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Theorem pellexlem2 27018
Description: Lemma for pellex 27023. Arithmetical core of pellexlem3, norm upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellexlem2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )

Proof of Theorem pellexlem2
StepHypRef Expression
1 simpl3 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  e.  NN )
21nnred 9777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  e.  RR )
32resqcld 11287 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  e.  RR )
42sqge0d 11288 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  ( B ^ 2 ) )
53, 4absidd 11921 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  ( B ^ 2 ) )  =  ( B ^
2 ) )
65eqcomd 2301 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  =  ( abs `  ( B ^ 2 ) ) )
76oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  /  ( abs `  ( B ^
2 ) ) ) )
8 simpl2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  A  e.  NN )
98nncnd 9778 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  A  e.  CC )
109sqcld 11259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
11 simpl1 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  NN )
1211nncnd 9778 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  CC )
131nncnd 9778 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  e.  CC )
1413sqcld 11259 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  e.  CC )
1512, 14mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
1610, 15subcld 9173 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
171nnne0d 9806 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  =/=  0 )
18 sqne0 11186 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B ^ 2 )  =/=  0  <->  B  =/=  0 ) )
1918biimpar 471 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =/=  0 )
2013, 17, 19syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  =/=  0 )
2116, 14, 20absdivd 11953 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  / 
( abs `  ( B ^ 2 ) ) ) )
227, 21eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
2322oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
2416abscld 11934 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  e.  RR )
2524recnd 8877 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  e.  CC )
2625, 14, 20divcan2d 9554 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( abs `  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
2710, 15, 14, 20divsubdird 9591 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( B ^
2 ) )  -  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
289, 13, 17sqdivd 11274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( B ^
2 ) ) )
2928eqcomd 2301 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  /  B ) ^
2 ) )
3011nnred 9777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  RR )
3111nnnn0d 10034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  NN0 )
3231nn0ge0d 10037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  D )
33 remsqsqr 11758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )  -> 
( ( sqr `  D
)  x.  ( sqr `  D ) )  =  D )
3430, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  x.  ( sqr `  D ) )  =  D )
3530, 32resqrcld 11916 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR )
3635recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  CC )
3736sqvald 11258 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  D )  x.  ( sqr `  D ) ) )
3812, 14, 20divcan4d 9558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  D )
3934, 37, 383eqtr4rd 2339 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( sqr `  D ) ^ 2 ) )
4029, 39oveq12d 5892 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) )  -  (
( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^
2 ) ) )  =  ( ( ( A  /  B ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  D
) ^ 2 ) ) )
419, 13, 17divcld 9552 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( A  /  B
)  e.  CC )
42 subsq 11226 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  B
)  e.  CC  /\  ( sqr `  D )  e.  CC )  -> 
( ( ( A  /  B ) ^
2 )  -  (
( sqr `  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) ) )
4341, 36, 42syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B ) ^
2 )  -  (
( sqr `  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) ) )
4441, 36addcld 8870 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
458nnred 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  A  e.  RR )
4645, 1nndivred 9810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
4746, 35resubcld 9227 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
4847recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
4944, 48mulcomd 8872 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
5043, 49eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B ) ^
2 )  -  (
( sqr `  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )
5127, 40, 503eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
5251fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) )
5352oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )
5423, 26, 533eqtr3d 2336 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )
5548, 44absmuld 11952 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
5655oveq2d 5890 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
5748abscld 11934 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
5844abscld 11934 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
5957, 58remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  RR )
603, 59remulcld 8879 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  e.  RR )
61 2nn0 9998 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
6261nn0negzi 10074 . . . . . . . 8  |-  -u 2  e.  ZZ
6362a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  -u 2  e.  ZZ )
642, 17, 63reexpclzd 11286 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  e.  RR )
6564, 58remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR )
663, 65remulcld 8879 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  e.  RR )
67 1re 8853 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6867a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
1  e.  RR )
69 2re 9831 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
7069a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
2  e.  RR )
7170, 35remulcld 8879 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
7268, 71readdcld 8878 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
73 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )
748nngt0d 9805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  A )
751nngt0d 9805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  B )
7645, 2, 74, 75divgt0d 9708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( A  /  B ) )
7711nngt0d 9805 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  D )
78 sqrgt0 11760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  RR  /\  0  <  D )  -> 
0  <  ( sqr `  D ) )
7930, 77, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( sqr `  D ) )
8046, 35, 76, 79addgt0d 9363 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) )
8180gt0ne0d 9353 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =/=  0 )
82 absgt0 11824 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC  ->  ( (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) )
8382biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC  /\  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =/=  0 )  ->  0  <  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )
8444, 81, 83syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )
85 ltmul1 9622 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR  /\  ( B ^ -u 2 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 )  <->  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
