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Theorem pell1qrge1 26955
Description: A Pell solution in the first quadrant is at least 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pell1qrge1  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  (Pell1QR `  D ) )  -> 
1  <_  A )

Proof of Theorem pell1qrge1
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpell1qr 26932 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( A  e.  (Pell1QR `  D )  <->  ( A  e.  RR  /\  E. a  e.  NN0  E. b  e. 
NN0  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) ) ) )
2 1re 8837 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
32a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  e.  RR )
4 simplrl 736 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  e.  NN0 )
54nn0red 10019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  e.  RR )
6 eldifi 3298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
76ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  NN )
87nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  NN0 )
98nn0red 10019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  RR )
108nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  D )
119, 10resqrcld 11900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( sqr `  D )  e.  RR )
12 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  b  e.  NN0 )
1312nn0red 10019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  b  e.  RR )
1411, 13remulcld 8863 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( ( sqr `  D )  x.  b )  e.  RR )
155, 14readdcld 8862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) )  e.  RR )
16 2nn0 9982 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  NN0
1716a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  2  e.  NN0 )
1812, 17nn0expcld 11267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( b ^ 2 )  e. 
NN0 )
198, 18nn0mulcld 10023 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  e.  NN0 )
2019nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )
2119nn0red 10019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  e.  RR )
223, 21addge02d 9361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 0  <_  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  <->  1  <_  ( ( D  x.  (
b ^ 2 ) )  +  1 ) ) )
2320, 22mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  ( ( D  x.  (
b ^ 2 ) )  +  1 ) )
24 sq1 11198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2524a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 1 ^ 2 )  =  1 )
26 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  CC )
2726ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  a  e.  CC )
2827sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( a ^
2 )  e.  CC )
296ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  D  e.  NN )
3029nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  D  e.  CC )
31 nn0cn 9975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  CC )
3231ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  b  e.  CC )
3332sqcld 11243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( b ^
2 )  e.  CC )
3430, 33mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  e.  CC )
35 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
3635a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  1  e.  CC )
3728, 34, 36subaddd 9175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1  <->  ( ( D  x.  ( b ^
2 ) )  +  1 )  =  ( a ^ 2 ) ) )
3837biimpa 470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  +  1 )  =  ( a ^ 2 ) )
3938eqcomd 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( a ^ 2 )  =  ( ( D  x.  ( b ^ 2 ) )  +  1 ) )
4023, 25, 393brtr4d 4053 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( a ^ 2 ) )
41 0le1 9297 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  1
4241a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  1 )
434nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  a )
443, 5, 42, 43le2sqd 11280 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 1  <_  a  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( a ^ 2 ) ) )
4540, 44mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  a )
469, 10sqrge0d 11903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  ( sqr `  D ) )
4712nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  b )
4811, 13, 46, 47mulge0d 9349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  0  <_  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )
495, 14addge01d 9360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( 0  <_  ( ( sqr `  D )  x.  b
)  <->  a  <_  (
a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) ) )
5048, 49mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  a  <_  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) )
513, 5, 15, 45, 50letrd 8973 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  (
b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b ) ) )
5251adantrl 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
1  <_  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) ) )
53 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  ->  A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D )  x.  b
) ) )
5452, 53breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  /\  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
1  <_  A )
5554ex 423 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  A  e.  RR )  /\  (
a  e.  NN0  /\  b  e.  NN0 ) )  ->  ( ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  A ) )
5655rexlimdvva 2674 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  RR )  ->  ( E. a  e.  NN0  E. b  e. 
NN0  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <_  A ) )
5756expimpd 586 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( A  e.  RR  /\  E. a  e.  NN0  E. b  e. 
NN0  ( A  =  ( a  +  ( ( sqr `  D
)  x.  b ) )  /\  ( ( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^ 2 ) ) )  =  1 ) )  -> 
1  <_  A )
)
581, 57sylbid 206 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( A  e.  (Pell1QR `  D )  ->  1  <_  A ) )
5958imp 418 1  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  A  e.  (Pell1QR `  D ) )  -> 
1  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    \ cdif 3149   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    <_ cle 8868    - cmin 9037   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718  ◻NNcsquarenn 26921  Pell1QRcpell1qr 26922
This theorem is referenced by:  elpell1qr2  26957
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-pell1qr 26927
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