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Theorem pellqrex 26287
Description: There is a nontrivial solution of a Pell equation in the first quadrant. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellqrex  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x )
Distinct variable group:    x, D

Proof of Theorem pellqrex
Dummy variables  a 
c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3374 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
2 eldifn 3375 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  -.  D  e.NN )
31anim1i 551 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( D  e.  NN  /\  ( sqr `  D )  e.  QQ ) )
4 fveq2 5605 . . . . . . 7  |-  ( a  =  D  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  D
) )
54eleq1d 2424 . . . . . 6  |-  ( a  =  D  ->  (
( sqr `  a
)  e.  QQ  <->  ( sqr `  D )  e.  QQ ) )
6 df-squarenn 26249 . . . . . 6  |-NN  =  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ }
75, 6elrab2 3001 . . . . 5  |-  ( D  e.NN  <->  ( D  e.  NN  /\  ( sqr `  D )  e.  QQ ) )
83, 7sylibr 203 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  D  e.NN )
92, 8mtand 640 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )
10 pellex 26243 . . 3  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  E. c  e.  NN  E. d  e.  NN  (
( c ^ 2 )  -  ( D  x.  ( d ^
2 ) ) )  =  1 )
111, 9, 10syl2anc 642 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. c  e.  NN  E. d  e.  NN  (
( c ^ 2 )  -  ( D  x.  ( d ^
2 ) ) )  =  1 )
12 simpll 730 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  ( NN  \NN ) )
13 nnnn0 10061 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  NN  ->  c  e.  NN0 )
1413adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  c  e.  NN0 )
1514ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  c  e.  NN0 )
16 nnnn0 10061 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  NN0 )
1716adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  d  e.  NN0 )
1817ad2antlr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  d  e.  NN0 )
19 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  (
d ^ 2 ) ) )  =  1 )
20 pellqrexplicit 26285 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  c  e. 
NN0  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) )  e.  (Pell1QR `  D
) )
2112, 15, 18, 19, 20syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  e.  (Pell1QR `  D
) )
22 1re 8924 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2322a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  e.  RR )
2422, 22readdcli 8937 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  e.  RR
2524a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  +  1 )  e.  RR )
26 nnre 9840 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  NN  ->  c  e.  RR )
2726ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
c  e.  RR )
281adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  ->  D  e.  NN )
2928nnrpd 10478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  ->  D  e.  RR+ )
3029rpsqrcld 11984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR+ )
3130rpred 10479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR )
32 nnre 9840 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  RR )
3332ad2antll 709 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
d  e.  RR )
3431, 33remulcld 8950 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  x.  d )  e.  RR )
3527, 34readdcld 8949 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  e.  RR )
3622ltp1i 9747 . . . . . . . 8  |-  1  <  ( 1  +  1 )
3736a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <  ( 1  +  1 ) )
38 nnge1 9859 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  NN  ->  1  <_  c )
3938ad2antrl 708 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  c )
40 1t1e1 9959 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
41 nnge1 9859 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  1  <_  D )
42 sq1 11288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
4342a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
44 nncn 9841 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  CC )
4544sqsqrd 12011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  (
( sqr `  D
) ^ 2 )  =  D )
4641, 43, 453brtr4d 4132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  NN  ->  (
1 ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  D ) ^ 2 ) )
4722a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  1  e.  RR )
48 nnrp 10452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  RR+ )
4948rpsqrcld 11984 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  NN  ->  ( sqr `  D )  e.  RR+ )
5049rpred 10479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  ( sqr `  D )  e.  RR )
51 0le1 9384 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  1
5251a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  0  <_  1 )
5349rpge0d 10483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  0  <_  ( sqr `  D
) )
5447, 50, 52, 53le2sqd 11370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  NN  ->  (
1  <_  ( sqr `  D )  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  D
) ^ 2 ) ) )
5546, 54mpbird 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  NN  ->  1  <_  ( sqr `  D
) )
5628, 55syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  ( sqr `  D ) )
57 nnge1 9859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  NN  ->  1  <_  d )
5857ad2antll 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  d )
5923, 51jctir 524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )
60 lemul12a 9701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_ 
1 )  /\  ( sqr `  D )  e.  RR )  /\  (
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  d  e.  RR ) )  ->  (
( 1  <_  ( sqr `  D )  /\  1  <_  d )  -> 
( 1  x.  1 )  <_  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) )
6159, 31, 59, 33, 60syl22anc 1183 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( 1  <_ 
( sqr `  D
)  /\  1  <_  d )  ->  ( 1  x.  1 )  <_ 
( ( sqr `  D
)  x.  d ) ) )
6256, 58, 61mp2and 660 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  x.  1 )  <_  ( ( sqr `  D )  x.  d ) )
6340, 62syl5eqbrr 4136 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  ( ( sqr `  D )  x.  d ) )
6423, 23, 27, 34, 39, 63le2addd 9477 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  +  1 )  <_  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d
) ) )
6523, 25, 35, 37, 64ltletrd 9063 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d
) ) )
6665adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <  (
c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) )
67 breq2 4106 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  ->  ( 1  <  x  <->  1  <  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) ) )
6867rspcev 2960 . . . . 5  |-  ( ( ( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  e.  (Pell1QR `  D
)  /\  1  <  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D )
1  <  x )
6921, 66, 68syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x )
7069ex 423 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  (
d ^ 2 ) ) )  =  1  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x ) )
7170rexlimdvva 2750 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( E. c  e.  NN  E. d  e.  NN  ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  (
d ^ 2 ) ) )  =  1  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x ) )
7211, 71mpd 14 1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   E.wrex 2620    \ cdif 3225   class class class wbr 4102   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   RRcr 8823   0cc0 8824   1c1 8825    + caddc 8827    x. cmul 8829    < clt 8954    <_ cle 8955    - cmin 9124   NNcn 9833   2c2 9882   NN0cn0 10054   QQcq 10405   ^cexp 11194   sqrcsqr 11808  ◻NNcsquarenn 26244  Pell1QRcpell1qr 26245
This theorem is referenced by:  pellfundre  26289  pellfundge  26290  pellfundglb  26293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-oadd 6567  df-omul 6568  df-er 6744  df-map 6859  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-acn 7662  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-ico 10751  df-fz 10872  df-fl 11014  df-mod 11063  df-seq 11136  df-exp 11195  df-hash 11428  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-dvds 12623  df-gcd 12777  df-numer 12897  df-denom 12898  df-squarenn 26249  df-pell1qr 26250
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