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Theorem perfdvf 19253
Description: The derivative is a function, whenever it is defined relative to a perfect subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
perfdvf.1  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
perfdvf  |-  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )

Proof of Theorem perfdvf
Dummy variables  f 
s  x  z  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dv 19217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  _D  =  ( s  e.  ~P CC ,  f  e.  ( CC  ^pm  s ) 
|->  U_ x  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  s ) ) `
 dom  f )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( dom  f  \  { x } ) 
|->  ( ( ( f `
 z )  -  ( f `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) ) )
21dmmpt2ssx 6189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  _D  C_ 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) )
3 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  -> 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  )
42, 3sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  -> 
<. S ,  F >.  e. 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) ) )
5 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  S  ->  ( CC  ^pm  s )  =  ( CC  ^pm  S
) )
65opeliunxp2 4824 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) )  <->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) ) )
74, 6sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
) )
87simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
9 cnex 8818 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
107simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  S  e.  ~P CC )
11 elpm2g 6787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  ~P CC )  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S
)  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
129, 10, 11sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S ) ) )
138, 12mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S ) )
1413simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  F : dom  F --> CC )
1514adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  F : dom  F --> CC )
162sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  <. S ,  F >.  e.  U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) ) )
1716, 6sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) ) )
1817simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
1917simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  S  e. 
~P CC )
209, 19, 11sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
2118, 20mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
2221simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  F  C_  S )
2322adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  dom  F  C_  S
)
24 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S  e.  ~P CC  ->  S 
C_  CC )
2510, 24syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  S  C_  CC )
2623, 25sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  dom  F  C_  CC )
2726adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  dom  F  C_  CC )
28 perfdvf.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
2928cnfldtopon 18292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
30 resttopon 16892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
3129, 25, 30sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
32 topontop 16664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
3331, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
34 toponuni 16665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
3531, 34syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
3623, 35sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )
37 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. ( Kt  S )  =  U. ( Kt  S )
3837ntrss2 16794 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\ 
dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )
3933, 36, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )
4039sselda 3180 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  dom  F )
4115, 27, 40dvlem 19246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  /\  z  e.  ( dom  F 
\  { x }
) )  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) )  e.  CC )
42 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
4341, 42fmptd 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( z  e.  ( dom  F  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) : ( dom 
F  \  { x } ) --> CC )
44 difss 3303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom 
F  \  { x } )  C_  dom  F
4544, 27syl5ss 3190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( dom  F  \  {
x } )  C_  CC )
4629a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
4737ntrss3 16797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\ 
dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  U. ( Kt  S ) )
4833, 36, 47syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  U. ( Kt  S ) )
4948, 35sseqtr4d 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  S
)
50 restabs 16896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  S  /\  S  e.  ~P CC )  ->  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) )
5146, 49, 10, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) )
52 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  S )  e. Perf )
5337ntropn 16786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\ 
dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  e.  ( Kt  S ) )
5433, 36, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  e.  ( Kt  S ) )
55 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )
5637, 55perfopn 16915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Kt  S )  e. Perf  /\  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  e.  ( Kt  S ) )  -> 
( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf
)
5752, 54, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf
)
5851, 57eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf
)
5928cnfldtop 18293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  K  e. 
