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Theorem perfectlem2 20883
Description: Lemma for perfect 20884. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
perfectlem.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
perfectlem.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
perfectlem.3  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  B
)
perfectlem.4  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( ( 2 ^ A )  x.  B ) )  =  ( 2  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  B
) ) )
Assertion
Ref Expression
perfectlem2  |-  ( ph  ->  ( B  e.  Prime  /\  B  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )

Proof of Theorem perfectlem2
Dummy variables  k  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 perfectlem.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
2 1re 9025 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
32a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
4 perfectlem.1 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
5 perfectlem.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  -.  2  ||  B
)
6 perfectlem.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( ( 2 ^ A )  x.  B ) )  =  ( 2  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  B
) ) )
74, 1, 5, 6perfectlem1 20882 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  NN  /\  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN  /\  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  NN ) )
87simp3d 971 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  NN )
98nnred 9949 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  RR )
101nnred 9949 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
118nnge1d 9976 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  <_  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
12 2cn 10004 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  CC
13 exp1 11316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  CC  ->  (
2 ^ 1 )  =  2 )
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 ^ 1 )  =  2
15 df-2 9992 . . . . . . . . . 10  |-  2  =  ( 1  +  1 )
1614, 15eqtri 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( 2 ^ 1 )  =  ( 1  +  1 )
17 2re 10003 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
1817a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
19 1z 10245 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ
2019a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
214peano2nnd 9951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  NN )
2221nnzd 10308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  +  1 )  e.  ZZ )
23 1lt2 10076 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <  2
2423a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
254nnrpd 10581 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR+ )
26 ltaddrp 10578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  A  e.  RR+ )  -> 
1  <  ( 1  +  A ) )
272, 25, 26sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  <  ( 1  +  A ) )
28 ax-1cn 8983 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
294nncnd 9950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
30 addcom 9186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( 1  +  A
)  =  ( A  +  1 ) )
3128, 29, 30sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  +  A
)  =  ( A  +  1 ) )
3227, 31breqtrd 4179 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  1  <  ( A  +  1 ) )
33 ltexp2a 11360 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  e.  RR  /\  1  e.  ZZ  /\  ( A  +  1
)  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  2  /\  1  < 
( A  +  1 ) ) )  -> 
( 2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
3418, 20, 22, 24, 32, 33syl32anc 1192 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ 1 )  <  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
3516, 34syl5eqbrr 4189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  +  1 )  <  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
367simp1d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  NN )
3736nnred 9949 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  RR )
383, 3, 37ltaddsubd 9560 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  +  1 )  <  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  <->  1  <  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
3935, 38mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  1  <  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )
40 peano2rem 9301 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  RR  ->  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
4137, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR )
42 0lt1 9484 . . . . . . . . 9  |-  0  <  1
4342a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  1 )
44 expgt1 11347 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( A  +  1
)  e.  NN  /\  1  <  2 )  -> 
1  <  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
4518, 21, 24, 44syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  <  ( 2 ^ ( A  + 
1 ) ) )
46 posdif 9455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  RR )  ->  ( 1  < 
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  <->  0  <  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
472, 37, 46sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  <  (
2 ^ ( A  +  1 ) )  <->  0  <  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
4845, 47mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )
491nngt0d 9977 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <  B )
50 ltdiv2OLD 9830 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <  1  /\  0  <  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  /\  0  <  B ) )  ->  ( 1  < 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  <->  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  <  ( B  /  1 ) ) )
513, 41, 10, 43, 48, 49, 50syl33anc 1199 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  <  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  <-> 
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  <  ( B  /  1 ) ) )
5239, 51mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  <  ( B  /  1 ) )
531nncnd 9950 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
5453div1d 9716 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  /  1
)  =  B )
5552, 54breqtrd 4179 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  <  B )
563, 9, 10, 11, 55lelttrd 9162 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  <  B )
