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Theorem pellexlem2 26915
Description: Lemma for pellex 26920. Arithmetical core of pellexlem3, norm upper bound. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellexlem2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )

Proof of Theorem pellexlem2
StepHypRef Expression
1 simpl3 960 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  e.  NN )
21nnred 9761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  e.  RR )
32resqcld 11271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  e.  RR )
42sqge0d 11272 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  ( B ^ 2 ) )
53, 4absidd 11905 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  ( B ^ 2 ) )  =  ( B ^
2 ) )
65eqcomd 2288 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  =  ( abs `  ( B ^ 2 ) ) )
76oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  /  ( abs `  ( B ^
2 ) ) ) )
8 simpl2 959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  A  e.  NN )
98nncnd 9762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  A  e.  CC )
109sqcld 11243 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( A ^ 2 )  e.  CC )
11 simpl1 958 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  NN )
1211nncnd 9762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  CC )
131nncnd 9762 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  e.  CC )
1413sqcld 11243 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  e.  CC )
1512, 14mulcld 8855 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
1610, 15subcld 9157 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  e.  CC )
171nnne0d 9790 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  B  =/=  0 )
18 sqne0 11170 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
( B ^ 2 )  =/=  0  <->  B  =/=  0 ) )
1918biimpar 471 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  B  =/=  0 )  -> 
( B ^ 2 )  =/=  0 )
2013, 17, 19syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  =/=  0 )
2116, 14, 20absdivd 11937 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )  / 
( abs `  ( B ^ 2 ) ) ) )
227, 21eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
2322oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
2416abscld 11918 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  e.  RR )
2524recnd 8861 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  e.  CC )
2625, 14, 20divcan2d 9538 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( abs `  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) ) )
2710, 15, 14, 20divsubdird 9575 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  /  ( B ^
2 ) )  -  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) )
289, 13, 17sqdivd 11258 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( B ^
2 ) ) )
2928eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A ^
2 )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( A  /  B ) ^
2 ) )
3011nnred 9761 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  RR )
3111nnnn0d 10018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  D  e.  NN0 )
3231nn0ge0d 10021 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  D )
33 remsqsqr 11742 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  RR  /\  0  <_  D )  -> 
( ( sqr `  D
)  x.  ( sqr `  D ) )  =  D )
3430, 32, 33syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  x.  ( sqr `  D ) )  =  D )
3530, 32resqrcld 11900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR )
3635recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  CC )
3736sqvald 11242 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
) ^ 2 )  =  ( ( sqr `  D )  x.  ( sqr `  D ) ) )
3812, 14, 20divcan4d 9542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  D )
3934, 37, 383eqtr4rd 2326 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( sqr `  D ) ^ 2 ) )
4029, 39oveq12d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  / 
( B ^ 2 ) )  -  (
( D  x.  ( B ^ 2 ) )  /  ( B ^
2 ) ) )  =  ( ( ( A  /  B ) ^ 2 )  -  ( ( sqr `  D
) ^ 2 ) ) )
419, 13, 17divcld 9536 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( A  /  B
)  e.  CC )
42 subsq 11210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  /  B
)  e.  CC  /\  ( sqr `  D )  e.  CC )  -> 
( ( ( A  /  B ) ^
2 )  -  (
( sqr `  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) ) )
4341, 36, 42syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B ) ^
2 )  -  (
( sqr `  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) ) )
4441, 36addcld 8854 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
458nnred 9761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  A  e.  RR )
4645, 1nndivred 9794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( A  /  B
)  e.  RR )
4746, 35resubcld 9211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
4847recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
4944, 48mulcomd 8856 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
5043, 49eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B ) ^
2 )  -  (
( sqr `  D
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )
5127, 40, 503eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
5251fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) )
5352oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  /  ( B ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )
5423, 26, 533eqtr3d 2323 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) ) )
5548, 44absmuld 11936 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  x.  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
5655oveq2d 5874 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
5748abscld 11918 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
5844abscld 11918 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
5957, 58remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  RR )
603, 59remulcld 8863 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  e.  RR )
61 2nn0 9982 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN0
6261nn0negzi 10058 . . . . . . . 8  |-  -u 2  e.  ZZ
6362a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  ->  -u 2  e.  ZZ )
642, 17, 63reexpclzd 11270 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  e.  RR )
6564, 58remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR )
663, 65remulcld 8863 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  e.  RR )
67 1re 8837 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6867a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
1  e.  RR )
69 2re 9815 . . . . . . 7  |-  2  e.  RR
7069a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
2  e.  RR )
7170, 35remulcld 8863 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
7268, 71readdcld 8862 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
73 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )
748nngt0d 9789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  A )
751nngt0d 9789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  B )
7645, 2, 74, 75divgt0d 9692 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( A  /  B ) )
7711nngt0d 9789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  D )
78 sqrgt0 11744 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  RR  /\  0  <  D )  -> 
0  <  ( sqr `  D ) )
7930, 77, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( sqr `  D ) )
8046, 35, 76, 79addgt0d 9347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) )
8180gt0ne0d 9337 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =/=  0 )
82 absgt0 11808 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC  ->  ( (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) )  =/=  0  <->  0  <  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) ) )
8382biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC  /\  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =/=  0 )  ->  0  <  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )
8444, 81, 83syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )
85 ltmul1 9606 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR  /\  ( B ^ -u 2 )  e.  RR  /\  (
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  ->  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 )  <->  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
8657, 64, 58, 84, 85syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 )  <->  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
8773, 86mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
882, 17sqgt0d 11273 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  ( B ^ 2 ) )
89 ltmul2 9607 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  RR  /\  ( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR  /\  (
( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  <  ( B ^
