Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundgt1 Unicode version

Theorem pellfundgt1 26840
Description: Weak lower bound on the Pell fundamental solution. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundgt1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  (PellFund `  D
) )

Proof of Theorem pellfundgt1
StepHypRef Expression
1 1re 9050 . . 3  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  e.  RR )
3 eldifi 3433 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
43peano2nnd 9977 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  NN )
54nnrpd 10607 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  RR+ )
65rpsqrcld 12173 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  ( D  +  1 ) )  e.  RR+ )
76rpred 10608 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  ( D  +  1 ) )  e.  RR )
83nnrpd 10607 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  RR+ )
98rpsqrcld 12173 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR+ )
109rpred 10608 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR )
117, 10readdcld 9075 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  e.  RR )
12 pellfundre 26838 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(PellFund `  D )  e.  RR )
13 sqr1 12036 . . . . 5  |-  ( sqr `  1 )  =  1
1413, 2syl5eqel 2492 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  1
)  e.  RR )
1514, 14readdcld 9075 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  1
)  +  ( sqr `  1 ) )  e.  RR )
16 1lt2 10102 . . . . 5  |-  1  <  2
1713, 13oveq12i 6056 . . . . . 6  |-  ( ( sqr `  1 )  +  ( sqr `  1
) )  =  ( 1  +  1 )
18 1p1e2apr1 21717 . . . . . 6  |-  ( 1  +  1 )  =  2
1917, 18eqtri 2428 . . . . 5  |-  ( ( sqr `  1 )  +  ( sqr `  1
) )  =  2
2016, 19breqtrri 4201 . . . 4  |-  1  <  ( ( sqr `  1
)  +  ( sqr `  1 ) )
2120a1i 11 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  ( ( sqr `  1 )  +  ( sqr `  1
) ) )
224nnge1d 10002 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <_  ( D  +  1 ) )
23 0le1 9511 . . . . . . 7  |-  0  <_  1
2423a1i 11 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
0  <_  1 )
253nnred 9975 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  RR )
26 peano2re 9199 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  RR  ->  ( D  +  1 )  e.  RR )
2725, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  RR )
284nnnn0d 10234 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( D  +  1 )  e.  NN0 )
2928nn0ge0d 10237 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
0  <_  ( D  +  1 ) )
302, 24, 27, 29sqrled 12188 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( 1  <_  ( D  +  1 )  <-> 
( sqr `  1
)  <_  ( sqr `  ( D  +  1 ) ) ) )
3122, 30mpbid 202 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  1
)  <_  ( sqr `  ( D  +  1 ) ) )
323nnge1d 10002 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <_  D )
333nnnn0d 10234 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN0 )
3433nn0ge0d 10237 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
0  <_  D )
352, 24, 25, 34sqrled 12188 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( 1  <_  D  <->  ( sqr `  1 )  <_  ( sqr `  D
) ) )
3632, 35mpbid 202 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( sqr `  1
)  <_  ( sqr `  D ) )
3714, 14, 7, 10, 31, 36le2addd 9604 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  1
)  +  ( sqr `  1 ) )  <_  ( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) ) )
382, 15, 11, 21, 37ltletrd 9190 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  ( ( sqr `  ( D  + 
1 ) )  +  ( sqr `  D
) ) )
39 pellfundge 26839 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( sqr `  ( D  +  1 ) )  +  ( sqr `  D ) )  <_ 
(PellFund `  D ) )
402, 11, 12, 38, 39ltletrd 9190 1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
1  <  (PellFund `  D
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721    \ cdif 3281   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   RRcr 8949   0cc0 8950   1c1 8951    + caddc 8953    < clt 9080    <_ cle 9081   NNcn 9960   2c2 10009   sqrcsqr 11997  ◻NNcsquarenn 26793  PellFundcpellfund 26797
This theorem is referenced by:  pellfundex  26843  pellfundrp  26845  pellfundne1  26846  pellfund14  26855
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-acn 7789  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-ico 10882  df-fz 11004  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-dvds 12812  df-gcd 12966  df-numer 13086  df-denom 13087  df-squarenn 26798  df-pell1qr 26799  df-pell14qr 26800  df-pell1234qr 26801  df-pellfund 26802
  Copyright terms: Public domain W3C validator