57 eluz2b2 10482 . . . 4  |-  ( B  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( B  e.  NN  /\  1  < 
B ) )
581, 56, 57sylanbrc 646 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
59 fzfid 11241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1 ... B
)  e.  Fin )
60 sgmss 20758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  NN  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  C_  ( 1 ... B ) )
611, 60syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  C_  ( 1 ... B
) )
62 ssfi 7267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... B
)  e.  Fin  /\  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  C_  ( 1 ... B
) )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  e.  Fin )
6359, 61, 62syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  e.  Fin )
6463ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  e.  Fin )
65 ssrab2 3373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  C_  NN
6665a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { x  e.  NN  |  x  ||  B }  C_  NN )
6766sselda 3293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
)  ->  k  e.  NN )
6867nnred 9949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
)  ->  k  e.  RR )
6967nnnn0d 10208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
)  ->  k  e.  NN0 )
7069nn0ge0d 10211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
)  ->  0  <_  k )
71 df-tp 3767 . . . . . . . . . . . 12  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  =  ( {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  u.  { n } )
72 prssi 3899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  NN  /\  B  e.  NN )  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  C_  NN )
738, 1, 72syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  C_  NN )
7473ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  C_  NN )
75 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  n  e.  NN )
7675snssd 3888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { n }  C_  NN )
7774, 76unssd 3468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  u.  { n } )  C_  NN )
7871, 77syl5eqss 3337 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  C_  NN )
79 eltpi 3797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B ,  n }  ->  ( x  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  x  =  B  \/  x  =  n ) )
807simp2d 970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  NN )
8180nnzd 10308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ )
828nnzd 10308 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  ZZ )
83 dvdsmul2 12801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  ZZ  /\  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  ZZ )  ->  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ||  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
8481, 82, 83syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ||  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
8580nncnd 9950 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  e.  CC )
8680nnne0d 9978 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  =/=  0 )
8753, 85, 86divcan2d 9726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  =  B )
8884, 87breqtrd 4179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ||  B )
89 breq1 4158 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  (
x  ||  B  <->  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  ||  B ) )
9088, 89syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  x  ||  B
) )
9190ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
x  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  ->  x  ||  B ) )
921nnzd 10308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
93 iddvds 12792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  ||  B )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  ||  B )
95 breq1 4158 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  B  ->  (
x  ||  B  <->  B  ||  B
) )
9694, 95syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  =  B  ->  x  ||  B
) )
9796ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
x  =  B  ->  x  ||  B ) )
98 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  n  ||  B )
99 breq1 4158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  n  ->  (
x  ||  B  <->  n  ||  B
) )
10098, 99syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
x  =  n  ->  x  ||  B ) )
10191, 97, 1003jaod 1248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( x  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  x  =  B  \/  x  =  n )  ->  x  ||  B
) )
10279, 101syl5 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
x  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  ->  x  ||  B
) )
103102imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  x  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } )  ->  x  ||  B )
10478, 103ssrabdv 3367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  C_  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )
10564, 68, 70, 104fsumless 12504 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } k  <_  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } k )
106 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  -.  n  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B } )
107 disjsn 3813 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  i^i  { n }
)  =  (/)  <->  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )
108106, 107sylibr 204 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  i^i  { n }
)  =  (/) )
10971a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  =  ( {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  u.  { n } ) )
110 tpfi 7320 . . . . . . . . . . . 12  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  e.  Fin
111110a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n }  e.  Fin )
11278sselda 3293 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } )  -> 
k  e.  NN )
113112nncnd 9950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  /\  k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } )  -> 
k  e.  CC )
114108, 109, 111, 113fsumsplit 12462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } k  =  ( sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
k  +  sum_ k  e.  { n } k ) )
1158nncnd 9950 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  CC )
116 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  k  =  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
