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Theorem pellexlem6 27022
Description: Lemma for pellex 27023. Doing a field division between near solutions get us to norm 1, and the modularity constraint ensures we still have an integer. Returning NN guarantees that we are not returning the trivial solution (1,0). We are not explicitly defining the Pell-field, Pell-ring, and Pell-norm explicitly because after this construction is done we will never use them. This is mostly basic algebraic number theory and could be simplified if a generic framework for that were in place. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pellex.ann  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
pellex.bnn  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
pellex.cz  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
pellex.dnn  |-  ( ph  ->  D  e.  NN )
pellex.irr  |-  ( ph  ->  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )
pellex.enn  |-  ( ph  ->  E  e.  NN )
pellex.fnn  |-  ( ph  ->  F  e.  NN )
pellex.neq  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  E  /\  B  =  F ) )
pellex.cn0  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
pellex.no1  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  C )
pellex.no2  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  C )
pellex.xcg  |-  ( ph  ->  ( A  mod  ( abs `  C ) )  =  ( E  mod  ( abs `  C ) ) )
pellex.ycg  |-  ( ph  ->  ( B  mod  ( abs `  C ) )  =  ( F  mod  ( abs `  C ) ) )
Assertion
Ref Expression
pellexlem6  |-  ( ph  ->  E. a  e.  NN  E. b  e.  NN  (
( a ^ 2 )  -  ( D  x.  ( b ^
2 ) ) )  =  1 )
Distinct variable groups:    a, b, A    B, a, b    C, a, b    D, a, b    E, a, b    F, a, b    ph, a, b

Proof of Theorem pellexlem6
StepHypRef Expression
1 pellex.ann . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
21nncnd 9778 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 pellex.enn . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  e.  NN )
43nncnd 9778 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  E  e.  CC )
52, 4mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  x.  E
)  e.  CC )
6 pellex.dnn . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  D  e.  NN )
76nncnd 9778 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
8 pellex.bnn . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
98nncnd 9778 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
10 pellex.fnn . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  NN )
1110nncnd 9778 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  CC )
129, 11mulcld 8871 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  x.  F
)  e.  CC )
137, 12mulcld 8871 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( D  x.  ( B  x.  F )
)  e.  CC )
145, 13subcld 9173 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  e.  CC )
15 pellex.cz . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
1615zcnd 10134 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
17 pellex.cn0 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
1814, 16, 17absdivd 11953 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  /  ( abs `  C ) ) )
195, 13negsubd 9179 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  +  -u ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  =  ( ( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )
2019eqcomd 2301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  =  ( ( A  x.  E )  + 
-u ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ) )
2120oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( ( A  x.  E )  +  -u ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  mod  ( abs `  C
) ) )
221nnred 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
233nnred 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  E  e.  RR )
2422, 23remulcld 8879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  x.  E
)  e.  RR )
256nnred 9777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
268nnred 9777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
2710nnred 9777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  e.  RR )
2826, 27remulcld 8879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  x.  F
)  e.  RR )
2925, 28remulcld 8879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  x.  ( B  x.  F )
)  e.  RR )
3029renegcld 9226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( D  x.  ( B  x.  F
) )  e.  RR )
3116, 17absrpcld 11946 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR+ )
323nnzd 10132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  E  e.  ZZ )
33 pellex.xcg . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  mod  ( abs `  C ) )  =  ( E  mod  ( abs `  C ) ) )
34 modmul1 11018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  E  e.  RR )  /\  ( E  e.  ZZ  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  /\  ( A  mod  ( abs `  C ) )  =  ( E  mod  ( abs `  C
) ) )  -> 
( ( A  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( E  x.  E )  mod  ( abs `  C
) ) )
3522, 23, 32, 31, 33, 34syl221anc 1193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( E  x.  E )  mod  ( abs `  C
) ) )
364sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
3711sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
387, 37mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D  x.  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )
3936, 38npcand 9177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) )  =  ( E ^
2 ) )
404sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  =  ( E  x.  E ) )
4139, 40eqtr2d 2329 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( E  x.  E
)  =  ( ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) )  +  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
4241oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) )  +  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  mod  ( abs `  C ) ) )
4323resqcld 11287 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  e.  RR )
4427resqcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  e.  RR )
4525, 44remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  x.  ( F ^ 2 ) )  e.  RR )
4643, 45resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  e.  RR )
47 0re 8854 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
4847a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
4916abscld 11934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  RR )
5049recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  e.  CC )
5116, 17absne0d 11945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( abs `  C
)  =/=  0 )
5250, 51dividd 9550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  /  ( abs `  C ) )  =  1 )
53 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  ZZ
5453a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
5552, 54eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  /  ( abs `  C ) )  e.  ZZ )
56 mod0 10994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( abs `  C
)  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  ->  (
( ( abs `  C
)  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  ( ( abs `  C )  /  ( abs `  C ) )  e.  ZZ ) )
