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Theorem pellexlem2 26577
Description: Lemma for pellex 26582. Arithmetical core of pellexlem3, norm upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellexlem2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )

Proof of Theorem pellexlem2
StepHypRef Expression
1 simpl3 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  e.  NN )
21nnred 9940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  e.  RR )
32resqcld 11469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  e.  RR )
42sqge0d 11470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  ( B ^ 2 ) )
53, 4absidd 12145 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  ( B ^ 2 ) )  =  ( B ^
2 ) )
65eqcomd 2385 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  =  ( abs `  ( B ^ 2 ) ) )
76oveq2d 6029 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  /  ( abs `  ( B ^
2 ) ) ) )
8 simpl2 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  A  e.  NN )
98nncnd 9941 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  A  e.  CC )
109sqcld 11441 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
11 simpl1 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  NN )
1211nncnd 9941 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  CC )
131nncnd 9941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  e.  CC )
1413sqcld 11441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  e.  CC )
1512, 14mulcld 9034 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
1610, 15subcld 9336 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
171nnne0d 9969 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  =/=  0 )
18 sqne0 11368 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B ^ 2 )  =/=  0  <->  B  =/=  0 ) )
1918biimpar 472 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =/=  0 )
2013, 17, 19syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  =/=  0 )
2116, 14, 20absdivd 12177 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  / 
( abs `  ( B ^ 2 ) ) ) )
227, 21eqtr4d 2415 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
2322oveq2d 6029 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
2416abscld 12158 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  e.  RR )
2524recnd 9040 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  e.  CC )
2625, 14, 20divcan2d 9717 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( abs `  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
2710, 15, 14, 20divsubdird 9754 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( B ^
2 ) )  -  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
289, 13, 17sqdivd 11456 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( B ^
2 ) ) )
2928eqcomd 2385 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  /  B ) ^
2 ) )
3011nnred 9940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  RR )
3111nnnn0d 10199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  NN0 )
3231nn0ge0d 10202 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  D )
33 remsqsqr 11982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )  -> 
( ( sqr `  D
)  x.  ( sqr `  D ) )  =  D )
3430, 32, 33syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  x.  ( sqr `  D ) )  =  D )
3530, 32resqrcld 12140 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR )
3635recnd 9040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  CC )
3736sqvald 11440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  D )  x.  ( sqr `  D ) ) )
3812, 14, 20divcan4d 9721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  D )
3934, 37, 383eqtr4rd 2423 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( sqr `  D ) ^ 2 ) )
4029, 39oveq12d 6031 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) )  -  (
( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^
2 ) ) )  =  ( ( ( A  /  B ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  D
) ^ 2 ) ) )
419, 13, 17divcld 9715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( A  /  B
)  e.  CC )
42 subsq 11408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  B
)  e.  CC  /\  ( sqr `  D )  e.  CC )  -> 
( ( ( A  /  B ) ^
2 )  -  (
( sqr `  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) ) )
4341, 36, 42syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B ) ^
2 )  -  (
( sqr `  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) ) )
4441, 36addcld 9033 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
458nnred 9940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  A  e.  RR )
4645, 1nndivred 9973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
4746, 35resubcld 9390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
4847recnd 9040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
4944, 48mulcomd 9035 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
5043, 49eqtrd 2412 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B ) ^
2 )  -  (
( sqr `  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )
5127, 40, 503eqtrd 2416 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
5251fveq2d 5665 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) )
5352oveq2d 6029 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )
5423, 26, 533eqtr3d 2420 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )
5548, 44absmuld 12176 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
5655oveq2d 6029 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
5748abscld 12158 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
5844abscld 12158 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
5957, 58remulcld 9042 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  RR )
603, 59remulcld 9042 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  e.  RR )
61 2nn0 10163 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
6261nn0negzi 10241 . . . . . . . 8  |-  -u 2  e.  ZZ
6362a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  -u 2  e.  ZZ )
642, 17, 63reexpclzd 11468 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  e.  RR )
6564, 58remulcld 9042 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR )
663, 65remulcld 9042 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  e.  RR )
67 1re 9016 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6867a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
1  e.  RR )
69 2re 9994 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
7069a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
2  e.  RR )
7170, 35remulcld 9042 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
7268, 71readdcld 9041 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
73 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )
748nngt0d 9968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  A )
751nngt0d 9968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  B )
7645, 2, 74, 75divgt0d 9871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( A  /  B ) )
7711nngt0d 9968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  D )
78 sqrgt0 11984 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  RR  /\  0  <  D )  -> 
0  <  ( sqr `  D ) )
7930, 77, 78syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( sqr `  D ) )
8046, 35, 76, 79addgt0d 9526 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) )
8180gt0ne0d 9516 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =/=  0 )
82 absgt0 12048 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC  ->  ( (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) )
8382biimpa 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC  /\  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =/=  0 )  ->  0  <  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )
8444, 81, 83syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )
85 ltmul1 9785 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR  /\  ( B ^ -u 2 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 )  <->  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
8657, 64, 58, 84, 85syl112anc 1188 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 )  <->  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
