MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfopn Unicode version

Theorem perfopn 16931
Description: An open subset of a perfect space is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1  |-  X  = 
U. J
restcls.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
Assertion
Ref Expression
perfopn  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e. Perf )

Proof of Theorem perfopn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . 4  |-  K  =  ( Jt  Y )
2 perftop 16903 . . . . . . 7  |-  ( J  e. Perf  ->  J  e.  Top )
32adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  J  e.  Top )
4 restcls.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
54toptopon 16687 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
63, 5sylib 188 . . . . 5  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
7 elssuni 3871 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  J  ->  Y  C_ 
U. J )
87adantl 452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  Y  C_ 
U. J )
98, 4syl6sseqr 3238 . . . . 5  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  Y  C_  X )
10 resttopon 16908 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
116, 9, 10syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
121, 11syl5eqel 2380 . . 3  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
13 topontop 16680 . . 3  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
1412, 13syl 15 . 2  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e.  Top )
159sselda 3193 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  x  e.  X )
164perfi 16902 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. Perf  /\  x  e.  X )  ->  -.  { x }  e.  J
)
1716adantlr 695 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  X
)  ->  -.  { x }  e.  J )
1815, 17syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  -.  { x }  e.  J )
191eleq2i 2360 . . . . . 6  |-  ( { x }  e.  K  <->  { x }  e.  ( Jt  Y ) )
20 restopn2 16924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  J )  ->  ( { x }  e.  ( Jt  Y )  <->  ( {
x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y ) ) )
212, 20sylan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  ( { x }  e.  ( Jt  Y )  <->  ( {
x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y ) ) )
2221adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( {
x }  e.  ( Jt  Y )  <->  ( {
x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y ) ) )
23 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( { x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y )  ->  { x }  e.  J )
2422, 23syl6bi 219 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( {
x }  e.  ( Jt  Y )  ->  { x }  e.  J )
)
2519, 24syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( {
x }  e.  K  ->  { x }  e.  J ) )
2618, 25mtod 168 . . . 4  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  -.  { x }  e.  K )
2726ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  A. x  e.  Y  -.  { x }  e.  K )
28 toponuni 16681 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
2912, 28syl 15 . . . 4  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  Y  =  U. K )
3029raleqdv 2755 . . 3  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  ( A. x  e.  Y  -.  { x }  e.  K 
<-> 
A. x  e.  U. K  -.  { x }  e.  K ) )
3127, 30mpbid 201 . 2  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  A. x  e.  U. K  -.  {
x }  e.  K
)
32 eqid 2296 . . 3  |-  U. K  =  U. K
3332isperf3 16900 . 2  |-  ( K  e. Perf 
<->  ( K  e.  Top  /\ 
A. x  e.  U. K  -.  { x }  e.  K ) )
3414, 31, 33sylanbrc 645 1  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e. Perf )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556    C_ wss 3165   {csn 3653   U.cuni 3843   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   ↾t crest 13341   Topctop 16647  TopOnctopon 16648  Perfcperf 16883
This theorem is referenced by:  perfdvf  19269
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-fin 6883  df-fi 7181  df-rest 13343  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-lp 16884  df-perf 16885
  Copyright terms: Public domain W3C validator