5749, 31, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  C )  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  ( ( abs `  C )  / 
( abs `  C
) )  e.  ZZ ) )
5855, 57mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  C
)  mod  ( abs `  C ) )  =  0 )
5915zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
60 absmod0 11804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  ->  (
( C  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  ( ( abs `  C )  mod  ( abs `  C
) )  =  0 ) )
6159, 31, 60syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  (
( abs `  C
)  mod  ( abs `  C ) )  =  0 ) )
6258, 61mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  mod  ( abs `  C ) )  =  0 )
63 pellex.no2 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  C )
6463oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( C  mod  ( abs `  C ) ) )
65 0mod 11011 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( abs `  C )  e.  RR+  ->  ( 0  mod  ( abs `  C
) )  =  0 )
6631, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0  mod  ( abs `  C ) )  =  0 )
6762, 64, 663eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( 0  mod  ( abs `  C ) ) )
68 modadd1 11017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  /\  ( ( D  x.  ( F ^ 2 ) )  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  /\  (
( ( E ^
2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( 0  mod  ( abs `  C ) ) )  ->  ( (
( ( E ^
2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( ( 0  +  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  mod  ( abs `  C ) ) )
6946, 48, 45, 31, 67, 68syl221anc 1193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  +  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( 0  +  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  mod  ( abs `  C ) ) )
7038addid2d 9029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) )
7111sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( F ^ 2 )  =  ( F  x.  F ) )
7271oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( F  x.  F
) ) )
737, 11, 11mul12d 9037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  x.  ( F  x.  F )
)  =  ( F  x.  ( D  x.  F ) ) )
7470, 72, 733eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0  +  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( F  x.  ( D  x.  F ) ) )
7574oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( 0  +  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( F  x.  ( D  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) ) )
7642, 69, 753eqtrd 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( E  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( F  x.  ( D  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) ) )
776nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
7810nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F  e.  ZZ )
7977, 78zmulcld 10139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D  x.  F
)  e.  ZZ )
80 pellex.ycg . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  mod  ( abs `  C ) )  =  ( F  mod  ( abs `  C ) ) )
8180eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( F  mod  ( abs `  C ) )  =  ( B  mod  ( abs `  C ) ) )
82 modmul1 11018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( ( D  x.  F )  e.  ZZ  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  /\  ( F  mod  ( abs `  C ) )  =  ( B  mod  ( abs `  C
) ) )  -> 
( ( F  x.  ( D  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( B  x.  ( D  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) ) )
8327, 26, 79, 31, 81, 82syl221anc 1193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( F  x.  ( D  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( B  x.  ( D  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) ) )
849, 7, 11mul12d 9037 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  x.  ( D  x.  F )
)  =  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )
8584oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  ( D  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) ) )
8683, 85eqtrd 2328 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( F  x.  ( D  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) ) )
8735, 76, 863eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) ) )
88 modadd1 11017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  x.  E )  e.  RR  /\  ( D  x.  ( B  x.  F )
)  e.  RR )  /\  ( -u ( D  x.  ( B  x.  F ) )  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  /\  ( ( A  x.  E )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( ( D  x.  ( B  x.  F )
)  mod  ( abs `  C ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  E )  +  -u ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F
) )  +  -u ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  mod  ( abs `  C ) ) )
8924, 29, 30, 31, 87, 88syl221anc 1193 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  + 
-u ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F
) )  +  -u ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  mod  ( abs `  C ) ) )
9013negidd 9163 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) )  +  -u ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  =  0 )
9190oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  + 
-u ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( 0  mod  ( abs `  C ) ) )
9221, 89, 913eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( 0  mod  ( abs `  C
) ) )
9392, 66eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0 )
9424, 29resubcld 9227 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  e.  RR )
95 absmod0 11804 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  0  <-> 
( ( abs `  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0 ) )
9694, 31, 95syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  0  <-> 
( ( abs `  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0 ) )
9793, 96mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0 )
9814abscld 11934 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  e.  RR )
99 mod0 10994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  ->  (
( ( abs `  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  ( ( abs `  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  /  ( abs `  C ) )  e.  ZZ ) )
10098, 31, 99syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  ( ( abs `  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  /  ( abs `  C ) )  e.  ZZ ) )
10197, 100mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  /  ( abs `  C ) )  e.  ZZ )
10218, 101eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) )  e.  ZZ )
10394, 59, 17redivcld 9604 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  /  C
)  e.  RR )
104 absz 11812 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C )  e.  RR  ->  ( (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C )  e.  ZZ  <->  ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) )  e.  ZZ ) )
105103, 104syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  /  C )  e.  ZZ  <->  ( abs `  ( ( ( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) )  e.  ZZ ) )
