nn0re 9990 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN0  ->  B  e.  RR )
1413adantl 452 . . . 4  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  ->  B  e.  RR )
1514ad2antlr 707 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  B  e.  RR )
169, 15remulcld 8879 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  B )  e.  RR )
172rpred 10406 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  D  e.  RR )
18 1re 8853 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
1918a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  e.  RR )
2015resqcld 11287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( B ^ 2 )  e.  RR )
2119, 20resubcld 9227 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1  -  ( B ^ 2 ) )  e.  RR )
2217, 21remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^
2 ) ) )  e.  RR )
23 0re 8854 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
2423a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  0  e.  RR )
2517, 24remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  0 )  e.  RR )
2612resqcld 11287 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( A ^ 2 )  e.  RR )
27 sq1 11214 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2827a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
29 nnge1 9788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN  ->  1  <_  B )
3029adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  e.  NN )  ->  1  <_  B )
31 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) ) )
32 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  =  0  ->  ( B ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
3332adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( B ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
34 sq0 11211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
3533, 34syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( B ^ 2 )  =  0 )
3635oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( D  x.  0 ) )
372rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  D  e.  CC )
3837adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  D  e.  CC )
3938mul01d 9027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( D  x.  0 )  =  0 )
4036, 39eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  =  0 )
4140oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) )  =  ( ( A ^ 2 )  - 
0 ) )
42 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) )  =  1 )
4312recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  A  e.  CC )
4443sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
4544adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
4645subid1d 9162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  0 )  =  ( A ^
2 ) )
4741, 42, 463eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  1  =  ( A ^
2 ) )
4827, 47syl5req 2341 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
49 nn0ge0 10007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  NN0  ->  0  <_  A )
5049adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
0  <_  A )
5150ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  0  <_  A )
52 0le1 9313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  <_  1
5352a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  0  <_  1 )
54 sq11 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  0  <_  A )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )  ->  ( ( A ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  A  =  1
) )
5512, 51, 19, 53, 54syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  A  = 
1 ) )
5655adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( A ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 )  <->  A  = 
1 ) )
5748, 56mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  A  =  1 )
58 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  B  =  0 )
5958oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  B )  =  ( ( sqr `  D )  x.  0 ) )
608rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  D )  e.  CC )
6160adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( sqr `  D )  e.  CC )
6261mul01d 9027 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  0 )  =  0 )
6359, 62eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  B )  =  0 )
6457, 63oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  =  ( 1  +  0 ) )
65 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
6665addid1i 9015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  +  0 )  =  1
6764, 66syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  =  1 )
6831, 67breqtrd 4063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  1  <  1 )
6918ltnri 8945 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  1  <  1
70 pm2.24 101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  <  1  ->  ( -.  1  <  1  ->  1  <_  B )
)
7168, 69, 70ee10 1366 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e. 
NN0 ) )  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D )  x.  B ) )  /\  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  /\  B  =  0 )  ->  1  <_  B )
72 simplrr 737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  B  e.  NN0 )
73 elnn0 9983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  NN0  <->  ( B  e.  NN  \/  B  =  0 ) )
7472, 73sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( B  e.  NN  \/  B  =  0 ) )
7530, 71, 74mpjaodan 761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  <_  B )
76 nn0ge0 10007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  NN0  ->  0  <_  B )
7776adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )  -> 
0  <_  B )
7877ad2antlr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  0  <_  B )
7919, 15, 53, 78le2sqd 11296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1  <_  B  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( B ^ 2 ) ) )
8075, 79mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1 ^ 2 )  <_  ( B ^
2 ) )
8128, 80eqbrtrrd 4061 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  <_  ( B ^ 2 ) )
8219, 20suble0d 9379 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( 1  -  ( B ^ 2 ) )  <_  0  <->  1  <_  ( B ^ 2 ) ) )
8381, 82mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1  -  ( B ^ 2 ) )  <_  0 )
8421, 24, 2lemul2d 10446 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( 1  -  ( B ^ 2 ) )  <_  0  <->  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^ 2 ) ) )  <_  ( D  x.  0 ) ) )
8583, 84mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^
2 ) ) )  <_  ( D  x.  0 ) )
8622, 25, 26, 85leadd2dd 9403 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^ 2 ) ) ) )  <_  ( ( A ^ 2 )  +  ( D  x.  0 ) ) )
875rpcnd 10408 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  1 )  e.  CC )
8887sqsqrd 11937 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( D  + 
1 ) )
89 simprr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) )  =  1 )
9089eqcomd 2301 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  =  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
9190oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  1 )  =  ( D  +  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9215recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  B  e.  CC )
9392sqcld 11259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
9437, 93mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
9537, 44, 94addsub12d 9196 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( D  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
9619recnd 8877 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  1  e.  CC )
9737, 96, 93subdid 9251 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^
2 ) ) )  =  ( ( D  x.  1 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
9837mulid1d 8868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  1 )  =  D )
9998oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( D  x.  1 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) )  =  ( D  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
10097, 99eqtr2d 2329 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( D  x.  (
1  -  ( B ^ 2 ) ) ) )
101100oveq2d 5890 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( D  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( A ^
2 )  +  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^
2 ) ) ) ) )
10295, 101eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( D  x.  ( 1  -  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
10391, 102eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  +  1 )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( D  x.  (
1  -  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
10488, 103eqtrd 2328 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( D  x.  (
1  -  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
10537mul01d 9027 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( D  x.  0 )  =  0 )
106105oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  ( D  x.  0 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  0 ) )
10744addid1d 9028 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( A ^ 2 )  +  0 )  =  ( A ^
2 ) )
108106, 107eqtr2d 2329 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( A ^ 2 )  =  ( ( A ^
2 )  +  ( D  x.  0 ) ) )
10986, 104, 1083brtr4d 4069 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) ) ^ 2 )  <_  ( A ^
2 ) )
1106rpge0d 10410 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  0  <_  ( sqr `  ( D  +  1 ) ) )
1117, 12, 110, 51le2sqd 11296 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) )  <_  A  <->  ( ( sqr `  ( D  + 
1 ) ) ^
2 )  <_  ( A ^ 2 ) ) )
112109, 111mpbird 223 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  ( D  + 
1 ) )  <_  A )
11360mulid1d 8868 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  1 )  =  ( sqr `  D
) )
11419, 15, 8lemul2d 10446 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
1  <_  B  <->  ( ( sqr `  D )  x.  1 )  <_  (
( sqr `  D
)  x.  B ) ) )
11575, 114mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  D
)  x.  1 )  <_  ( ( sqr `  D )  x.  B
) )
116113, 115eqbrtrrd 4061 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  ( sqr `  D )  <_ 
( ( sqr `  D
)  x.  B ) )
1177, 9, 12, 16, 112, 116le2addd 9406 1  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  ( A  e.  NN0  /\  B  e.  NN0 )
)  /\  ( 1  <  ( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) )  /\  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_ 
( A  +  ( ( sqr `  D
)  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   RR+crp 10370   ^cexp 11120   sqrcsqr 11734
This theorem is referenced by:  pell1qrgap  27062
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
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