117116sumsn 12463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  NN  /\  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } k  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
1188, 115, 117syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } k  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
119 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  B  ->  k  =  B )
120119sumsn 12463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  NN  /\  B  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  { B } k  =  B )
1211, 53, 120syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  { B } k  =  B )
122118, 121oveq12d 6040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } k  + 
sum_ k  e.  { B } k )  =  ( ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  +  B
) )
123 incom 3478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { B }  i^i  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } )  =  ( { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) }  i^i  { B }
)
1249, 55gtned 9142 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  B  =/=  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
125 disjsn2 3814 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =/=  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( { B }  i^i  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } )  =  (/) )
126124, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( { B }  i^i  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) } )  =  (/) )
127123, 126syl5eqr 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) }  i^i  { B }
)  =  (/) )
128 df-pr 3766 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  =  ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) }  u.  { B } )
129128a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  =  ( {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) }  u.  { B } ) )
130 prfi 7319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  e.  Fin
131130a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  e.  Fin )
13273sselda 3293 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
)  ->  k  e.  NN )
133132nncnd 9950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
)  ->  k  e.  CC )
134127, 129, 131, 133fsumsplit 12462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
k  =  ( sum_ k  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) } k  +  sum_ k  e.  { B } k ) )
13585, 53mulcld 9043 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
)  e.  CC )
13653, 135, 85, 86divdird 9762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
) )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  +  ( ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  B )  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
13736nncnd 9950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  e.  CC )
13828a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
139137, 138, 53subdird 9424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
)  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B )  -  ( 1  x.  B ) ) )
14053mulid2d 9041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  B
)  =  B )
141140oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  B )  -  (
1  x.  B ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B )  -  B ) )
142139, 141eqtrd 2421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
)  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B )  -  B ) )
143142oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  B ) )  =  ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B )  -  B ) ) )
144137, 53mulcld 9043 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B
)  e.  CC )
14553, 144pncan3d 9348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B
)  -  B ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B ) )
146143, 145eqtrd 2421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  B ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B ) )
147146oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
) )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B )  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
148137, 53, 85, 86divassd 9759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  B )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
149147, 148eqtrd 2421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
) )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
15053, 85, 86divcan3d 9729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  B )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  B )
151150oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  +  ( ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 )  x.  B
)  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  =  ( ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  +  B ) )
152136, 149, 1513eqtr3d 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  +  B ) )
153122, 134, 1523eqtr4d 2431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
k  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
154153ad2antrr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } k  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
15575nncnd 9950 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  n  e.  CC )
156 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  k  =  n )
157156sumsn 12463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  CC  /\  n  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
n } k  =  n )
158155, 155, 157syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { n } k  =  n )
159154, 158oveq12d 6040 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  ( sum_ k  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } k  +  sum_ k  e.  {
n } k )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  n ) )
160114, 159eqtrd 2421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  n } k  =  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  n
) )
1614nnnn0d 10208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  NN0 )
162 expp1 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) )
16312, 161, 162sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  =  ( ( 2 ^ A )  x.  2 ) )
164 2nn 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  NN
165 nnexpcl 11323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ A
)  e.  NN )
166164, 161, 165sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ A
)  e.  NN )
167166nncnd 9950 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ A
)  e.  CC )
168 mulcom 9011 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( 2 ^ A
