Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pellfundre Unicode version

Theorem pellfundre 26838
Description: The fundamental solution of a Pell equation exists as a real number. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellfundre  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(PellFund `  D )  e.  RR )

Proof of Theorem pellfundre
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pellfundval 26837 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(PellFund `  D )  =  sup ( { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a } ,  RR ,  `'  <  ) )
2 ssrab2 3392 . . . 4  |-  { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a }  C_  (Pell14QR `  D )
3 pell14qrre 26814 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  a  e.  (Pell14QR `  D ) )  -> 
a  e.  RR )
43ex 424 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( a  e.  (Pell14QR `  D )  ->  a  e.  RR ) )
54ssrdv 3318 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(Pell14QR `  D )  C_  RR )
62, 5syl5ss 3323 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a }  C_  RR )
7 pell1qrss14 26825 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(Pell1QR `  D )  C_  (Pell14QR `  D ) )
8 pellqrex 26836 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. a  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
a )
9 ssrexv 3372 . . . . 5  |-  ( (Pell1QR `  D )  C_  (Pell14QR `  D )  ->  ( E. a  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
a  ->  E. a  e.  (Pell14QR `  D )
1  <  a )
)
107, 8, 9sylc 58 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. a  e.  (Pell14QR `  D ) 1  < 
a )
11 rabn0 3611 . . . 4  |-  ( { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a }  =/=  (/)  <->  E. a  e.  (Pell14QR `  D )
1  <  a )
1210, 11sylibr 204 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a }  =/=  (/) )
13 1re 9050 . . . 4  |-  1  e.  RR
14 breq2 4180 . . . . . . 7  |-  ( a  =  c  ->  (
1  <  a  <->  1  <  c ) )
1514elrab 3056 . . . . . 6  |-  ( c  e.  { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a } 
<->  ( c  e.  (Pell14QR `  D )  /\  1  <  c ) )
16 pell14qrre 26814 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  c  e.  (Pell14QR `  D ) )  -> 
c  e.  RR )
17 ltle 9123 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  c  e.  RR )  ->  ( 1  <  c  ->  1  <_  c )
)
1813, 16, 17sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  c  e.  (Pell14QR `  D ) )  -> 
( 1  <  c  ->  1  <_  c )
)
1918expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( ( c  e.  (Pell14QR `  D )  /\  1  <  c )  ->  1  <_  c
) )
2015, 19syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( c  e.  {
a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a }  ->  1  <_  c ) )
2120ralrimiv 2752 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  A. c  e.  { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a } 1  <_ 
c )
22 breq1 4179 . . . . . 6  |-  ( b  =  1  ->  (
b  <_  c  <->  1  <_  c ) )
2322ralbidv 2690 . . . . 5  |-  ( b  =  1  ->  ( A. c  e.  { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a } b  <_ 
c  <->  A. c  e.  {
a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a } 1  <_ 
c ) )
2423rspcev 3016 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A. c  e.  { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a } 1  <_ 
c )  ->  E. b  e.  RR  A. c  e. 
{ a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a } b  <_  c )
2513, 21, 24sylancr 645 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. b  e.  RR  A. c  e.  { a  e.  (Pell14QR `  D
)  |  1  < 
a } b  <_ 
c )
26 infmrcl 9947 . . 3  |-  ( ( { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a }  C_  RR  /\  { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a }  =/=  (/)  /\  E. b  e.  RR  A. c  e. 
{ a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a } b  <_  c )  ->  sup ( { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
276, 12, 25, 26syl3anc 1184 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  sup ( { a  e.  (Pell14QR `  D )  |  1  <  a } ,  RR ,  `'  <  )  e.  RR )
281, 27eqeltrd 2482 1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
(PellFund `  D )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   A.wral 2670   E.wrex 2671   {crab 2674    \ cdif 3281    C_ wss 3284   (/)c0 3592   class class class wbr 4176   `'ccnv 4840   ` cfv 5417   supcsup 7407   RRcr 8949   1c1 8951    < clt 9080    <_ cle 9081   NNcn 9960  ◻NNcsquarenn 26793  Pell1QRcpell1qr 26794  Pell14QRcpell14qr 26796  PellFundcpellfund 26797
This theorem is referenced by:  pellfundgt1  26840  pellfundglb  26842  pellfundex  26843  pellfund14gap  26844  pellfundrp  26845  rmspecfund  26866
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-inf2 7556  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027  ax-pre-sup 9028
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-se 4506  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-sup 7408  df-oi 7439  df-card 7786  df-acn 7789  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-div 9638  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-q 10535  df-rp 10573  df-ico 10882  df-fz 11004  df-fl 11161  df-mod 11210  df-seq 11283  df-exp 11342  df-hash 11578  df-cj 11863  df-re 11864  df-im 11865  df-sqr 11999  df-abs 12000  df-dvds 12812  df-gcd 12966  df-numer 13086  df-denom 13087  df-squarenn 26798  df-pell1qr 26799  df-pell14qr 26800  df-pell1234qr 26801  df-pellfund 26802
  Copyright terms: Public domain W3C validator