106102, 105mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  /  C
)  e.  ZZ )
107 0lt1 9312 . . . . . . . 8  |-  0  <  1
108 1re 8853 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
10947, 108ltnlei 8955 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <  1  <->  -.  1  <_  0 )
110107, 109mpbi 199 . . . . . . 7  |-  -.  1  <_  0
1119, 4mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  x.  E
)  e.  CC )
1122, 11mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  x.  F
)  e.  CC )
113111, 112subcld 9173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  e.  CC )
114113, 16, 17divcld 9552 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
)  e.  CC )
115114abscld 11934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) )  e.  RR )
116115resqcld 11287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 )  e.  RR )
1176nnnn0d 10034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  D  e.  NN0 )
118117nn0ge0d 10037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  D )
119115sqge0d 11288 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( abs `  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) )  /  C ) ) ^
2 ) )
12025, 116, 118, 119mulge0d 9365 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( D  x.  ( ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) ) )
12125, 116remulcld 8879 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) )  e.  RR )
12248, 121suble0d 9379 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 0  -  ( D  x.  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) ) )  <_  0  <->  0  <_  ( D  x.  ( ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) ) ) )
123120, 122mpbird 223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 0  -  ( D  x.  ( ( abs `  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) )  /  C ) ) ^
2 ) ) )  <_  0 )
124 breq1 4042 . . . . . . . 8  |-  ( 1  =  ( 0  -  ( D  x.  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) ) )  ->  (
1  <_  0  <->  ( 0  -  ( D  x.  ( ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) ) )  <_  0
) )
125123, 124syl5ibrcom 213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  =  ( 0  -  ( D  x.  ( ( abs `  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
) ) ^ 2 ) ) )  -> 
1  <_  0 ) )
126110, 125mtoi 169 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  1  =  ( 0  -  ( D  x.  ( ( abs `  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
) ) ^ 2 ) ) ) )
127 absresq 11803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C )  e.  RR  ->  ( ( abs `  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  /  C ) ) ^
2 )  =  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  /  C
) ^ 2 ) )
128103, 127syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  /  C ) ^ 2 ) )
12914, 16, 17sqdivd 11274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  /  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) ^ 2 )  / 
( C ^ 2 ) ) )
13014sqvald 11258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) ) )
131130oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ) ^
2 )  /  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  / 
( C ^ 2 ) ) )
132128, 129, 1313eqtrd 2332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  /  ( C ^ 2 ) ) )
13326, 23remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  x.  E
)  e.  RR )
13422, 27remulcld 8879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( A  x.  F
)  e.  RR )
135133, 134resubcld 9227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  e.  RR )
136135, 59, 17redivcld 9604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
)  e.  RR )
137 absresq 11803 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) )  /  C ) ^
2 ) )
138136, 137syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) )  /  C ) ^
2 ) )
139113, 16, 17sqdivd 11274 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) )  /  C ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
) ^ 2 )  /  ( C ^
2 ) ) )
140138, 139eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( ( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) ^ 2 )  / 
( C ^ 2 ) ) )
141140oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( ( ( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) ^ 2 )  / 
( C ^ 2 ) ) ) )
142113sqcld 11259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) ) ^ 2 )  e.  CC )
14316sqcld 11259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  e.  CC )
144 sqne0 11186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  CC  ->  (
( C ^ 2 )  =/=  0  <->  C  =/=  0 ) )
14516, 144syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  =/=  0  <->  C  =/=  0 ) )
14617, 145mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =/=  0 )
1477, 142, 143, 146divassd 9587 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) ) ^ 2 ) )  /  ( C ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ^
2 )  /  ( C ^ 2 ) ) ) )
148113sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) )  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) ) ) )
149148oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) )  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
) ) ) )
150149oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) ) ^ 2 ) )  /  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( D  x.  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) )  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
) ) )  / 
( C ^ 2 ) ) )
151141, 147, 1503eqtr2d 2334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( D  x.  ( ( ( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) )  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) ) ) )  /  ( C ^
2 ) ) )
152132, 151oveq12d 5892 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  /  C
) ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( abs `  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( ( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  / 
( C ^ 2 ) )  -  (
( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ) )  /  ( C ^ 2 ) ) ) )
15314, 14mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  x.  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  e.  CC )
154113, 113mulcld 8871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  x.  (
( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) )  e.  CC )
1557, 154mulcld 8871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ) )  e.  CC )
156153, 155, 143, 146divsubdird 9591 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  -  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ) ) )  /  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  / 
( C ^ 2 ) )  -  (
( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ) )  /  ( C ^ 2 ) ) ) )
1575, 13, 5, 13mulsubd 9254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  x.  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E )
)  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ) )  -  ( ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  +  ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) ) ) )
