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Theorem pf1ind 19438
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1ind.cb  |-  B  =  ( Base `  R
)
pf1ind.cp  |-  .+  =  ( +g  `  R )
pf1ind.ct  |-  .x.  =  ( .r `  R )
pf1ind.cq  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
pf1ind.ad  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  ze )
pf1ind.mu  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  si )
pf1ind.wa  |-  ( x  =  ( B  X.  { f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
pf1ind.wb  |-  ( x  =  (  _I  |`  B )  ->  ( ps  <->  th )
)
pf1ind.wc  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
pf1ind.wd  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
pf1ind.we  |-  ( x  =  ( f  o F  .+  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
pf1ind.wf  |-  ( x  =  ( f  o F  .x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
pf1ind.wg  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
pf1ind.co  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ch )
pf1ind.pr  |-  ( ph  ->  th )
pf1ind.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Q )
Assertion
Ref Expression
pf1ind  |-  ( ph  ->  rh )
Distinct variable groups:    f, g, x,  .+    B, f, g, x    et, f, x    ph, f,
g    x, A    ch, x    ps, f, g    Q, f, g    rh, x    si, x    ta, x    th, x    .x. , f, g, x    ze, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)    ch( f, g)    th( f,
g)    ta( f, g)    et( g)    ze( f, g)    si( f,
g)    rh( f, g)    A( f, g)    Q( x)    R( x, f, g)

Proof of Theorem pf1ind
Dummy variables  a 
b  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coass 5191 . . . . 5  |-  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  ( A  o.  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
2 df1o2 6491 . . . . . . . . 9  |-  1o  =  { (/) }
3 pf1ind.cb . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  e.  _V
53, 4eqeltri 2353 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
6 0ex 4150 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
7 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  =  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) )
82, 5, 6, 7mapsncnv 6814 . . . . . . . 8  |-  `' ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  =  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) )
98coeq2i 4844 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  `' ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )  =  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )
102, 5, 6, 7mapsnf1o2 6815 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) : ( B  ^m  1o )
-1-1-onto-> B
11 f1ococnv2 5500 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) : ( B  ^m  1o ) -1-1-onto-> B  ->  ( (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  `' ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
1210, 11mp1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  `' ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
139, 12syl5eqr 2329 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
1413coeq2d 4846 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  o.  (
( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  =  ( A  o.  (  _I  |`  B ) ) )
151, 14syl5eq 2327 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  =  ( A  o.  (  _I  |`  B ) ) )
16 pf1ind.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Q )
17 pf1ind.cq . . . . . 6  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
1817, 3pf1f 19433 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q  ->  A : B --> B )
19 fcoi1 5415 . . . . 5  |-  ( A : B --> B  -> 
( A  o.  (  _I  |`  B ) )  =  A )
2016, 18, 193syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  o.  (  _I  |`  B ) )  =  A )
2115, 20eqtrd 2315 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  =  A )
22 pf1ind.cp . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
23 pf1ind.ct . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
24 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( 1o eval  R )  =  ( 1o eval  R )
2524, 3evlval 19408 . . . . 5  |-  ( 1o eval  R )  =  ( ( 1o evalSub  R ) `  B )
2625rneqi 4905 . . . 4  |-  ran  ( 1o eval  R )  =  ran  ( ( 1o evalSub  R ) `
 B )
27 an4 797 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ( b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )  <-> 
( ( a  e. 
ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) )  /\  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps }  /\  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
28 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  ( 1o eval  R )  =  ran  ( 1o eval  R )
2917, 3, 28mpfpf1 19434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  ->  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e.  Q )
3017, 3, 28mpfpf1 19434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ran  ( 1o eval  R )  ->  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e.  Q )
31 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
32 pf1ind.wc . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
3331, 32elab 2914 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  { x  |  ps }  <->  ta )
34 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( f  e.  { x  |  ps } 
<->  ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
3533, 34syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( ta  <->  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
3635anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( ( ta  /\  et )  <->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps }  /\  et ) ) )
3736anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ta  /\  et )  /\  ph )  <->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et )  /\  ph ) ) )
38 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  o F  .+  g
)  e.  _V
39 pf1ind.we . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f  o F  .+  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
4038, 39elab 2914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  o F  .+  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ze )
41 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( f  o F  .+  g )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F 
.+  g ) )
4241eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
f  o F  .+  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .+  g
)  e.  { x  |  ps } ) )
4340, 42syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( ze  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .+  g
)  e.  { x  |  ps } ) )
4437, 43imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( ta  /\  et )  /\  ph )  ->  ze )  <->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  -> 
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  o F  .+  g )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
45 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  g  e. 
