Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundgt1 Unicode version

Theorem pellfundgt1 26968
Description: Weak lower bound on the Pell fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundgt1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  (PellFund `  D
) )

Proof of Theorem pellfundgt1
StepHypRef Expression
1 1re 8837 . . 3  |-  1  e.  RR
21a1i 10 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  e.  RR )
3 eldifi 3298 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
43peano2nnd 9763 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  NN )
54nnrpd 10389 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  RR+ )
65rpsqrcld 11894 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  ( D  +  1 ) )  e.  RR+ )
76rpred 10390 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  ( D  +  1 ) )  e.  RR )
83nnrpd 10389 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  RR+ )
98rpsqrcld 11894 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR+ )
109rpred 10390 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR )
117, 10readdcld 8862 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
12 pellfundre 26966 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(PellFund `  D )  e.  RR )
13 sqr1 11757 . . . . 5  |-  ( sqr `  1 )  =  1
1413, 2syl5eqel 2367 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  1
)  e.  RR )
1514, 14readdcld 8862 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  1
)  +  ( sqr `  1 ) )  e.  RR )
16 1lt2 9886 . . . . 5  |-  1  <  2
1713, 13oveq12i 5870 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  1 )  +  ( sqr `  1
) )  =  ( 1  +  1 )
18 1p1e2apr1 20839 . . . . . 6  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1917, 18eqtri 2303 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  1 )  +  ( sqr `  1
) )  =  2
2016, 19breqtrri 4048 . . . 4  |-  1  <  ( ( sqr `  1
)  +  ( sqr `  1 ) )
2120a1i 10 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  ( ( sqr `  1 )  +  ( sqr `  1
) ) )
224nnge1d 9788 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <_  ( D  +  1 ) )
23 0le1 9297 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
2423a1i 10 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
0  <_  1 )
253nnred 9761 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  RR )
26 peano2re 8985 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR  ->  ( D  +  1 )  e.  RR )
2725, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  RR )
284nnnn0d 10018 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  NN0 )
2928nn0ge0d 10021 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
0  <_  ( D  +  1 ) )
302, 24, 27, 29sqrled 11909 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( 1  <_  ( D  +  1 )  <-> 
( sqr `  1
)  <_  ( sqr `  ( D  +  1 ) ) ) )
3122, 30mpbid 201 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  1
)  <_  ( sqr `  ( D  +  1 ) ) )
323nnge1d 9788 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <_  D )
333nnnn0d 10018 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN0 )
3433nn0ge0d 10021 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
0  <_  D )
352, 24, 25, 34sqrled 11909 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( 1  <_  D  <->  ( sqr `  1 )  <_  ( sqr `  D
) ) )
3632, 35mpbid 201 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  1
)  <_  ( sqr `  D ) )
3714, 14, 7, 10, 31, 36le2addd 9390 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  1
)  +  ( sqr `  1 ) )  <_  ( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) ) )
382, 15, 11, 21, 37ltletrd 8976 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  ( ( sqr `  ( D  + 
1 ) )  +  ( sqr `  D
) ) )
39 pellfundge 26967 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_ 
(PellFund `  D ) )
402, 11, 12, 38, 39ltletrd 8976 1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  (PellFund `  D
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1684    \ cdif 3149   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   2c2 9795   sqrcsqr 11718  ◻NNcsquarenn 26921  PellFundcpellfund 26925
This theorem is referenced by:  pellfundex  26971  pellfundrp  26973  pellfundne1  26974  pellfund14  26983
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-numer 12806  df-denom 12807  df-squarenn 26926  df-pell1qr 26927  df-pell14qr 26928  df-pell1234qr 26929  df-pellfund 26930
  Copyright terms: Public domain W3C validator