)  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  ( ( 2 ^ A )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ A ) ) )
169167, 12, 168sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ A )  x.  2 )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ A ) ) )
170163, 169eqtrd 2421 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  =  ( 2  x.  ( 2 ^ A ) ) )
171170oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B
)  =  ( ( 2  x.  ( 2 ^ A ) )  x.  B ) )
17212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
173172, 167, 53mulassd 9046 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( 2  x.  ( 2 ^ A
) )  x.  B
)  =  ( 2  x.  ( ( 2 ^ A )  x.  B ) ) )
174 2prm 13024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  Prime
175 coprm 13029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  Prime  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( -.  2  ||  B  <->  ( 2  gcd  B )  =  1 ) )
176174, 92, 175sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( -.  2  ||  B 
<->  ( 2  gcd  B
)  =  1 ) )
1775, 176mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 2  gcd  B
)  =  1 )
178 2z 10246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  2  e.  ZZ
179178a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
180 rpexp1i 13050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  e.  NN0 )  ->  (
( 2  gcd  B
)  =  1  -> 
( ( 2 ^ A )  gcd  B
)  =  1 ) )
181179, 92, 161, 180syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( 2  gcd 
B )  =  1  ->  ( ( 2 ^ A )  gcd 
B )  =  1 ) )
182177, 181mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ A )  gcd  B
)  =  1 )
183 sgmmul 20854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( ( 2 ^ A )  e.  NN  /\  B  e.  NN  /\  ( ( 2 ^ A )  gcd  B
)  =  1 ) )  ->  ( 1 
sigma  ( ( 2 ^ A )  x.  B
) )  =  ( ( 1  sigma  ( 2 ^ A ) )  x.  ( 1  sigma  B ) ) )
184138, 166, 1, 182, 183syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( ( 2 ^ A )  x.  B ) )  =  ( ( 1 
sigma  ( 2 ^ A
) )  x.  (
1  sigma  B ) ) )
185 pncan 9245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
18629, 28, 185sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( A  + 
1 )  -  1 )  =  A )
187186oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( 2 ^ (
( A  +  1 )  -  1 ) )  =  ( 2 ^ A ) )
188187oveq2d 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( 2 ^ ( ( A  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( 1  sigma 
( 2 ^ A
) ) )
189 1sgm2ppw 20853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A  +  1 )  e.  NN  ->  (
1  sigma  ( 2 ^ ( ( A  + 
1 )  -  1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )
19021, 189syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( 2 ^ ( ( A  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )
191188, 190eqtr3d 2423 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  ( 2 ^ A ) )  =  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )
192191oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( 1  sigma 
( 2 ^ A
) )  x.  (
1  sigma  B ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( 1  sigma  B ) ) )
193184, 6, 1923eqtr3d 2429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 2  x.  (
( 2 ^ A
)  x.  B ) )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( 1  sigma  B ) ) )
194171, 173, 1933eqtrd 2425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  B
)  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( 1  sigma  B ) ) )
195194oveq1d 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  B )  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( 1 
sigma  B ) )  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
196 1nn0 10171 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  NN0
197 sgmnncl 20799 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1  e.  NN0  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  sigma  B )  e.  NN )
198196, 1, 197sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  B )  e.  NN )
199198nncnd 9950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  B )  e.  CC )
200199, 85, 86divcan3d 9729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  x.  ( 1  sigma  B ) )  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( 1  sigma  B ) )
201195, 148, 2003eqtr3d 2429 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  =  ( 1  sigma  B ) )
202 sgmval 20794 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  B  e.  NN )  ->  ( 1  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B }  (
k  ^ c  1 ) )
20328, 1, 202sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  sigma  B )  =  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B }  (
k  ^ c  1 ) )
204 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B } )
20565, 204sseldi 3291 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  k  e.  NN )
206205nncnd 9950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  k  e.  CC )
207206cxp1d 20466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  ( k  ^ c  1 )  =  k )
208207sumeq2dv 12426 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B }  (
k  ^ c  1 )  =  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
k )
209201, 203, 2083eqtrrd 2426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B } k  =  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
210209ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
k  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
211105, 160, 2103brtr3d 4184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  n )  <_ 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
21237, 9remulcld 9051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
213212ad2antrr 707 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  e.  RR )
21475nnrpd 10581 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  n  e.  RR+ )
215213, 214ltaddrpd 10611 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  <  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  n ) )
21675nnred 9949 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  n  e.  RR )
217213, 216readdcld 9050 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  n )  e.  RR )
218213, 217ltnled 9154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  <  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  n )  <->  -.  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  n )  <_ 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) ) )
219215, 218mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  /\  -.  n  e. 
{ ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )  ->  -.  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  n
)  <_  ( (
2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
220211, 219condan 770 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  ->  n  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B } )
221 elpri 3779 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B }  ->  (
n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  \/  n  =  B ) )
222220, 221syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( n  e.  NN  /\  n  ||  B ) )  -> 
( n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) )
223222expr 599 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( n 
||  B  ->  (
n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  \/  n  =  B ) ) )
224223ralrimiva 2734 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  ||  B  -> 
( n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) ) )
2253, 56gtned 9142 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  =/=  1 )
226225necomd 2635 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  =/=  B )
227 1nn 9945 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
228227a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  e.  NN )
229 1dvds 12793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ZZ  ->  1  ||  B )
23092, 229syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1  ||  B )
231 breq1 4158 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  (
n  ||  B  <->  1  ||  B ) )
232 eqeq1 2395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  (
n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  <->  1  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
233 eqeq1 2395 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  (
n  =  B  <->  1  =  B ) )
234232, 233orbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  (
( n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B )  <->  ( 1  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  1  =  B ) ) )
235231, 234imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  (
( n  ||  B  ->  ( n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) )  <->  ( 1 
||  B  ->  (
1  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  \/  1  =  B ) ) ) )
236235rspcv 2993 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( n  ||  B  -> 
( n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) )  ->  (
1  ||  B  ->  ( 1  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  \/  1  =  B ) ) ) )
237228, 224, 230, 236syl3c 59 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  1  =  B ) )
238237ord 367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -.  1  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  1  =  B ) )
239238necon1ad 2619 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  =/=  B  ->  1  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
240226, 239mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
241240eqeq2d 2400 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  =  1  <-> 
n  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
242241orbi1d 684 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( n  =  1  \/  n  =  B )  <->  ( n  =  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) ) )
243242imbi2d 308 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( n  ||  B  ->  ( n  =  1  \/  n  =  B ) )  <->  ( n  ||  B  ->  ( n  =  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) ) ) )
244243ralbidv 2671 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. n  e.  NN  ( n  ||  B  ->  ( n  =  1  \/  n  =  B ) )  <->  A. n  e.  NN  ( n  ||  B  ->  ( n  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  n  =  B ) ) ) )
245224, 244mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( n  ||  B  -> 
( n  =  1  \/  n  =  B ) ) )
246 isprm2 13016 . . 3  |-  ( B  e.  Prime  <->  ( B  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. n  e.  NN  ( n  ||  B  -> 
( n  =  1  \/  n  =  B ) ) ) )
24758, 245, 246sylanbrc 646 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  Prime )
248212ltp1d 9875 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  <  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 ) )
249 peano2re 9173 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  e.  RR  ->  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
250212, 249syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
251212, 250ltnled 9154 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  x.  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  <  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 )  <->  -.  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 )  <_ 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) ) )
252248, 251mpbid 202 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 )  <_  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
253205nnred 9949 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  k  e.  RR )
254205nnnn0d 10208 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  k  e.  NN0 )
255254nn0ge0d 10211 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )  ->  0  <_  k
)
256 df-tp 3767 . . . . . . . . . 10  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  =  ( { ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  u.  { 1 } )
257 snssi 3887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  NN  ->  { 1 }  C_  NN )
258227, 257mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { 1 }  C_  NN )
25973, 258unssd 3468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B }  u.  {
1 } )  C_  NN )
260256, 259syl5eqss 3337 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  C_  NN )
261 eltpi 3797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B ,  1 }  ->  ( x  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  x  =  B  \/  x  =  1 ) )
262 breq1 4158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (
x  ||  B  <->  1  ||  B ) )
263230, 262syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  =  1  ->  x  ||  B
) )
26490, 96, 2633jaod 1248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( x  =  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  x  =  B  \/  x  =  1 )  ->  x  ||  B ) )
265261, 264syl5 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B , 
1 }  ->  x  ||  B ) )
266265imp 419 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B , 
1 } )  ->  x  ||  B )
267260, 266ssrabdv 3367 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  C_  { x  e.  NN  |  x  ||  B } )
26863, 253, 255, 267fsumless 12504 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B , 
1 } k  <_  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B } k )
