MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfi Unicode version

Theorem perfi 17134
Description: Property of a perfect space. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
lpfval.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
perfi  |-  ( ( J  e. Perf  /\  P  e.  X )  ->  -.  { P }  e.  J
)

Proof of Theorem perfi
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lpfval.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21isperf3 17132 . . 3  |-  ( J  e. Perf 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
32simprbi 451 . 2  |-  ( J  e. Perf  ->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J )
4 sneq 3761 . . . . 5  |-  ( x  =  P  ->  { x }  =  { P } )
54eleq1d 2446 . . . 4  |-  ( x  =  P  ->  ( { x }  e.  J 
<->  { P }  e.  J ) )
65notbid 286 . . 3  |-  ( x  =  P  ->  ( -.  { x }  e.  J 
<->  -.  { P }  e.  J ) )
76rspccva 2987 . 2  |-  ( ( A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J  /\  P  e.  X
)  ->  -.  { P }  e.  J )
83, 7sylan 458 1  |-  ( ( J  e. Perf  /\  P  e.  X )  ->  -.  { P }  e.  J
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2642   {csn 3750   U.cuni 3950   Topctop 16874  Perfcperf 17115
This theorem is referenced by:  perfopn  17164
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-top 16879  df-cld 16999  df-ntr 17000  df-cls 17001  df-lp 17116  df-perf 17117
  Copyright terms: Public domain W3C validator