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Theorem perfdvf 19782
Description: The derivative is a function, whenever it is defined relative to a perfect subset of the complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
perfdvf.1  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
Assertion
Ref Expression
perfdvf  |-  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )

Proof of Theorem perfdvf
Dummy variables  f 
s  x  z  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-dv 19746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  _D  =  ( s  e.  ~P CC ,  f  e.  ( CC  ^pm  s ) 
|->  U_ x  e.  ( ( int `  (
( TopOpen ` fld )t  s ) ) `
 dom  f )
( { x }  X.  ( ( z  e.  ( dom  f  \  { x } ) 
|->  ( ( ( f `
 z )  -  ( f `  x
) )  /  (
z  -  x ) ) ) lim CC  x
) ) )
21dmmpt2ssx 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  _D  C_ 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) )
3 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  -> 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  )
42, 3sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  -> 
<. S ,  F >.  e. 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) ) )
5 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  =  S  ->  ( CC  ^pm  s )  =  ( CC  ^pm  S
) )
65opeliunxp2 5005 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) )  <->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S
) ) )
74, 6sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm  S )
) )
87simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  F  e.  ( CC 
^pm  S ) )
9 cnex 9063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
107simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  S  e.  ~P CC )
11 elpm2g 7025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( CC  e.  _V  /\  S  e.  ~P CC )  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S
)  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
129, 10, 11sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S ) ) )
138, 12mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S ) )
1413simpld 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  F : dom  F --> CC )
1514adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  F : dom  F --> CC )
162sseli 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  <. S ,  F >.  e.  U_ s  e.  ~P  CC ( { s }  X.  ( CC  ^pm  s ) ) )
1716, 6sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  e.  ~P CC  /\  F  e.  ( CC  ^pm 
S ) ) )
1817simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  F  e.  ( CC  ^pm  S
) )
1917simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  S  e. 
~P CC )
209, 19, 11sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( F  e.  ( CC  ^pm  S )  <->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F 
C_  S ) ) )
2118, 20mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( F : dom  F --> CC  /\  dom  F  C_  S )
)
2221simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  F  C_  S )
2322adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  dom  F  C_  S
)
2410elpwid 3800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  S  C_  CC )
2523, 24sstrd 3350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  dom  F  C_  CC )
2625adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  dom  F  C_  CC )
27 perfdvf.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  K  =  ( TopOpen ` fld )
2827cnfldtopon 18809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  K  e.  (TopOn `  CC )
29 resttopon 17217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  S  C_  CC )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
3028, 24, 29sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S ) )
31 topontop 16983 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  S )  e.  Top )
33 toponuni 16984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Kt  S )  e.  (TopOn `  S )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
3430, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  S  =  U. ( Kt  S ) )
3523, 34sseqtrd 3376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )
36 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. ( Kt  S )  =  U. ( Kt  S )
3736ntrss2 17113 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\ 
dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )
3832, 35, 37syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )
3938sselda 3340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  dom  F )
4015, 26, 39dvlem 19775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  /\  z  e.  ( dom  F 
\  { x }
) )  ->  (
( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) )  e.  CC )
41 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )  =  ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) )
4240, 41fmptd 5885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( z  e.  ( dom  F  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) : ( dom 
F  \  { x } ) --> CC )
4326ssdifssd 3477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( dom  F  \  {
x } )  C_  CC )
4428a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  K  e.  (TopOn `  CC ) )
4536ntrss3 17116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\ 
dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  U. ( Kt  S ) )
4632, 35, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  U. ( Kt  S ) )
4746, 34sseqtr4d 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  S
)
48 restabs 17221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  (TopOn `  CC )  /\  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  S  /\  S  e.  ~P CC )  ->  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) )
4944, 47, 10, 48syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) )
50 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  S )  e. Perf )
5136ntropn 17105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( Kt  S )  e.  Top  /\ 
dom  F  C_  U. ( Kt  S ) )  -> 
( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  e.  ( Kt  S ) )
5232, 35, 51syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  e.  ( Kt  S ) )
53 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )
5436, 53perfopn 17241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Kt  S )  e. Perf  /\  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  e.  ( Kt  S ) )  -> 
( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf
)
5550, 52, 54syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( Kt  S )t  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf
)
5649, 55eqeltrrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf
)
5727cnfldtop 18810 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  K  e. 