269268adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 } k  <_  sum_ k  e.  {
x  e.  NN  |  x  ||  B } k )
27053, 85, 86diveq1ad 9733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =  1  <-> 
B  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
271270necon3bid 2587 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  =/=  1  <->  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )
272271biimpar 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  =/=  1 )
273272necomd 2635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  1  =/=  ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
274226adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  1  =/=  B )
275273, 274jca 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  (
1  =/=  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  1  =/=  B ) )
276 neanior 2637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  =/=  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  /\  1  =/=  B )  <->  -.  (
1  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) )  \/  1  =  B ) )
277275, 276sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  -.  ( 1  =  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  1  =  B ) )
278 1ex 9021 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  _V
279278elpr 3777 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B }  <->  ( 1  =  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  \/  1  =  B ) )
280277, 279sylnibr 297 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  -.  1  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ,  B } )
281 disjsn 3813 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  i^i  { 1 } )  =  (/)  <->  -.  1  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } )
282280, 281sylibr 204 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  i^i  { 1 } )  =  (/) )
283256a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  =  ( { ( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }  u.  { 1 } ) )
284 tpfi 7320 . . . . . . . . 9  |-  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  e.  Fin
285284a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  e.  Fin )
286260adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 }  C_  NN )
287286sselda 3293 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  /\  k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 } )  ->  k  e.  NN )
288287nncnd 9950 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  /\  k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 } )  ->  k  e.  CC )
289282, 283, 285, 288fsumsplit 12462 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 } k  =  ( sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } k  +  sum_ k  e.  { 1 } k ) )
290 id 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  1  ->  k  =  1 )
291290sumsn 12463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
sum_ k  e.  {
1 } k  =  1 )
292138, 28, 291sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  {
1 } k  =  1 )
293153, 292oveq12d 6040 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  {
( B  /  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B }
k  +  sum_ k  e.  { 1 } k )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 ) )
294293adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  { ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B } k  +  sum_ k  e.  {
1 } k )  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 ) )
295289, 294eqtrd 2421 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  sum_ k  e.  { ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ,  B ,  1 } k  =  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 ) )
296209adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  sum_ k  e.  { x  e.  NN  |  x  ||  B }
k  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) ) )
297269, 295, 2963brtr3d 4184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  =/=  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )  ->  (
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 )  <_ 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) )
298297ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  =/=  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 )  ->  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  / 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )  +  1 )  <_  (
( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) ) ) )
299298necon1bd 2620 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  ( ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  +  1 )  <_ 
( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  x.  ( B  /  ( ( 2 ^ ( A  + 
1 ) )  - 
1 ) ) )  ->  B  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
300252, 299mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) )
301247, 300jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( B  e.  Prime  /\  B  =  ( ( 2 ^ ( A  +  1 ) )  -  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    \/ w3o 935    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2552   A.wral 2651   {crab 2655    u. cun 3263    i^i cin 3264    C_ wss 3265   (/)c0 3573   {csn 3759   {cpr 3760   {ctp 3761   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Fincfn 7047   CCcc 8923   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    + caddc 8928    x. cmul 8930    < clt 9055    <_ cle 9056    - cmin 9225    / cdiv 9611   NNcn 9934   2c2 9983   NN0cn0 10155   ZZcz 10216   ZZ>=cuz 10422   RR+crp 10546   ...cfz 10977   ^cexp 11311   sum_csu 12408    || cdivides 12781    gcd cgcd 12935   Primecprime 13008    ^ c ccxp 20322    sigma csgm 20747
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This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-ioc 10855  df-ico 10856  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-fac 11496  df-bc 11523  df-hash 11548  df-shft 11811  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-limsup 12194  df-clim 12211  df-rlim 12212  df-sum 12409  df-ef 12599  df-sin 12601  df-cos 12602  df-pi 12604  df-dvds 12782  df-gcd 12936  df-prm 13009  df-pc 13140  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-fbas 16625  df-fg 16626  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-ntr 17009  df-cls 17010  df-nei 17087  df-lp 17125  df-perf 17126  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-haus 17303  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-fil 17801  df-fm 17893  df-flim 17894  df-flf 17895  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-cncf 18781  df-limc 19622  df-dv 19623  df-log 20323  df-cxp 20324  df-sgm 20753
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