158111, 112, 111, 112mulsubd 9254 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  x.  (
( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) )  =  ( ( ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
)  +  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) )  -  ( ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) )  +  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) )
159158oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ) )  =  ( D  x.  ( ( ( ( B  x.  E
)  x.  ( B  x.  E ) )  +  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F
) ) )  -  ( ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F
) )  +  ( ( B  x.  E
)  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) )
160111, 111mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
)  e.  CC )
161112, 112mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F )
)  e.  CC )
162160, 161addcld 8870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E
) )  +  ( ( A  x.  F
)  x.  ( A  x.  F ) ) )  e.  CC )
163111, 112mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
)  e.  CC )
164163, 163addcld 8870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F
) )  +  ( ( B  x.  E
)  x.  ( A  x.  F ) ) )  e.  CC )
1657, 162, 164subdid 9251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E
) )  +  ( ( A  x.  F
)  x.  ( A  x.  F ) ) )  -  ( ( ( B  x.  E
)  x.  ( A  x.  F ) )  +  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F
) ) ) ) )  =  ( ( D  x.  ( ( ( B  x.  E
)  x.  ( B  x.  E ) )  +  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F
) ) ) )  -  ( D  x.  ( ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F
) )  +  ( ( B  x.  E
)  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) )
1667, 160, 161adddid 8875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
)  +  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  =  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E ) ) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) )
1677, 163, 163adddid 8875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
)  +  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  =  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) )
168166, 167oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E
) )  +  ( ( A  x.  F
)  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  -  ( D  x.  ( (
( B  x.  E
)  x.  ( A  x.  F ) )  +  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F
) ) ) ) )  =  ( ( ( D  x.  (
( B  x.  E
)  x.  ( B  x.  E ) ) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F
) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F
) ) )  +  ( D  x.  (
( B  x.  E
)  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) )
169159, 165, 1683eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ) )  =  ( ( ( D  x.  (
( B  x.  E
)  x.  ( B  x.  E ) ) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F
) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F
) ) )  +  ( D  x.  (
( B  x.  E
)  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) )
170157, 169oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  -  ( D  x.  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) )  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E )
)  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ) )  -  ( ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  +  ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) ) )  -  (
( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) ) ) )
171170oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  -  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ) ) )  /  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E
) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F )
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  -  ( ( ( A  x.  E
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  +  ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) ) )  -  ( ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E ) ) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F )
) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) )  / 
( C ^ 2 ) ) )
1725, 13mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  =  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( A  x.  E
) ) )
1737, 12, 5mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) )  x.  ( A  x.  E )
)  =  ( D  x.  ( ( B  x.  F )  x.  ( A  x.  E
) ) ) )
1742, 4mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( A  x.  E
)  =  ( E  x.  A ) )
175174oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  F )  x.  ( A  x.  E )
)  =  ( ( B  x.  F )  x.  ( E  x.  A ) ) )
1769, 11, 4, 2mul4d 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  F )  x.  ( E  x.  A )
)  =  ( ( B  x.  E )  x.  ( F  x.  A ) ) )
17711, 2mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( F  x.  A
)  =  ( A  x.  F ) )
178177oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E )  x.  ( F  x.  A )
)  =  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )
179175, 176, 1783eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  F )  x.  ( A  x.  E )
)  =  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )
180179oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( B  x.  F
)  x.  ( A  x.  E ) ) )  =  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F
) ) ) )
181172, 173, 1803eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  =  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) )
182181, 181oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  +  ( ( A  x.  E
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  =  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) )
183182oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E ) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  -  ( ( ( A  x.  E
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  +  ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  E
)  x.  ( A  x.  E ) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) )
184183oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  E
)  x.  ( A  x.  E ) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  -  ( ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  +  ( ( A  x.  E
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) ) )  -  (
( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E
) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F )
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) )  -  ( ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E ) ) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F )
) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) ) )
1855, 5mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E )
)  e.  CC )
18613, 13mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  e.  CC )
187185, 186addcld 8870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E
) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F )
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  e.  CC )
1887, 160mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( B  x.  E
)  x.  ( B  x.  E ) ) )  e.  CC )
1897, 161mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( A  x.  F
