MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfopn Unicode version

Theorem perfopn 16915
Description: An open subset of a perfect space is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1  |-  X  = 
U. J
restcls.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
Assertion
Ref Expression
perfopn  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e. Perf )

Proof of Theorem perfopn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . 4  |-  K  =  ( Jt  Y )
2 perftop 16887 . . . . . . 7  |-  ( J  e. Perf  ->  J  e.  Top )
32adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  J  e.  Top )
4 restcls.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
54toptopon 16671 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
63, 5sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
7 elssuni 3855 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  J  ->  Y  C_ 
U. J )
87adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  Y  C_ 
U. J )
98, 4syl6sseqr 3225 . . . . 5  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  Y  C_  X )
10 resttopon 16892 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
116, 9, 10syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
121, 11syl5eqel 2367 . . 3  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
13 topontop 16664 . . 3  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
1412, 13syl 15 . 2  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e.  Top )
159sselda 3180 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  x  e.  X )
164perfi 16886 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. Perf  /\  x  e.  X )  ->  -.  { x }  e.  J
)
1716adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  X
)  ->  -.  { x }  e.  J )
1815, 17syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  -.  { x }  e.  J )
191eleq2i 2347 . . . . . 6  |-  ( { x }  e.  K  <->  { x }  e.  ( Jt  Y ) )
20 restopn2 16908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  J )  ->  ( { x }  e.  ( Jt  Y )  <->  ( {
x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y ) ) )
212, 20sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  ( { x }  e.  ( Jt  Y )  <->  ( {
x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y ) ) )
2221adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( {
x }  e.  ( Jt  Y )  <->  ( {
x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y ) ) )
23 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( { x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y )  ->  { x }  e.  J )
2422, 23syl6bi 219 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( {
x }  e.  ( Jt  Y )  ->  { x }  e.  J )
)
2519, 24syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( {
x }  e.  K  ->  { x }  e.  J ) )
2618, 25mtod 168 . . . 4  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  -.  { x }  e.  K )
2726ralrimiva 2626 . . 3  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  A. x  e.  Y  -.  { x }  e.  K )
28 toponuni 16665 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
2912, 28syl 15 . . . 4  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  Y  =  U. K )
3029raleqdv 2742 . . 3  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  ( A. x  e.  Y  -.  { x }  e.  K 
<-> 
A. x  e.  U. K  -.  { x }  e.  K ) )
3127, 30mpbid 201 . 2  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  A. x  e.  U. K  -.  {
x }  e.  K
)
32 eqid 2283 . . 3  |-  U. K  =  U. K
3332isperf3 16884 . 2  |-  ( K  e. Perf 
<->  ( K  e.  Top  /\ 
A. x  e.  U. K  -.  { x }  e.  K ) )
3414, 31, 33sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e. Perf )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543    C_ wss 3152   {csn 3640   U.cuni 3827   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   ↾t crest 13325   Topctop 16631  TopOnctopon 16632  Perfcperf 16867
This theorem is referenced by:  perfdvf  19253
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-fi 7165  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-lp 16868  df-perf 16869
  Copyright terms: Public domain W3C validator