Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfect Structured version   Unicode version

Theorem perfect 21017
 Description: The Euclid-Euler theorem, or Perfect Number theorem. A positive even integer is a perfect number (that is, its divisor sum is ) if and only if it is of the form , where is prime (a Mersenne prime). (It follows from this that is also prime.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
perfect
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem perfect
StepHypRef Expression
1 simplr 733 . . . . . . 7
2 2prm 13097 . . . . . . . 8
3 simpll 732 . . . . . . . 8
4 pcelnn 13245 . . . . . . . 8
52, 3, 4sylancr 646 . . . . . . 7
61, 5mpbird 225 . . . . . 6
76nnzd 10376 . . . . 5
87peano2zd 10380 . . . 4
9 pcdvds 13239 . . . . . . . . 9
102, 3, 9sylancr 646 . . . . . . . 8
11 2nn 10135 . . . . . . . . . 10
126nnnn0d 10276 . . . . . . . . . 10
13 nnexpcl 11396 . . . . . . . . . 10
1411, 12, 13sylancr 646 . . . . . . . . 9
15 nndivdvds 12860 . . . . . . . . 9
163, 14, 15syl2anc 644 . . . . . . . 8
1710, 16mpbid 203 . . . . . . 7
18 pcndvds2 13243 . . . . . . . 8
192, 3, 18sylancr 646 . . . . . . 7
20 simpr 449 . . . . . . . 8
21 nncn 10010 . . . . . . . . . . 11
2221ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10
2314nncnd 10018 . . . . . . . . . 10
2414nnne0d 10046 . . . . . . . . . 10
2522, 23, 24divcan2d 9794 . . . . . . . . 9
2625oveq2d 6099 . . . . . . . 8
2725oveq2d 6099 . . . . . . . 8
2820, 26, 273eqtr4d 2480 . . . . . . 7
296, 17, 19, 28perfectlem2 21016 . . . . . 6
3029simprd 451 . . . . 5
3129simpld 447 . . . . 5
3230, 31eqeltrrd 2513 . . . 4
336nncnd 10018 . . . . . . . . 9
34 ax-1cn 9050 . . . . . . . . 9
35 pncan 9313 . . . . . . . . 9
3633, 34, 35sylancl 645 . . . . . . . 8
3736eqcomd 2443 . . . . . . 7
3837oveq2d 6099 . . . . . 6
3938, 30oveq12d 6101 . . . . 5
4025, 39eqtr3d 2472 . . . 4
41 oveq2 6091 . . . . . . . 8
4241oveq1d 6098 . . . . . . 7
4342eleq1d 2504 . . . . . 6
44 oveq1 6090 . . . . . . . . 9
4544oveq2d 6099 . . . . . . . 8
4645, 42oveq12d 6101 . . . . . . 7
4746eqeq2d 2449 . . . . . 6
4843, 47anbi12d 693 . . . . 5
4948rspcev 3054 . . . 4
508, 32, 40, 49syl12anc 1183 . . 3
5150ex 425 . 2
52 perfect1 21014 . . . . . 6
53 2cn 10072 . . . . . . . . 9
54 mersenne 21013 . . . . . . . . . 10
55 prmnn 13084 . . . . . . . . . 10
5654, 55syl 16 . . . . . . . . 9
57 expm1t 11410 . . . . . . . . 9
5853, 56, 57sylancr 646 . . . . . . . 8
59 nnm1nn0 10263 . . . . . . . . . . 11
6056, 59syl 16 . . . . . . . . . 10
61 expcl 11401 . . . . . . . . . 10
6253, 60, 61sylancr 646 . . . . . . . . 9
63 mulcom 9078 . . . . . . . . 9
6462, 53, 63sylancl 645 . . . . . . . 8
6558, 64eqtrd 2470 . . . . . . 7
6665oveq1d 6098 . . . . . 6
6753a1i 11 . . . . . . 7
68 prmnn 13084 . . . . . . . . 9
6968adantl 454 . . . . . . . 8
7069nncnd 10018 . . . . . . 7
7167, 62, 70mulassd 9113 . . . . . 6
7252, 66, 713eqtrd 2474 . . . . 5
73 oveq2 6091 . . . . . 6
74 oveq2 6091 . . . . . 6
7573, 74eqeq12d 2452 . . . . 5
7672, 75syl5ibrcom 215 . . . 4
7776impr 604 . . 3
7877rexlimiva 2827 . 2
7951, 78impbid1 196 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wrex 2708   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083  cc 8990  c1 8993   caddc 8995   cmul 8997   cmin 9293   cdiv 9679  cn 10002  c2 10051  cn0 10223  cz 10284  cexp 11384   cdivides 12854  cprime 13081   cpc 13212   csgm 20880 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-pc 13213  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456  df-cxp 20457  df-sgm 20886
 Copyright terms: Public domain W3C validator