2 ) ) )  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )  <  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )  <->  ( ( B ^ 2 )  x.  ( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) ) )
9059, 65, 3, 88, 89syl112anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )  < 
( ( B ^ -u 2 )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  <-> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) ) )
9187, 90mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
9213, 17, 63expclzd 11250 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  e.  CC )
9358recnd 8861 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  e.  CC )
94 mulass 8825 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B ^ 2 )  e.  CC  /\  ( B ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) )  e.  CC )  ->  (
( ( B ^
2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) )  =  ( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) ) )
9594eqcomd 2288 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B ^ 2 )  e.  CC  /\  ( B ^ -u 2
)  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) )  e.  CC )  ->  (
( B ^ 2 )  x.  ( ( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
9614, 92, 93, 95syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
97 expneg 11111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  CC  /\  2  e.  NN0 )  -> 
( B ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( B ^
2 ) ) )
9813, 61, 97sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  =  ( 1  /  ( B ^
2 ) ) )
9998oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( 1  / 
( B ^ 2 ) ) ) )
10014, 20recidd 9531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
1  /  ( B ^ 2 ) ) )  =  1 )
10199, 100eqtrd 2315 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( B ^ -u 2 ) )  =  1 )
102101oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( B ^ 2 )  x.  ( B ^ -u 2
) )  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  =  ( 1  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )
10393mulid2d 8853 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D
) ) ) )  =  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
10496, 102, 1033eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  =  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) )
10541, 36addcomd 9014 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =  ( ( sqr `  D )  +  ( A  /  B ) ) )
106 ppncan 9089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  D
)  e.  CC  /\  ( sqr `  D )  e.  CC  /\  ( A  /  B )  e.  CC )  ->  (
( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  +  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  =  ( ( sqr `  D )  +  ( A  /  B ) ) )
107106eqcomd 2288 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  D
)  e.  CC  /\  ( sqr `  D )  e.  CC  /\  ( A  /  B )  e.  CC )  ->  (
( sqr `  D
)  +  ( A  /  B ) )  =  ( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) )  +  ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) ) )
10836, 36, 41, 107syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  +  ( A  /  B ) )  =  ( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) )  +  ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) ) )
10936, 36addcld 8854 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
110109, 48addcomd 9014 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D ) )  +  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) ) ) )
111 2times 9843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( sqr `  D )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( sqr `  D ) )  =  ( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) ) )
112111eqcomd 2288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  D )  e.  CC  ->  (
( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) )
11336, 112syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  +  ( sqr `  D ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) )
114113oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D
) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
115110, 114eqtrd 2315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( sqr `  D )  +  ( sqr `  D ) )  +  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  =  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
116105, 108, 1153eqtrd 2319 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) )  =  ( ( ( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
117116fveq2d 5529 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  =  ( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) ) )
11847, 71readdcld 8862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  e.  RR )
119118recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  e.  CC )
120119abscld 11918 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  e.  RR )
12171recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 2  x.  ( sqr `  D ) )  e.  CC )
122121abscld 11918 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) )  e.  RR )
12357, 122readdcld 8862 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  e.  RR )
12448, 121abstrid 11938 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  <_  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) ) )
12561nn0ge0i 9993 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <_  2
126125a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  2 )
12730, 32sqrge0d 11903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  ( sqr `  D ) )
12870, 35, 126, 127mulge0d 9349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <_  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )
12971, 128absidd 11905 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) )  =  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )
130129oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
1311nnsqcld 11265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ 2 )  e.  NN )
132131nnge1d 9788 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
1  <_  ( B ^ 2 ) )
133 0lt1 9296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <  1
134133a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
0  <  1 )
135 lerec 9638 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( ( B ^ 2 )  e.  RR  /\  0  < 
( B ^ 2 ) ) )  -> 
( 1  <_  ( B ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( B ^
2 ) )  <_ 
( 1  /  1
) ) )
13668, 134, 3, 88, 135syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  <_  ( B ^ 2 )  <->  ( 1  /  ( B ^
2 ) )  <_ 
( 1  /  1
) ) )
137132, 136mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  /  ( B ^ 2 ) )  <_  ( 1  / 
1 ) )
138 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
139138div1i 9488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  /  1 )  =  1
140137, 139syl6breq 4062 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( 1  /  ( B ^ 2 ) )  <_  1 )
14198, 140eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( B ^ -u 2
)  <_  1 )
14257, 64, 68, 73, 141ltletrd 8976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  1 )
14357, 68, 142ltled 8967 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <_  1 )
14457, 68, 71, 143leadd1dd 9386 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) )  <_ 
( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
145130, 144eqbrtrd 4043 . . . . . . 7  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  +  ( abs `  (
2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
146120, 123, 72, 124, 145letrd 8973 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D ) )  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
147117, 146eqbrtrd 4043 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
148104, 147eqbrtrd 4043 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( B ^ -u 2
)  x.  ( abs `  ( ( A  /  B )  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <_  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D ) ) ) )
14960, 66, 72, 91, 148ltletrd 8976 . . 3  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  (
( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  x.  ( abs `  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
15056, 149eqbrtrd 4043 . 2  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( ( B ^
2 )  x.  ( abs `  ( ( ( A  /  B )  -  ( sqr `  D
) )  x.  (
( A  /  B
)  +  ( sqr `  D ) ) ) ) )  <  (
1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
15154, 150eqbrtrd 4043 1  |-  ( ( ( D  e.  NN  /\  A  e.  NN  /\  B  e.  NN )  /\  ( abs `  (
( A  /  B
)  -  ( sqr `  D ) ) )  <  ( B ^ -u 2 ) )  -> 
( abs `  (
( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) ) )  <  ( 1  +  ( 2  x.  ( sqr `  D
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718   abscabs 11719
This theorem is referenced by:  pellexlem3  26916
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721
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