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Theorem pellqrex 26832
Description: There is a nontrivial solution of a Pell equation in the first quadrant. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
pellqrex  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x )
Distinct variable group:    x, D

Proof of Theorem pellqrex
Dummy variables  a 
c  d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifi 3429 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  D  e.  NN )
2 eldifn 3430 . . . 4  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  -.  D  e.NN )
31anim1i 552 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  ( D  e.  NN  /\  ( sqr `  D )  e.  QQ ) )
4 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( a  =  D  ->  ( sqr `  a )  =  ( sqr `  D
) )
54eleq1d 2470 . . . . . 6  |-  ( a  =  D  ->  (
( sqr `  a
)  e.  QQ  <->  ( sqr `  D )  e.  QQ ) )
6 df-squarenn 26794 . . . . . 6  |-NN  =  { a  e.  NN  |  ( sqr `  a )  e.  QQ }
75, 6elrab2 3054 . . . . 5  |-  ( D  e.NN  <->  ( D  e.  NN  /\  ( sqr `  D )  e.  QQ ) )
83, 7sylibr 204 . . . 4  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  D  e.NN )
92, 8mtand 641 . . 3  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )
10 pellex 26788 . . 3  |-  ( ( D  e.  NN  /\  -.  ( sqr `  D
)  e.  QQ )  ->  E. c  e.  NN  E. d  e.  NN  (
( c ^ 2 )  -  ( D  x.  ( d ^
2 ) ) )  =  1 )
111, 9, 10syl2anc 643 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. c  e.  NN  E. d  e.  NN  (
( c ^ 2 )  -  ( D  x.  ( d ^
2 ) ) )  =  1 )
12 simpll 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  D  e.  ( NN  \NN ) )
13 nnnn0 10184 . . . . . . . 8  |-  ( c  e.  NN  ->  c  e.  NN0 )
1413adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  c  e.  NN0 )
1514ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  c  e.  NN0 )
16 nnnn0 10184 . . . . . . . 8  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  NN0 )
1716adantl 453 . . . . . . 7  |-  ( ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN )  ->  d  e.  NN0 )
1817ad2antlr 708 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  d  e.  NN0 )
19 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  (
d ^ 2 ) ) )  =  1 )
20 pellqrexplicit 26830 . . . . . 6  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  c  e. 
NN0  /\  d  e.  NN0 )  /\  ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  (
c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) )  e.  (Pell1QR `  D
) )
2112, 15, 18, 19, 20syl31anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  ( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  e.  (Pell1QR `  D
) )
22 1re 9046 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  e.  RR )
2422, 22readdcli 9059 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  e.  RR
2524a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  +  1 )  e.  RR )
26 nnre 9963 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  NN  ->  c  e.  RR )
2726ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
c  e.  RR )
281adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  ->  D  e.  NN )
2928nnrpd 10603 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  ->  D  e.  RR+ )
3029rpsqrcld 12169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR+ )
3130rpred 10604 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( sqr `  D
)  e.  RR )
32 nnre 9963 . . . . . . . . . 10  |-  ( d  e.  NN  ->  d  e.  RR )
3332ad2antll 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
d  e.  RR )
3431, 33remulcld 9072 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( sqr `  D
)  x.  d )  e.  RR )
3527, 34readdcld 9071 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  e.  RR )
3622ltp1i 9870 . . . . . . . 8  |-  1  <  ( 1  +  1 )
3736a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <  ( 1  +  1 ) )
38 nnge1 9982 . . . . . . . . 9  |-  ( c  e.  NN  ->  1  <_  c )
3938ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  c )
40 1t1e1 10082 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
41 nnge1 9982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  1  <_  D )
42 sq1 11431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  (
1 ^ 2 )  =  1 )
44 nncn 9964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  CC )
4544sqsqrd 12196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  (
( sqr `  D
) ^ 2 )  =  D )
4641, 43, 453brtr4d 4202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  NN  ->  (
1 ^ 2 )  <_  ( ( sqr `  D ) ^ 2 ) )
4722a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  1  e.  RR )
48 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( D  e.  NN  ->  D  e.  RR+ )
4948rpsqrcld 12169 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( D  e.  NN  ->  ( sqr `  D )  e.  RR+ )
5049rpred 10604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  ( sqr `  D )  e.  RR )
51 0le1 9507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  <_  1
5251a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  0  <_  1 )
5349rpge0d 10608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( D  e.  NN  ->  0  <_  ( sqr `  D
) )
5447, 50, 52, 53le2sqd 11513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( D  e.  NN  ->  (
1  <_  ( sqr `  D )  <->  ( 1 ^ 2 )  <_ 
( ( sqr `  D
) ^ 2 ) ) )
5546, 54mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( D  e.  NN  ->  1  <_  ( sqr `  D
) )
5628, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  ( sqr `  D ) )
57 nnge1 9982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( d  e.  NN  ->  1  <_  d )
5857ad2antll 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  d )
5923, 51jctir 525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 ) )
60 lemul12a 9824 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 1  e.  RR  /\  0  <_ 
1 )  /\  ( sqr `  D )  e.  RR )  /\  (
( 1  e.  RR  /\  0  <_  1 )  /\  d  e.  RR ) )  ->  (
( 1  <_  ( sqr `  D )  /\  1  <_  d )  -> 
( 1  x.  1 )  <_  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) )
6159, 31, 59, 33, 60syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( 1  <_ 
( sqr `  D
)  /\  1  <_  d )  ->  ( 1  x.  1 )  <_ 
( ( sqr `  D
)  x.  d ) ) )
6256, 58, 61mp2and 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  x.  1 )  <_  ( ( sqr `  D )  x.  d ) )
6340, 62syl5eqbrr 4206 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <_  ( ( sqr `  D )  x.  d ) )
6423, 23, 27, 34, 39, 63le2addd 9600 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( 1  +  1 )  <_  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d
) ) )
6523, 25, 35, 37, 64ltletrd 9186 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
1  <  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d
) ) )
6665adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  1  <  (
c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) )
67 breq2 4176 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  ->  ( 1  <  x  <->  1  <  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) ) )
6867rspcev 3012 . . . . 5  |-  ( ( ( c  +  ( ( sqr `  D
)  x.  d ) )  e.  (Pell1QR `  D
)  /\  1  <  ( c  +  ( ( sqr `  D )  x.  d ) ) )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D )
1  <  x )
6921, 66, 68syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( D  e.  ( NN  \NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  /\  ( ( c ^
2 )  -  ( D  x.  ( d ^ 2 ) ) )  =  1 )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x )
7069ex 424 . . 3  |-  ( ( D  e.  ( NN 
\NN )  /\  ( c  e.  NN  /\  d  e.  NN ) )  -> 
( ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  (
d ^ 2 ) ) )  =  1  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x ) )
7170rexlimdvva 2797 . 2  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  -> 
( E. c  e.  NN  E. d  e.  NN  ( ( c ^ 2 )  -  ( D  x.  (
d ^ 2 ) ) )  =  1  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x ) )
7211, 71mpd 15 1  |-  ( D  e.  ( NN  \NN )  ->  E. x  e.  (Pell1QR `  D ) 1  < 
x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667    \ cdif 3277   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   2c2 10005   NN0cn0 10177   QQcq 10530   ^cexp 11337   sqrcsqr 11993  ◻NNcsquarenn 26789  Pell1QRcpell1qr 26790
This theorem is referenced by:  pellfundre  26834  pellfundge  26835  pellfundglb  26838
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-ico 10878  df-fz 11000  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-numer 13082  df-denom 13083  df-squarenn 26794  df-pell1qr 26795
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