Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundge Structured version   Unicode version

Theorem pellfundge 26945
Description: Lower bound on the fundamental solution of a Pell equation. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundge  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_ 
(PellFund `  D ) )

Proof of Theorem pellfundge
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3428 . . . 4  |-  { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a }  C_  (Pell14QR `  D )
2 pell14qrre 26920 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  a  e.  (Pell14QR `  D ) )  -> 
a  e.  RR )
32ex 424 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( a  e.  (Pell14QR `  D )  ->  a  e.  RR ) )
43ssrdv 3354 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(Pell14QR `  D )  C_  RR )
51, 4syl5ss 3359 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a }  C_  RR )
6 pell1qrss14 26931 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(Pell1QR `  D )  C_  (Pell14QR `  D ) )
7 pellqrex 26942 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. a  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
a )
8 ssrexv 3408 . . . . 5  |-  ( (Pell1QR `  D )  C_  (Pell14QR `  D )  ->  ( E. a  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
a  ->  E. a  e.  (Pell14QR `  D )
1  <  a )
)
96, 7, 8sylc 58 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. a  e.  (Pell14QR `  D ) 1  < 
a )
10 rabn0 3647 . . . 4  |-  ( { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a }  =/=  (/)  <->  E. a  e.  (Pell14QR `  D )
1  <  a )
119, 10sylibr 204 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a }  =/=  (/) )
12 eldifi 3469 . . . . . . . 8  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
1312peano2nnd 10017 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  NN )
1413nnrpd 10647 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  RR+ )
1514rpsqrcld 12214 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  ( D  +  1 ) )  e.  RR+ )
1615rpred 10648 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  ( D  +  1 ) )  e.  RR )
1712nnrpd 10647 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  RR+ )
1817rpsqrcld 12214 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR+ )
1918rpred 10648 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR )
2016, 19readdcld 9115 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
21 breq2 4216 . . . . . 6  |-  ( a  =  b  ->  (
1  <  a  <->  1  <  b ) )
2221elrab 3092 . . . . 5  |-  ( b  e.  { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a } 
<->  ( b  e.  (Pell14QR `  D )  /\  1  <  b ) )
23 pell14qrgap 26938 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  b  e.  (Pell14QR `  D )  /\  1  <  b )  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_ 
b )
24233expib 1156 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( b  e.  (Pell14QR `  D )  /\  1  <  b )  ->  ( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_  b )
)
2522, 24syl5bi 209 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( b  e.  {
a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a }  ->  (
( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_ 
b ) )
2625ralrimiv 2788 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  A. b  e.  { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a }  ( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D
) )  <_  b
)
27 infmrgelbi 26941 . . 3  |-  ( ( ( { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a }  C_  RR  /\  {
a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a }  =/=  (/)  /\  (
( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  e.  RR )  /\  A. b  e.  { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a }  ( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_  b )  ->  ( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_  sup ( { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a } ,  RR ,  `'  <  ) )
285, 11, 20, 26, 27syl31anc 1187 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_  sup ( { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a } ,  RR ,  `'  <  ) )
29 pellfundval 26943 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(PellFund `  D )  =  sup ( { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a } ,  RR ,  `'  <  ) )
3028, 29breqtrrd 4238 1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_ 
(PellFund `  D ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709    \ cdif 3317    C_ wss 3320   (/)c0 3628   class class class wbr 4212   `'ccnv 4877   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   supcsup 7445   RRcr 8989   1c1 8991    + caddc 8993    < clt 9120    <_ cle 9121   NNcn 10000   sqrcsqr 12038  ◻NNcsquarenn 26899  Pell1QRcpell1qr 26900  Pell14QRcpell14qr 26902  PellFundcpellfund 26903
This theorem is referenced by:  pellfundgt1  26946  rmspecfund  26972
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-omul 6729  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-acn 7829  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-ico 10922  df-fz 11044  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-hash 11619  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-numer 13127  df-denom 13128  df-squarenn 26904  df-pell1qr 26905  df-pell14qr 26906  df-pell1234qr 26907  df-pellfund 26908
  Copyright terms: Public domain W3C validator