MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfopn Structured version   Unicode version

Theorem perfopn 17241
Description: An open subset of a perfect space is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1  |-  X  = 
U. J
restcls.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
Assertion
Ref Expression
perfopn  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e. Perf )

Proof of Theorem perfopn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . 4  |-  K  =  ( Jt  Y )
2 perftop 17212 . . . . . . 7  |-  ( J  e. Perf  ->  J  e.  Top )
32adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  J  e.  Top )
4 restcls.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
54toptopon 16990 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
63, 5sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
7 elssuni 4035 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  J  ->  Y  C_ 
U. J )
87adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  Y  C_ 
U. J )
98, 4syl6sseqr 3387 . . . . 5  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  Y  C_  X )
10 resttopon 17217 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
116, 9, 10syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
121, 11syl5eqel 2519 . . 3  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
13 topontop 16983 . . 3  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e.  Top )
159sselda 3340 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  x  e.  X )
164perfi 17211 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. Perf  /\  x  e.  X )  ->  -.  { x }  e.  J
)
1716adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  X
)  ->  -.  { x }  e.  J )
1815, 17syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  -.  { x }  e.  J )
191eleq2i 2499 . . . . . 6  |-  ( { x }  e.  K  <->  { x }  e.  ( Jt  Y ) )
20 restopn2 17233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  J )  ->  ( { x }  e.  ( Jt  Y )  <->  ( {
x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y ) ) )
212, 20sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  ( { x }  e.  ( Jt  Y )  <->  ( {
x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y ) ) )
2221adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( {
x }  e.  ( Jt  Y )  <->  ( {
x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y ) ) )
23 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( { x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y )  ->  { x }  e.  J )
2422, 23syl6bi 220 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( {
x }  e.  ( Jt  Y )  ->  { x }  e.  J )
)
2519, 24syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( {
x }  e.  K  ->  { x }  e.  J ) )
2618, 25mtod 170 . . . 4  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  -.  { x }  e.  K )
2726ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  A. x  e.  Y  -.  { x }  e.  K )
28 toponuni 16984 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
2912, 28syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  Y  =  U. K )
3029raleqdv 2902 . . 3  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  ( A. x  e.  Y  -.  { x }  e.  K 
<-> 
A. x  e.  U. K  -.  { x }  e.  K ) )
3127, 30mpbid 202 . 2  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  A. x  e.  U. K  -.  {
x }  e.  K
)
32 eqid 2435 . . 3  |-  U. K  =  U. K
3332isperf3 17209 . 2  |-  ( K  e. Perf 
<->  ( K  e.  Top  /\ 
A. x  e.  U. K  -.  { x }  e.  K ) )
3414, 31, 33sylanbrc 646 1  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e. Perf )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   {csn 3806   U.cuni 4007   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   ↾t crest 13640   Topctop 16950  TopOnctopon 16951  Perfcperf 17191
This theorem is referenced by:  perfdvf  19782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-oadd 6720  df-er 6897  df-en 7102  df-fin 7105  df-fi 7408  df-rest 13642  df-topgen 13659  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-lp 17192  df-perf 17193
  Copyright terms: Public domain W3C validator