MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  perfopn Unicode version

Theorem perfopn 17172
Description: An open subset of a perfect space is perfect. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
restcls.1  |-  X  = 
U. J
restcls.2  |-  K  =  ( Jt  Y )
Assertion
Ref Expression
perfopn  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e. Perf )

Proof of Theorem perfopn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 restcls.2 . . . 4  |-  K  =  ( Jt  Y )
2 perftop 17143 . . . . . . 7  |-  ( J  e. Perf  ->  J  e.  Top )
32adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  J  e.  Top )
4 restcls.1 . . . . . . 7  |-  X  = 
U. J
54toptopon 16922 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
63, 5sylib 189 . . . . 5  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
7 elssuni 3986 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  J  ->  Y  C_ 
U. J )
87adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  Y  C_ 
U. J )
98, 4syl6sseqr 3339 . . . . 5  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  Y  C_  X )
10 resttopon 17148 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  Y  C_  X )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
116, 9, 10syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  ( Jt  Y )  e.  (TopOn `  Y ) )
121, 11syl5eqel 2472 . . 3  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
13 topontop 16915 . . 3  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  K  e.  Top )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e.  Top )
159sselda 3292 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  x  e.  X )
164perfi 17142 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. Perf  /\  x  e.  X )  ->  -.  { x }  e.  J
)
1716adantlr 696 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  X
)  ->  -.  { x }  e.  J )
1815, 17syldan 457 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  -.  { x }  e.  J )
191eleq2i 2452 . . . . . 6  |-  ( { x }  e.  K  <->  { x }  e.  ( Jt  Y ) )
20 restopn2 17164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  Y  e.  J )  ->  ( { x }  e.  ( Jt  Y )  <->  ( {
x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y ) ) )
212, 20sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  ( { x }  e.  ( Jt  Y )  <->  ( {
x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y ) ) )
2221adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( {
x }  e.  ( Jt  Y )  <->  ( {
x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y ) ) )
23 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( { x }  e.  J  /\  { x }  C_  Y )  ->  { x }  e.  J )
2422, 23syl6bi 220 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( {
x }  e.  ( Jt  Y )  ->  { x }  e.  J )
)
2519, 24syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  ( {
x }  e.  K  ->  { x }  e.  J ) )
2618, 25mtod 170 . . . 4  |-  ( ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  /\  x  e.  Y
)  ->  -.  { x }  e.  K )
2726ralrimiva 2733 . . 3  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  A. x  e.  Y  -.  { x }  e.  K )
28 toponuni 16916 . . . . 5  |-  ( K  e.  (TopOn `  Y
)  ->  Y  =  U. K )
2912, 28syl 16 . . . 4  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  Y  =  U. K )
3029raleqdv 2854 . . 3  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  ( A. x  e.  Y  -.  { x }  e.  K 
<-> 
A. x  e.  U. K  -.  { x }  e.  K ) )
3127, 30mpbid 202 . 2  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  A. x  e.  U. K  -.  {
x }  e.  K
)
32 eqid 2388 . . 3  |-  U. K  =  U. K
3332isperf3 17140 . 2  |-  ( K  e. Perf 
<->  ( K  e.  Top  /\ 
A. x  e.  U. K  -.  { x }  e.  K ) )
3414, 31, 33sylanbrc 646 1  |-  ( ( J  e. Perf  /\  Y  e.  J )  ->  K  e. Perf )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650    C_ wss 3264   {csn 3758   U.cuni 3958   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   ↾t crest 13576   Topctop 16882  TopOnctopon 16883  Perfcperf 17123
This theorem is referenced by:  perfdvf  19658
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-oadd 6665  df-er 6842  df-en 7047  df-fin 7050  df-fi 7352  df-rest 13578  df-topgen 13595  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-lp 17124  df-perf 17125
  Copyright terms: Public domain W3C validator