_V
46 pf1ind.wd . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
4745, 46elab 2914 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  { x  |  ps }  <->  et )
48 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( g  e.  { x  |  ps } 
<->  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
4947, 48syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( et  <->  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
5049anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et ) 
<->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) ) )
5150anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  <->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  ph ) ) )
52 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .+  g )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F 
.+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) ) )
5352eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .+  g
)  e.  { x  |  ps }  <->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
5451, 53imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  ->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F 
.+  g )  e. 
{ x  |  ps } )  <->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F 
.+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
55 pf1ind.ad . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  ze )
5655expcom 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) )  ->  ( ph  ->  ze ) )
5756an4s 799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  Q  /\  g  e.  Q
)  /\  ( ta  /\  et ) )  -> 
( ph  ->  ze )
)
5857expimpd 586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  Q  /\  g  e.  Q )  ->  ( ( ( ta 
/\  et )  /\  ph )  ->  ze )
)
5944, 54, 58vtocl2ga 2851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  Q  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e.  Q )  ->  (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
6029, 30, 59syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  ->  (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
6160exp3acom23 1362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  ->  ( ph  ->  ( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps }  /\  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  -> 
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  o F  .+  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
6261impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  ->  (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .+  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
6326, 3mpff 19425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  ->  a : ( B  ^m  1o ) --> B )
6463ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  a : ( B  ^m  1o ) --> B )
65 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a : ( B  ^m  1o ) --> B  ->  a  Fn  ( B  ^m  1o ) )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  a  Fn  ( B  ^m  1o ) )
6726, 3mpff 19425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ran  ( 1o eval  R )  ->  b : ( B  ^m  1o ) --> B )
6867ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  b : ( B  ^m  1o ) --> B )
69 ffn 5389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b : ( B  ^m  1o ) --> B  ->  b  Fn  ( B  ^m  1o ) )
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  b  Fn  ( B  ^m  1o ) )
71 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) )  =  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) )
722, 5, 6, 71mapsnf1o3 6816 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )
73 f1of 5472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )  ->  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
7472, 73mp1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
75 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  ^m  1o )  e. 
_V
7675a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  ( B  ^m  1o )  e. 
_V )
775a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  B  e.  _V )
78 inidm 3378 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  ^m  1o )  i^i  ( B  ^m  1o ) )  =  ( B  ^m  1o )
7966, 70, 74, 76, 76, 77, 78ofco 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( a  o F 
.+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) ) )
8079eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o F  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .+  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
8162, 80sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  ->  (
( a  o F 
.+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
8281expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  /\  (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )  -> 
( ( a  o F  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
8327, 82syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  (
b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )  -> 
( ( a  o F  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
8483imp 418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  (
b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( a  o F  .+  b
)  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )
85 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  o F  .x.  g
)  e.  _V
86 pf1ind.wf . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f  o F  .x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
8785, 86elab 2914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  o F  .x.  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  si )
88 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( f  o F  .x.  g )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F 
.x.  g ) )
8988eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
f  o F  .x.  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .x.  g
)  e.  { x  |  ps } ) )
9087, 89syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( si  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .x.  g
)  e.  { x  |  ps } ) )
9137, 90imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( ta  /\  et )  /\  ph )  ->  si )  <->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  -> 
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  o F  .x.  g )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
92 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .x.  g )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F 
.x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) ) )
9392eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .x.  g
)  e.  { x  |  ps }  <->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
9451, 93imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  ->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F 
.x.  g )  e. 