)  x.  ( A  x.  F ) ) )  e.  CC )
190188, 189addcld 8870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  e.  CC )
1917, 163mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( B  x.  E
)  x.  ( A  x.  F ) ) )  e.  CC )
192191, 191addcld 8870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  e.  CC )
193187, 190, 192nnncan2d 9208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  E
)  x.  ( A  x.  E ) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) )  -  (
( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E )
)  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E
) ) )  +  ( D  x.  (
( A  x.  F
)  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) )
194185, 186, 188, 189addsub4d 9220 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E ) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E ) ) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  E
)  x.  ( A  x.  E ) )  -  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
) ) )  +  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  -  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F
) ) ) ) ) )
1955sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E ) ^ 2 )  =  ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E ) ) )
196111sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E ) ^ 2 )  =  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E ) ) )
197196oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( B  x.  E
) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E
) ) ) )
198195, 197oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E ) ^
2 )  -  ( D  x.  ( ( B  x.  E ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A  x.  E
)  x.  ( A  x.  E ) )  -  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
) ) ) )
19913sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ^ 2 )  =  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ) )
200112sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  F ) ^ 2 )  =  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) )
201200oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( A  x.  F
) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F
) ) ) )
202199, 201oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ^
2 )  -  ( D  x.  ( ( A  x.  F ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F )
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  -  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) )
203198, 202oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( B  x.  E
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( A  x.  F ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E )
)  -  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E
) ) ) )  +  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  -  ( D  x.  (
( A  x.  F
)  x.  ( A  x.  F ) ) ) ) ) )
2042, 4sqmuld 11273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) ) )
2059, 4sqmuld 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E ) ^ 2 )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) ) )
206205oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( B  x.  E
) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( B ^ 2 )  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )
2079sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
2087, 207, 36mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( B ^
2 )  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )
209206, 208eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( B  x.  E
) ^ 2 ) )  =  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( E ^
2 ) ) )
210204, 209oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E ) ^
2 )  -  ( D  x.  ( ( B  x.  E ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  -  ( ( D  x.  ( B ^
2 ) )  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )
2117sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D ^ 2 )  =  ( D  x.  D ) )
2129, 11sqmuld 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  F ) ^ 2 )  =  ( ( B ^ 2 )  x.  ( F ^
2 ) ) )
213211, 212oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( D ^
2 )  x.  (
( B  x.  F
) ^ 2 ) )  =  ( ( D  x.  D )  x.  ( ( B ^ 2 )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
2147, 12sqmuld 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ^ 2 )  =  ( ( D ^ 2 )  x.  ( ( B  x.  F ) ^
2 ) ) )
2157, 7mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D  x.  D
)  e.  CC )
216215, 207, 37mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( D  x.  D )  x.  ( ( B ^
2 )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
217213, 214, 2163eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( D  x.  D
)  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( F ^
2 ) ) )
2182, 11sqmuld 11273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  F ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  x.  ( F ^
2 ) ) )
219218oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( A  x.  F
) ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( A ^ 2 )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
2202sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
2217, 220, 37mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( ( A ^
2 )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
222219, 221eqtr4d 2331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( A  x.  F
) ^ 2 ) )  =  ( ( D  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( F ^
2 ) ) )
223217, 222oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ^
2 )  -  ( D  x.  ( ( A  x.  F ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( F ^
2 ) )  -  ( ( D  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
224210, 223oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( B  x.  E
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( A  x.  F ) ^
2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( A ^
2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  -  ( ( D  x.  ( B ^
2 ) )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^
2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) )  -  (
( D  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( F ^
2 ) ) ) ) )
2257, 207mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
226220, 225, 36subdird 9252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) )  -  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( E ^ 2 ) ) ) )
227 pellex.no1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  C )
228227oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( C  x.  ( E ^ 2 ) ) )
229226, 228eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  -  (
( D  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( E ^
2 ) ) )  =  ( C  x.  ( E ^ 2 ) ) )
2307, 7, 207mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( D  x.  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
231230oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( D  x.  ( A ^ 2 ) ) )  =  ( ( D  x.  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) )  -  ( D  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
232231oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^