8657, 64, 58, 84, 85syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 )  <->  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
8773, 86mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
882, 17sqgt0d 11289 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( B ^ 2 ) )
89 ltmul2 9623 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR  /\  (
( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <  ( B ^
2 ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )  <->  ( ( B ^ 2 )  x.  ( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) ) )
9059, 65, 3, 88, 89syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )  < 
( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  <-> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) ) )
9187, 90mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
9213, 17, 63expclzd 11266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  e.  CC )
9358recnd 8877 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  e.  CC )
94 mulass 8841 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ 2 )  e.  CC  /\  ( B ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) )  e.  CC )  ->  (
( ( B ^
2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )  =  ( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
9594eqcomd 2301 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B ^ 2 )  e.  CC  /\  ( B ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) )  e.  CC )  ->  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
9614, 92, 93, 95syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
97 expneg 11127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( B ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( B ^
2 ) ) )
9813, 61, 97sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( B ^
2 ) ) )
9998oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( 1  / 
( B ^ 2 ) ) ) )
10014, 20recidd 9547 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
1  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 )
10199, 100eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  =  1 )
102101oveq1d 5889 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( B ^ 2 )  x.  ( B ^ -u 2
) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
10393mulid2d 8869 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  =  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
10496, 102, 1033eqtrd 2332 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
10541, 36addcomd 9030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =  ( ( sqr `  D )  +  ( A  /  B ) ) )
106 ppncan 9105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  D
)  e.  CC  /\  ( sqr `  D )  e.  CC  /\  ( A  /  B )  e.  CC )  ->  (
( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  +  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  =  ( ( sqr `  D )  +  ( A  /  B ) ) )
107106eqcomd 2301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  D
)  e.  CC  /\  ( sqr `  D )  e.  CC  /\  ( A  /  B )  e.  CC )  ->  (
( sqr `  D
)  +  ( A  /  B ) )  =  ( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) )  +  ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) ) )
10836, 36, 41, 107syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  +  ( A  /  B ) )  =  ( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) )  +  ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) ) )
10936, 36addcld 8870 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
110109, 48addcomd 9030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D ) )  +  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) ) ) )
111 2times 9859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  D )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sqr `  D ) )  =  ( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) ) )
112111eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  D )  e.  CC  ->  (
( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) )
11336, 112syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) )
114113oveq2d 5890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
115110, 114eqtrd 2328 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D ) )  +  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
116105, 108, 1153eqtrd 2332 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
117116fveq2d 5545 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  =  ( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )
11847, 71readdcld 8878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  e.  RR )
119118recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  e.  CC )
120119abscld 11934 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR )
12171recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
122121abscld 11934 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
12357, 122readdcld 8878 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  RR )
12448, 121abstrid 11954 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )
12561nn0ge0i 10009 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  2
126125a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  2 )
12730, 32sqrge0d 11919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  D ) )
12870, 35, 126, 127mulge0d 9365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )
12971, 128absidd 11921 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )
130129oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
1311nnsqcld 11281 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  e.  NN )
132131nnge1d 9804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
1  <_  ( B ^ 2 ) )
133 0lt1 9312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
134133a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  1 )
135 lerec 9654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  < 
( B ^ 2 ) ) )  -> 
( 1  <_  ( B ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( B ^
2 ) )  <_ 
( 1  /  1
) ) )
13668, 134, 3, 88, 135syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  <_  ( B ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( B ^
2 ) )  <_ 
( 1  /  1
) ) )
137132, 136mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  /  ( B ^ 2 ) )  <_  ( 1  / 
1 ) )
138 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
139138div1i 9504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  1 )  =  1
140137, 139syl6breq 4078 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  /  ( B ^ 2 ) )  <_  1 )
14198, 140eqbrtrd 4059 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  <_  1 )
14257, 64, 68, 73, 141ltletrd 8992 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  1 )
14357, 68, 142ltled 8983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <_  1 )
14457, 68, 71, 143leadd1dd 9402 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  <_ 
( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
145130, 144eqbrtrd 4059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
146120, 123, 72, 124, 145letrd 8989 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
147117, 146eqbrtrd 4059 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
148104, 147eqbrtrd 4059 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
14960, 66, 72, 91, 148ltletrd 8992 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
15056, 149eqbrtrd 4059 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
15154, 150eqbrtrd 4059 1  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053   -ucneg 9054    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ^cexp 11120   sqrcsqr 11734   abscabs 11735
This theorem is referenced by:  pellexlem3  27019
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737
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