{ x  |  ps } )  <->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F 
.x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
95 pf1ind.mu . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  si )
9695expcom 424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) )  ->  ( ph  ->  si ) )
9796an4s 799 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  Q  /\  g  e.  Q
)  /\  ( ta  /\  et ) )  -> 
( ph  ->  si )
)
9897expimpd 586 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  Q  /\  g  e.  Q )  ->  ( ( ( ta 
/\  et )  /\  ph )  ->  si )
)
9991, 94, 98vtocl2ga 2851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  Q  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e.  Q )  ->  (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
10029, 30, 99syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  ->  (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
101100exp3acom23 1362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  ->  ( ph  ->  ( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps }  /\  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  -> 
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  o F  .x.  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
102101impcom 419 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  ->  (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .x.  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
10366, 70, 74, 76, 76, 77, 78ofco 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( a  o F 
.x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) ) )
104103eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o F  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .x.  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
105102, 104sylibrd 225 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  ->  (
( a  o F 
.x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
106105expimpd 586 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  /\  (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )  -> 
( ( a  o F  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
10727, 106syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  (
b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )  -> 
( ( a  o F  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
108107imp 418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  (
b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( a  o F  .x.  b
)  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )
109 coeq1 4841 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ( B  ^m  1o )  X. 
{ a } )  ->  ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )
110109eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( B  ^m  1o )  X. 
{ a } )  ->  ( ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
111 coeq1 4841 . . . . 5  |-  ( y  =  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  -> 
( y  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
112111eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( y  =  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  -> 
( ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  <->  ( (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
113 coeq1 4841 . . . . 5  |-  ( y  =  a  ->  (
y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  =  ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
114113eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( y  =  a  ->  (
( y  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  <->  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
115 coeq1 4841 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  (
y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  =  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
116115eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( y  =  b  ->  (
( y  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  <->  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
117 coeq1 4841 . . . . 5  |-  ( y  =  ( a  o F  .+  b )  ->  ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( a  o F  .+  b )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
118117eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( y  =  ( a  o F  .+  b )  ->  ( ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o F 
.+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
119 coeq1 4841 . . . . 5  |-  ( y  =  ( a  o F  .x.  b )  ->  ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( a  o F  .x.  b )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
120119eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( y  =  ( a  o F  .x.  b )  ->  ( ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o F 
.x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
121 coeq1 4841 . . . . 5  |-  ( y  =  ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  ->  ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
122121eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( y  =  ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  ->  ( (
y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } 
<->  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
12317pf1rcl 19432 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Q  ->  R  e.  CRing )
12416, 123syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
125124adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  R  e.  CRing )
126 1on 6486 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  On
127 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
128127mplassa 16198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  R  e.  CRing )  -> 
( 1o mPoly  R )  e. AssAlg )
129126, 124, 128sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1o mPoly  R )  e. AssAlg )
130 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Poly1 `  R
)  =  (Poly1 `  R
)
131 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (algSc `  (Poly1 `  R ) )  =  (algSc `  (Poly1 `  R
) )
132130, 131ply1ascl 16335 . . . . . . . . . . . 12  |-  (algSc `  (Poly1 `  R ) )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) )
133 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) )  =  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) )
134132, 133asclrhm 16081 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o mPoly  R )  e. AssAlg  ->  (algSc `  (Poly1 `  R
) )  e.  ( (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) RingHom  ( 1o mPoly  R ) ) )
135129, 134syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (algSc `  (Poly1 `  R
) )  e.  ( (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) RingHom  ( 1o mPoly  R ) ) )
136126a1i 10 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
137127, 136, 124mplsca 16189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) )
138137oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R RingHom  ( 1o mPoly  R ) )  =  ( (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) RingHom  ( 1o mPoly  R ) ) )
139135, 138eleqtrrd 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (algSc `  (Poly1 `  R