2 ) )  -  ( D  x.  ( A ^ 2 ) ) )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( ( D  x.  ( D  x.  ( B ^
2 ) ) )  -  ( D  x.  ( A ^ 2 ) ) )  x.  ( F ^ 2 ) ) )
233215, 207mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )
2347, 220mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( D  x.  ( A ^ 2 ) )  e.  CC )
235233, 234, 37subdird 9252 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^
2 ) )  -  ( D  x.  ( A ^ 2 ) ) )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( D  x.  D
)  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( F ^
2 ) )  -  ( ( D  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
236 subdi 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( D  e.  CC  /\  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  ->  ( D  x.  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^
2 ) ) )  =  ( ( D  x.  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  -  ( D  x.  ( A ^ 2 ) ) ) )
237236eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( D  e.  CC  /\  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC  /\  ( A ^ 2 )  e.  CC )  ->  (
( D  x.  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  -  ( D  x.  ( A ^
2 ) ) )  =  ( D  x.  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^ 2 ) ) ) )
2387, 225, 220, 237syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  -  ( D  x.  ( A ^
2 ) ) )  =  ( D  x.  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^ 2 ) ) ) )
239 negsubdi2 9122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )  ->  -u ( ( A ^
2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^
2 ) ) )
240239eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A ^ 2 )  e.  CC  /\  ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^ 2 ) )  =  -u ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
241220, 225, 240syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^ 2 ) )  =  -u ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
242227negeqd 9062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  -> 
-u ( ( A ^ 2 )  -  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  =  -u C
)
243241, 242eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^ 2 ) )  =  -u C )
244243oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D  x.  (
( D  x.  ( B ^ 2 ) )  -  ( A ^
2 ) ) )  =  ( D  x.  -u C ) )
2457, 16mulneg2d 9249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D  x.  -u C
)  =  -u ( D  x.  C )
)
246238, 244, 2453eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  -  ( D  x.  ( A ^
2 ) ) )  =  -u ( D  x.  C ) )
247246oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( ( D  x.  ( D  x.  ( B ^ 2 ) ) )  -  ( D  x.  ( A ^ 2 ) ) )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( -u ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) ) )
248232, 235, 2473eqtr3d 2336 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^
2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) )  -  (
( D  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( F ^
2 ) ) )  =  ( -u ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) ) )
249229, 248oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) )  -  ( ( D  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( E ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( ( D  x.  D )  x.  ( B ^ 2 ) )  x.  ( F ^
2 ) )  -  ( ( D  x.  ( A ^ 2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  +  ( -u ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
2507, 16mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( D  x.  C
)  e.  CC )
251250, 37mulneg1d 9248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( -u ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  -u ( ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) ) )
2527, 16mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( D  x.  C
)  =  ( C  x.  D ) )
253252oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( ( C  x.  D )  x.  ( F ^ 2 ) ) )
25416, 7, 37mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  D )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
255253, 254eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
256255negeqd 9062 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  -> 
-u ( ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  -u ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
257251, 256eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -u ( D  x.  C )  x.  ( F ^ 2 ) )  =  -u ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
258257oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  +  ( -u ( D  x.  C
)  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  +  -u ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
25916, 36mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  e.  CC )
26016, 38mulcld 8871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  e.  CC )
261259, 260negsubd 9179 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  +  -u ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( E ^
2 ) )  -  ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
26263oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) ) )  =  ( C  x.  C ) )
263 subdi 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( E ^ 2 )  e.  CC  /\  ( D  x.  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( C  x.  (
( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) ) )  =  ( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  -  ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
264263eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( C  e.  CC  /\  ( E ^ 2 )  e.  CC  /\  ( D  x.  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )  -> 
( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  -  ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )  =  ( C  x.  (
( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) ) ) )
26516, 36, 38, 264syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  -  ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )  =  ( C  x.  (
( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) ) ) )
26616sqvald 11258 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( C ^ 2 )  =  ( C  x.  C ) )
267262, 265, 2663eqtr4d 2338 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  -  ( C  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )  =  ( C ^ 2 ) )
268258, 261, 2673eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( E ^ 2 ) )  +  ( -u ( D  x.  C
)  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( C ^ 2 ) )
269224, 249, 2683eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( B  x.  E
) ^ 2 ) ) )  +  ( ( ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( A  x.  F ) ^
2 ) ) ) )  =  ( C ^ 2 ) )
270194, 203, 2693eqtr2d 2334 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E ) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F
) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E ) ) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) )  =  ( C ^
2 ) )
271184, 193, 2703eqtrd 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  E
)  x.  ( A  x.  E ) )  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  -  ( ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  +  ( ( A  x.  E