8773, 86mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
882, 17sqgt0d 11471 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( B ^ 2 ) )
89 ltmul2 9786 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR  /\  (
( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <  ( B ^
2 ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )  <->  ( ( B ^ 2 )  x.  ( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) ) )
9059, 65, 3, 88, 89syl112anc 1188 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )  < 
( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  <-> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) ) )
9187, 90mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
9213, 17, 63expclzd 11448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  e.  CC )
9358recnd 9040 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  e.  CC )
94 mulass 9004 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ 2 )  e.  CC  /\  ( B ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) )  e.  CC )  ->  (
( ( B ^
2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )  =  ( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
9594eqcomd 2385 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B ^ 2 )  e.  CC  /\  ( B ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) )  e.  CC )  ->  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
9614, 92, 93, 95syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
97 expneg 11309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( B ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( B ^
2 ) ) )
9813, 61, 97sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( B ^
2 ) ) )
9998oveq2d 6029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( 1  / 
( B ^ 2 ) ) ) )
10014, 20recidd 9710 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
1  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 )
10199, 100eqtrd 2412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  =  1 )
102101oveq1d 6028 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( B ^ 2 )  x.  ( B ^ -u 2
) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
10393mulid2d 9032 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  =  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
10496, 102, 1033eqtrd 2416 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
10541, 36addcomd 9193 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =  ( ( sqr `  D )  +  ( A  /  B ) ) )
106 ppncan 9268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  D
)  e.  CC  /\  ( sqr `  D )  e.  CC  /\  ( A  /  B )  e.  CC )  ->  (
( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  +  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  =  ( ( sqr `  D )  +  ( A  /  B ) ) )
107106eqcomd 2385 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  D
)  e.  CC  /\  ( sqr `  D )  e.  CC  /\  ( A  /  B )  e.  CC )  ->  (
( sqr `  D
)  +  ( A  /  B ) )  =  ( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) )  +  ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) ) )
10836, 36, 41, 107syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  +  ( A  /  B ) )  =  ( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) )  +  ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) ) )
10936, 36addcld 9033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
110109, 48addcomd 9193 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D ) )  +  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) ) ) )
111 2times 10024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  D )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sqr `  D ) )  =  ( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) ) )
112111eqcomd 2385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  D )  e.  CC  ->  (
( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) )
11336, 112syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) )
114113oveq2d 6029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
115110, 114eqtrd 2412 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D ) )  +  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
116105, 108, 1153eqtrd 2416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
117116fveq2d 5665 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  =  ( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )
11847, 71readdcld 9041 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  e.  RR )
119118recnd 9040 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  e.  CC )
120119abscld 12158 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR )
12171recnd 9040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
122121abscld 12158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
12357, 122readdcld 9041 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  RR )
12448, 121abstrid 12178 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )
12561nn0ge0i 10174 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  2
126125a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  2 )
12730, 32sqrge0d 12143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  D ) )
12870, 35, 126, 127mulge0d 9528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )
12971, 128absidd 12145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )
130129oveq2d 6029 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
1311nnsqcld 11463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  e.  NN )
132131nnge1d 9967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
1  <_  ( B ^ 2 ) )
133 0lt1 9475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
134133a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  1 )
135 lerec 9817 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  < 
( B ^ 2 ) ) )  -> 
( 1  <_  ( B ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( B ^
2 ) )  <_ 
( 1  /  1
) ) )
13668, 134, 3, 88, 135syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  <_  ( B ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( B ^
2 ) )  <_ 
( 1  /  1
) ) )
137132, 136mpbid 202 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  /  ( B ^ 2 ) )  <_  ( 1  / 
1 ) )
138 ax-1cn 8974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
139138div1i 9667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  1 )  =  1
140137, 139syl6breq 4185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  /  ( B ^ 2 ) )  <_  1 )
14198, 140eqbrtrd 4166 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  <_  1 )
14257, 64, 68, 73, 141ltletrd 9155 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  1 )
14357, 68, 142ltled 9146 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <_  1 )
14457, 68, 71, 143leadd1dd 9565 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  <_ 
( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
145130, 144eqbrtrd 4166 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
146120, 123, 72, 124, 145letrd 9152 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
147117, 146eqbrtrd 4166 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
148104, 147eqbrtrd 4166 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
14960, 66, 72, 91, 148ltletrd 9155 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
15056, 149eqbrtrd 4166 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
15154, 150eqbrtrd 4166 1  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   CCcc 8914   RRcr 8915   0cc0 8916   1c1 8917    + caddc 8919    x. cmul 8921    < clt 9046    <_ cle 9047    - cmin 9216   -ucneg 9217    / cdiv 9602   NNcn 9925   2c2 9974   NN0cn0 10146   ZZcz 10207   ^cexp 11302   sqrcsqr 11958   abscabs 11959
This theorem is referenced by:  pellexlem3  26578
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993  ax-pre-sup 8994
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-er 6834  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-sup 7374  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-div 9603  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-rp 10538  df-seq 11244  df-exp 11303  df-cj 11824  df-re 11825  df-im 11826  df-sqr 11960  df-abs 11961
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