Top
6049, 25sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  CC )
6129toponunii 16670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  =  U. K
62 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )
6361, 62restperf 16914 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  CC )  ->  ( ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf  <->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  (
( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) ) )
6459, 60, 63sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf  <->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F
)  C_  ( ( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) ) )
6558, 64mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  (
( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) )
6659a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  K  e.  Top )
6761lpss3 16876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Top  /\  dom  F  C_  CC  /\  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )  ->  ( ( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  C_  ( ( limPt `  K
) `  dom  F ) )
6866, 26, 39, 67syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( limPt `  K
) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F
) )  C_  (
( limPt `  K ) `  dom  F ) )
6965, 68sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  (
( limPt `  K ) `  dom  F ) )
7069sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  ( ( limPt `  K ) `  dom  F ) )
7161lpdifsn 16875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  dom  F  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( ( limPt `  K ) `  dom  F )  <->  x  e.  ( ( limPt `  K
) `  ( dom  F 
\  { x }
) ) ) )
7259, 27, 71sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  K ) `  dom  F )  <->  x  e.  ( ( limPt `  K
) `  ( dom  F 
\  { x }
) ) ) )
7370, 72mpbid 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  ( ( limPt `  K ) `  ( dom  F  \  {
x } ) ) )
7443, 45, 73, 28limcmo 19232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  E* y  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )
7574ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  ->  E* y  y  e.  (
( z  e.  ( dom  F  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
76 moanimv 2201 . . . . . . . . 9  |-  ( E* y ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  <->  ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  ->  E* y  y  e.  (
( z  e.  ( dom  F  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
7775, 76sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  E* y ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
78 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( Kt  S )  =  ( Kt  S )
7978, 28, 42, 25, 14, 23eldv 19248 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( x ( S  _D  F ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
8079mobidv 2178 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( E* y  x ( S  _D  F
) y  <->  E* y
( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
8177, 80mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  E* y  x ( S  _D  F ) y )
8281alrimiv 1617 . . . . . 6  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  A. x E* y  x ( S  _D  F ) y )
83 reldv 19220 . . . . . . 7  |-  Rel  ( S  _D  F )
84 dffun6 5270 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  ( Rel  ( S  _D  F )  /\  A. x E* y  x ( S  _D  F
) y ) )
8583, 84mpbiran 884 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  A. x E* y  x ( S  _D  F ) y )
8682, 85sylibr 203 . . . . 5  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  Fun  ( S  _D  F ) )
87 funfn 5283 . . . . 5  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  ( S  _D  F )  Fn  dom  ( S  _D  F
) )
8886, 87sylib 188 . . . 4  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F ) )
89 vex 2791 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
9089elrn 4919 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( S  _D  F )  <->  E. x  x ( S  _D  F ) y )
9125, 14, 23dvcl 19249 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  CC )
9291ex 423 . . . . . . 7  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( x ( S  _D  F ) y  ->  y  e.  CC ) )
9392exlimdv 1664 . . . . . 6  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( E. x  x ( S  _D  F
) y  ->  y  e.  CC ) )
9490, 93syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( y  e.  ran  ( S  _D  F
)  ->  y  e.  CC ) )
9594ssrdv 3185 . . . 4  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ran  ( S  _D  F )  C_  CC )
96 df-f 5259 . . . 4  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC  <->  ( ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F )  /\  ran  ( S  _D  F
)  C_  CC )
)
9788, 95, 96sylanbrc 645 . . 3  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
9897ex 423 . 2  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC ) )
99 f0 5425 . . . 4  |-  (/) : (/) --> CC
100 df-ov 5861 . . . . . 6  |-  ( S  _D  F )  =  (  _D  `  <. S ,  F >. )
101 ndmfv 5552 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  (  _D 
`  <. S ,  F >. )  =  (/) )
102100, 101syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  _D  F )  =  (/) )
103102dmeqd 4881 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  =  dom  (/) )
104 dm0 4892 . . . . . 6  |-  dom  (/)  =  (/)
105103, 104syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  =  (/) )
106102, 105feq12d 5381 . . . 4  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC  <->  (/) :
(/) --> CC ) )
10799, 106mpbiri 224 . . 3  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
108107a1d 22 . 2  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC ) )
10998, 108pm2.61i 156 1  |-  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E*wmo 2144   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   <.cop 3643   U.cuni 3827   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   Rel wrel 4694   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^pm cpm 6773   CCcc 8735    - cmin 9037    / cdiv 9423   ↾t crest 13325   TopOpenctopn 13326  ℂfldccnfld 16377   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   intcnt 16754   limPtclp 16866  Perfcperf 16867   lim CC climc 19212    _D cdv 19213
This theorem is referenced by:  dvfg  19256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-icc 10663  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-limc 19216  df-dv 19217
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