)  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) ) )  -  (
( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) ) )  =  ( C ^ 2 ) )
272271oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( ( A  x.  E )  x.  ( A  x.  E )
)  +  ( ( D  x.  ( B  x.  F ) )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) ) )  -  ( ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  +  ( ( A  x.  E )  x.  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) ) ) )  -  (
( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( B  x.  E )
) )  +  ( D  x.  ( ( A  x.  F )  x.  ( A  x.  F ) ) ) )  -  ( ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F ) ) )  +  ( D  x.  ( ( B  x.  E )  x.  ( A  x.  F )
) ) ) ) )  /  ( C ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  / 
( C ^ 2 ) ) )
273143, 146dividd 9550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C ^
2 )  /  ( C ^ 2 ) )  =  1 )
274171, 272, 2733eqtrd 2332 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( ( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  x.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) ) )  -  ( D  x.  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  x.  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) ) ) )  /  ( C ^ 2 ) )  =  1 )
275152, 156, 2743eqtr2d 2334 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  /  C
) ) ^ 2 )  -  ( D  x.  ( ( abs `  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
) ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
276275adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  (
( ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) ) )  =  1 )
277 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  =  0 )
278277oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C )  =  ( 0  /  C
) )
279278fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  /  C ) )  =  ( abs `  (
0  /  C ) ) )
28016, 17div0d 9551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 0  /  C
)  =  0 )
281280fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
0  /  C ) )  =  ( abs `  0 ) )
282 abs0 11786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( abs `  0 )  =  0
283281, 282syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
0  /  C ) )  =  0 )
284283adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  ( abs `  ( 0  /  C ) )  =  0 )
285279, 284eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  ( abs `  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  /  C ) )  =  0 )
286285oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  (
( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) ) ^ 2 )  =  ( 0 ^ 2 ) )
287 sq0 11211 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 ^ 2 )  =  0
288286, 287syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  (
( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) ) ^ 2 )  =  0 )
289288oveq1d 5889 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  (
( ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) ) ^ 2 )  -  ( D  x.  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( 0  -  ( D  x.  ( ( abs `  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
) ) ^ 2 ) ) ) )
290276, 289eqtr3d 2330 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F
) ) )  =  0 )  ->  1  =  ( 0  -  ( D  x.  (
( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) ) ^ 2 ) ) ) )
291126, 290mtand 640 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  =  0 )
292 df-ne 2461 . . . . 5  |-  ( ( ( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  =/=  0  <->  -.  (
( A  x.  E
)  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  =  0 )
293291, 292sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  =/=  0 )
29414, 16, 293, 17divne0d 9568 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  /  C
)  =/=  0 )
295 nnabscl 11825 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  /  C
)  e.  ZZ  /\  ( ( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F )
) )  /  C
)  =/=  0 )  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) )  e.  NN )
296106, 294, 295syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  x.  E )  -  ( D  x.  ( B  x.  F ) ) )  /  C ) )  e.  NN )
297113, 16, 17absdivd 11953 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) )  =  ( ( abs `  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) ) )  /  ( abs `  C
) ) )
298 negsub 9111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  x.  E
)  e.  CC  /\  ( A  x.  F
)  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  E )  + 
-u ( A  x.  F ) )  =  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
) )
299298eqcomd 2301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( B  x.  E
)  e.  CC  /\  ( A  x.  F
)  e.  CC )  ->  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  =  ( ( B  x.  E
)  +  -u ( A  x.  F )
) )
300111, 112, 299syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  =  ( ( B  x.  E )  +  -u ( A  x.  F ) ) )
301300oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( ( B  x.  E )  +  -u ( A  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) ) )
302134renegcld 9226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
-u ( A  x.  F )  e.  RR )
30311, 4mulcomd 8872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F  x.  E
)  =  ( E  x.  F ) )
304303oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( F  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( E  x.  F )  mod  ( abs `  C
) ) )
305 modmul1 11018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( B  e.  RR  /\  F  e.  RR )  /\  ( E  e.  ZZ  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  /\  ( B  mod  ( abs `  C ) )  =  ( F  mod  ( abs `  C
) ) )  -> 
( ( B  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( F  x.  E )  mod  ( abs `  C
) ) )
30626, 27, 32, 31, 80, 305syl221anc 1193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( F  x.  E )  mod  ( abs `  C
) ) )
307 modmul1 11018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  E  e.  RR )  /\  ( F  e.  ZZ  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  /\  ( A  mod  ( abs `  C ) )  =  ( E  mod  ( abs `  C
) ) )  -> 
( ( A  x.  F )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( E  x.  F )  mod  ( abs `  C
) ) )
30822, 23, 78, 31, 33, 307syl221anc 1193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  F )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( E  x.  F )  mod  ( abs `  C
) ) )
309304, 306, 3083eqtr4d 2338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  E )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( ( A  x.  F )  mod  ( abs `  C
) ) )
310 modadd1 11017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( B  x.  E )  e.  RR  /\  ( A  x.  F
)  e.  RR )  /\  ( -u ( A  x.  F )  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  /\  ( ( B  x.  E )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( ( A  x.  F
)  mod  ( abs `  C ) ) )  ->  ( ( ( B  x.  E )  +  -u ( A  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( ( ( A  x.  F )  +  -u ( A  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) ) )
