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Theorem pell1qrge1 27058
Description: A Pell solution in the first quadrant is at least 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrge1  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  (Pell1QR `  D ) )  -> 
1  <_  A )

Proof of Theorem pell1qrge1
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1qr 27035 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( A  e.  (Pell1QR `  D )  <->  ( A  e.  RR  /\  E. a  e.  NN0  E. b  e. 
NN0  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
2 1re 8853 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
32a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  e.  RR )
4 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  e.  NN0 )
54nn0red 10035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  e.  RR )
6 eldifi 3311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
76ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  NN )
87nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  NN0 )
98nn0red 10035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  RR )
108nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  D )
119, 10resqrcld 11916 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( sqr `  D )  e.  RR )
12 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  b  e.  NN0 )
1312nn0red 10035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  b  e.  RR )
1411, 13remulcld 8879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( ( sqr `  D )  x.  b )  e.  RR )
155, 14readdcld 8878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) )  e.  RR )
16 2nn0 9998 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN0
1716a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  2  e.  NN0 )
1812, 17nn0expcld 11283 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( b ^ 2 )  e. 
NN0 )
198, 18nn0mulcld 10039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  e.  NN0 )
2019nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )
2119nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  e.  RR )
223, 21addge02d 9377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 0  <_  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  <->  1  <_  ( ( D  x.  (
b ^ 2 ) )  +  1 ) ) )
2320, 22mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  ( ( D  x.  (
b ^ 2 ) )  +  1 ) )
24 sq1 11214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2524a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 1 ^ 2 )  =  1 )
26 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  CC )
2726ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  a  e.  CC )
2827sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( a ^
2 )  e.  CC )
296ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  D  e.  NN )
3029nncnd 9778 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  D  e.  CC )
31 nn0cn 9991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  CC )
3231ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  b  e.  CC )
3332sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( b ^
2 )  e.  CC )
3430, 33mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  e.  CC )
35 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
3635a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  1  e.  CC )
3728, 34, 36subaddd 9191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1  <->  ( ( D  x.  ( b ^
2 ) )  +  1 )  =  ( a ^ 2 ) ) )
3837biimpa 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  +  1 )  =  ( a ^ 2 ) )
3938eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( a ^ 2 )  =  ( ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  +  1 ) )
4023, 25, 393brtr4d 4069 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( a ^ 2 ) )
41 0le1 9313 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
4241a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  1 )
434nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  a )
443, 5, 42, 43le2sqd 11296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 1  <_  a  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( a ^ 2 ) ) )
4540, 44mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  a )
469, 10sqrge0d 11919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  ( sqr `  D ) )
4712nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  b )
4811, 13, 46, 47mulge0d 9365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )
495, 14addge01d 9376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 0  <_  ( ( sqr `  D )  x.  b
)  <->  a  <_  (
a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) ) )
5048, 49mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  <_  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) )
513, 5, 15, 45, 50letrd 8989 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) )
5251adantrl 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
1  <_  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) ) )
53 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) ) )
5452, 53breqtrrd 4065 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
1  <_  A )
5554ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  A ) )
5655rexlimdvva 2687 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( E. a  e.  NN0  E. b  e. 
NN0  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  A ) )
5756expimpd 586 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  E. a  e.  NN0  E. b  e. 
NN0  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
1  <_  A )
)
581, 57sylbid 206 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( A  e.  (Pell1QR `  D )  ->  1  <_  A ) )
5958imp 418 1  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  (Pell1QR `  D ) )  -> 
1  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557    \ cdif 3162   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    <_ cle 8884    - cmin 9053   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ^cexp 11120   sqrcsqr 11734  ◻NNcsquarenn 27024  Pell1QRcpell1qr 27025
This theorem is referenced by:  elpell1qr2  27060
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-pell1qr 27030
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