Top
5847, 24sstrd 3350 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  CC )
5928toponunii 16989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  =  U. K
60 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  =  ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )
6159, 60restperf 17240 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  CC )  ->  ( ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf  <->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  (
( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) ) )
6257, 58, 61sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( Kt  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  e. Perf  <->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F
)  C_  ( ( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) ) )
6356, 62mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  (
( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) ) )
6457a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  K  e.  Top )
6559lpss3 17200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Top  /\  dom  F  C_  CC  /\  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  dom  F )  ->  ( ( limPt `  K ) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  C_  ( ( limPt `  K
) `  dom  F ) )
6664, 25, 38, 65syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( limPt `  K
) `  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F
) )  C_  (
( limPt `  K ) `  dom  F ) )
6763, 66sstrd 3350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  C_  (
( limPt `  K ) `  dom  F ) )
6867sselda 3340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  ( ( limPt `  K ) `  dom  F ) )
6959lpdifsn 17199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Top  /\  dom  F  C_  CC )  ->  ( x  e.  ( ( limPt `  K ) `  dom  F )  <->  x  e.  ( ( limPt `  K
) `  ( dom  F 
\  { x }
) ) ) )
7057, 26, 69sylancr 645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  -> 
( x  e.  ( ( limPt `  K ) `  dom  F )  <->  x  e.  ( ( limPt `  K
) `  ( dom  F 
\  { x }
) ) ) )
7168, 70mpbid 202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  x  e.  ( ( limPt `  K ) `  ( dom  F  \  {
x } ) ) )
7242, 43, 71, 27limcmo 19761 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x  e.  (
( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F ) )  ->  E* y  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )
7372ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  ->  E* y  y  e.  (
( z  e.  ( dom  F  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
74 moanimv 2338 . . . . . . . . 9  |-  ( E* y ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) )  <->  ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  ->  E* y  y  e.  (
( z  e.  ( dom  F  \  {
x } )  |->  ( ( ( F `  z )  -  ( F `  x )
)  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
7573, 74sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  E* y ( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) )
76 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( Kt  S )  =  ( Kt  S )
7776, 27, 41, 24, 14, 23eldv 19777 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( x ( S  _D  F ) y  <-> 
( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
7877mobidv 2315 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( E* y  x ( S  _D  F
) y  <->  E* y
( x  e.  ( ( int `  ( Kt  S ) ) `  dom  F )  /\  y  e.  ( ( z  e.  ( dom  F  \  { x } ) 
|->  ( ( ( F `
 z )  -  ( F `  x ) )  /  ( z  -  x ) ) ) lim CC  x ) ) ) )
7975, 78mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  E* y  x ( S  _D  F ) y )
8079alrimiv 1641 . . . . . 6  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  A. x E* y  x ( S  _D  F ) y )
81 reldv 19749 . . . . . . 7  |-  Rel  ( S  _D  F )
82 dffun6 5461 . . . . . . 7  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  ( Rel  ( S  _D  F )  /\  A. x E* y  x ( S  _D  F
) y ) )
8381, 82mpbiran 885 . . . . . 6  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  A. x E* y  x ( S  _D  F ) y )
8480, 83sylibr 204 . . . . 5  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  Fun  ( S  _D  F ) )
85 funfn 5474 . . . . 5  |-  ( Fun  ( S  _D  F
)  <->  ( S  _D  F )  Fn  dom  ( S  _D  F
) )
8684, 85sylib 189 . . . 4  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F ) )
87 vex 2951 . . . . . . 7  |-  y  e. 
_V
8887elrn 5102 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ran  ( S  _D  F )  <->  E. x  x ( S  _D  F ) y )
8924, 14, 23dvcl 19778 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( <. S ,  F >.  e.  dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  /\  x ( S  _D  F ) y )  ->  y  e.  CC )
9089ex 424 . . . . . . 7  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( x ( S  _D  F ) y  ->  y  e.  CC ) )
9190exlimdv 1646 . . . . . 6  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( E. x  x ( S  _D  F
) y  ->  y  e.  CC ) )
9288, 91syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( y  e.  ran  ( S  _D  F
)  ->  y  e.  CC ) )
9392ssrdv 3346 . . . 4  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ran  ( S  _D  F )  C_  CC )
94 df-f 5450 . . . 4  |-  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC  <->  ( ( S  _D  F
)  Fn  dom  ( S  _D  F )  /\  ran  ( S  _D  F
)  C_  CC )
)
9586, 93, 94sylanbrc 646 . . 3  |-  ( (
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  /\  ( Kt  S )  e. Perf )  ->  ( S  _D  F
) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
9695ex 424 . 2  |-  ( <. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC ) )
97 f0 5619 . . . 4  |-  (/) : (/) --> CC
98 df-ov 6076 . . . . . 6  |-  ( S  _D  F )  =  (  _D  `  <. S ,  F >. )
99 ndmfv 5747 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  (  _D 
`  <. S ,  F >. )  =  (/) )
10098, 99syl5eq 2479 . . . . 5  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  _D  F )  =  (/) )
101100dmeqd 5064 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  =  dom  (/) )
102 dm0 5075 . . . . . 6  |-  dom  (/)  =  (/)
103101, 102syl6eq 2483 . . . . 5  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  dom  ( S  _D  F )  =  (/) )
104100, 103feq12d 5574 . . . 4  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC  <->  (/) :
(/) --> CC ) )
10597, 104mpbiri 225 . . 3  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
106105a1d 23 . 2  |-  ( -. 
<. S ,  F >.  e. 
dom  _D  ->  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC ) )
10796, 106pm2.61i 158 1  |-  ( ( Kt  S )  e. Perf  ->  ( S  _D  F ) : dom  ( S  _D  F ) --> CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E*wmo 2281   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ~Pcpw 3791   {csn 3806   <.cop 3809   U.cuni 4007   U_ciun 4085   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   dom cdm 4870   ran crn 4871   Rel wrel 4875   Fun wfun 5440    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^pm cpm 7011   CCcc 8980    - cmin 9283    / cdiv 9669   ↾t crest 13640   TopOpenctopn 13641  ℂfldccnfld 16695   Topctop 16950  TopOnctopon 16951   intcnt 17073   limPtclp 17190  Perfcperf 17191   lim CC climc 19741    _D cdv 19742
This theorem is referenced by:  dvfg  19785
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-icc 10915  df-fz 11036  df-seq 11316  df-exp 11375  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-limc 19745  df-dv 19746
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