311133, 134, 302, 31, 309, 310syl221anc 1193 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  + 
-u ( A  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( ( ( A  x.  F )  +  -u ( A  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) ) )
312112negidd 9163 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  F )  +  -u ( A  x.  F
) )  =  0 )
313312oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  x.  F )  + 
-u ( A  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  ( 0  mod  ( abs `  C ) ) )
314301, 311, 3133eqtrd 2332 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  ( 0  mod  ( abs `  C
) ) )
315314, 66eqtrd 2328 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0 )
316 absmod0 11804 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  ->  (
( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  ( ( abs `  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  0 ) )
317135, 31, 316syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) )  mod  ( abs `  C
) )  =  0  <-> 
( ( abs `  (
( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0 ) )
318315, 317mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0 )
319113abscld 11934 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) )  e.  RR )
320 mod0 10994 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  (
( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) )  e.  RR  /\  ( abs `  C )  e.  RR+ )  ->  (
( ( abs `  (
( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  ( ( abs `  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
) )  /  ( abs `  C ) )  e.  ZZ ) )
321319, 31, 320syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
) )  mod  ( abs `  C ) )  =  0  <->  ( ( abs `  ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) ) )  / 
( abs `  C
) )  e.  ZZ ) )
322318, 321mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) ) )  /  ( abs `  C ) )  e.  ZZ )
323297, 322eqeltrd 2370 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C ) )  e.  ZZ )
324 absz 11812 . . . . 5  |-  ( ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F )
)  /  C )  e.  RR  ->  (
( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
)  e.  ZZ  <->  ( abs `  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
) )  e.  ZZ ) )
325136, 324syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F ) )  /  C )  e.  ZZ  <->  ( abs `  ( ( ( B  x.  E
)  -  ( A  x.  F ) )  /  C ) )  e.  ZZ ) )
326323, 325mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  x.  E )  -  ( A  x.  F
) )  /  C
)  e.  ZZ )
327 pellex.neq . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  ( A  =  E  /\  B  =  F ) )
32810nnne0d 9806 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =/=  0 )
3293nnne0d 9806 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  E  =/=  0 )
3309, 11, 2, 4, 328, 329divmuleqd 9598 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  F )  =  ( A  /  E )  <-> 
( B  x.  E
)  =  ( A  x.  F ) ) )
33163adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  C )
332331eqcomd 2301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  C  =  ( ( E ^
2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
333332oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( (
( B  /  F
) ^ 2 )  x.  C )  =  ( ( ( B  /  F ) ^
2 )  x.  (
( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^
2 ) ) ) ) )
3349, 11, 328divcld 9552 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  /  F
)  e.  CC )
335334sqcld 11259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  /  F ) ^ 2 )  e.  CC )
336335adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( ( B  /  F ) ^
2 )  e.  CC )
33736adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( E ^ 2 )  e.  CC )
33838adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( D  x.  ( F ^ 2 ) )  e.  CC )
339336, 337, 338subdid 9251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( (
( B  /  F
) ^ 2 )  x.  ( ( E ^ 2 )  -  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )  =  ( ( ( ( B  /  F ) ^
2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  -  ( ( ( B  /  F ) ^ 2 )  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) ) ) )
340 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  /  F )  =  ( A  /  E )  ->  (
( B  /  F
) ^ 2 )  =  ( ( A  /  E ) ^
2 ) )
341340oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  /  F )  =  ( A  /  E )  ->  (
( ( B  /  F ) ^ 2 )  x.  ( E ^ 2 ) )  =  ( ( ( A  /  E ) ^ 2 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )
342341adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( (
( B  /  F
) ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) )  =  ( ( ( A  /  E ) ^
2 )  x.  ( E ^ 2 ) ) )
3432adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  A  e.  CC )
3444adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  E  e.  CC )
345329adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  E  =/=  0 )
346343, 344, 345sqdivd 11274 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( ( A  /  E ) ^
2 )  =  ( ( A ^ 2 )  /  ( E ^ 2 ) ) )
347346oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( (
( A  /  E
) ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) )  =  ( ( ( A ^ 2 )  / 
( E ^ 2 ) )  x.  ( E ^ 2 ) ) )
348220adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( A ^ 2 )  e.  CC )
349 sqne0 11186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E  e.  CC  ->  (
( E ^ 2 )  =/=  0  <->  E  =/=  0 ) )
3504, 349syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( E ^
2 )  =/=  0  <->  E  =/=  0 ) )
351329, 350mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( E ^ 2 )  =/=  0 )
352351adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( E ^ 2 )  =/=  0 )
353348, 337, 352divcan1d 9553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( (
( A ^ 2 )  /  ( E ^ 2 ) )  x.  ( E ^
2 ) )  =  ( A ^ 2 ) )
354342, 347, 3533eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( (
( B  /  F
) ^ 2 )  x.  ( E ^
2 ) )  =  ( A ^ 2 ) )
3557adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  D  e.  CC )
35637adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( F ^ 2 )  e.  CC )
357336, 355, 356mul12d 9037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( (
( B  /  F
) ^ 2 )  x.  ( D  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( D  x.  ( ( ( B  /  F
) ^ 2 )  x.  ( F ^
2 ) ) ) )
3589adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  B  e.  CC )
35911adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  F  e.  CC )
360328adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  F  =/=  0 )
361358, 359, 360sqdivd 11274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( ( B  /  F ) ^
2 )  =  ( ( B ^ 2 )  /  ( F ^ 2 ) ) )
362361oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( (
( B  /  F
) ^ 2 )  x.  ( F ^
2 ) )  =  ( ( ( B ^ 2 )  / 
( F ^ 2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) ) )
363362oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( B  /  F )  =  ( A  /  E ) )  ->  ( D  x.  ( ( ( B  /  F ) ^
2 )  x.  ( F ^ 2 ) ) )  =  ( D  x.  ( ( ( B ^ 2 )  /  ( F ^
2 ) )  x.  ( F ^ 2 ) ) ) )
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