) )  e.  ( R RingHom  ( 1o mPoly  R
) ) )
140 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)
1413, 140rhmf 15504 . . . . . . . . 9  |-  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) )  e.  ( R RingHom  ( 1o mPoly  R ) )  -> 
(algSc `  (Poly1 `  R
) ) : B --> ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
142139, 141syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (algSc `  (Poly1 `  R
) ) : B --> ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
143 ffvelrn 5663 . . . . . . . 8  |-  ( ( (algSc `  (Poly1 `  R
) ) : B --> ( Base `  ( 1o mPoly  R ) )  /\  a  e.  B )  ->  (
(algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
)  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
144142, 143sylan 457 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
(algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
)  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
145 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  (eval1 `  R
)  =  (eval1 `  R
)
146145, 24, 3, 127, 140evl1val 19411 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
(algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
)  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )  ->  (
(eval1 `
 R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) )  =  ( ( ( 1o eval  R
) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `
 a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
147125, 144, 146syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
(eval1 `
 R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) )  =  ( ( ( 1o eval  R
) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `
 a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
148145, 130, 3, 131evl1sca 19413 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  a  e.  B )  ->  (
(eval1 `
 R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) )  =  ( B  X.  { a } ) )
149124, 148sylan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
(eval1 `
 R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) )  =  ( B  X.  { a } ) )
1503ressid 13203 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Rs  B
)  =  R )
151125, 150syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( Rs  B )  =  R )
152151oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) )  =  ( 1o mPoly  R )
)
153152fveq2d 5529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) ) )
154153, 132syl6eqr 2333 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) )  =  (algSc `  (Poly1 `  R
) ) )
155154fveq1d 5527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
(algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) ) `
 a )  =  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `  a ) )
156155fveq2d 5529 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) ) `
 a ) )  =  ( ( 1o eval  R ) `  (
(algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) ) )
157 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o mPoly 
( Rs  B ) )  =  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) )
158 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  ( Rs  B )  =  ( Rs  B )
159 eqid 2283 . . . . . . . . 9  |-  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) )
160126a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  1o  e.  On )
161 crngrng 15351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1623subrgid 15547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  B  e.  (SubRing `  R )
)
163124, 161, 1623syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubRing `  R
) )
164163adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  e.  (SubRing `  R )
)
165 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  B )
16625, 157, 158, 3, 159, 160, 125, 164, 165evlssca 19406 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) ) `
 a ) )  =  ( ( B  ^m  1o )  X. 
{ a } ) )
167156, 166eqtr3d 2317 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `  a ) )  =  ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } ) )
168167coeq1d 4845 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( 1o eval  R
) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `
 a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
169147, 149, 1683eqtr3d 2323 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( B  X.  { a } )  =  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )
170 pf1ind.co . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ch )
171 snex 4216 . . . . . . . . . 10  |-  { f }  e.  _V
1725, 171xpex 4801 . . . . . . . . 9  |-  ( B  X.  { f } )  e.  _V
173 pf1ind.wa . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( B  X.  { f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
174172, 173elab 2914 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  X.  { f } )  e.  {
x  |  ps }  <->  ch )
175170, 174sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( B  X.  { f } )  e.  { x  |  ps } )
176175ralrimiva 2626 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  ( B  X.  { f } )  e.  {
x  |  ps }
)
177 sneq 3651 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  { f }  =  { a } )
178177xpeq2d 4713 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  ( B  X.  { f } )  =  ( B  X.  { a } ) )
179178eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( f  =  a  ->  (
( B  X.  {
f } )  e. 
{ x  |  ps } 
<->  ( B  X.  {
a } )  e. 
{ x  |  ps } ) )
180179rspccva 2883 . . . . . 6  |-  ( ( A. f  e.  B  ( B  X.  { f } )  e.  {
x  |  ps }  /\  a  e.  B
)  ->  ( B  X.  { a } )  e.  { x  |  ps } )
181176, 180sylan 457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( B  X.  { a } )  e.  { x  |  ps } )
182169, 181eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )
183 pf1ind.pr . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  th )
184 resiexg 4997 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  _V  ->  (  _I  |`  B )  e. 
_V )
1855, 184ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  B )  e.  _V
186 pf1ind.wb . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (  _I  |`  B )  ->  ( ps  <->  th )
)
187185, 186elab 2914 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  B )  e.  { x  |  ps } 
<->  th )
188183, 187sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  B )  e.  { x  |  ps } )
18913, 188eqeltrd 2357 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )
190 el1o 6498 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  1o  <->  a  =  (/) )
191 fveq2 5525 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  (/)  ->  ( b `
 a )  =  ( b `  (/) ) )
192190, 191sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  1o  ->  (
b `  a )  =  ( b `  (/) ) )
193192mpteq2dv 4107 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  1o  ->  (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  =  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )
194193coeq1d 4845 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  1o  ->  (
( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  a
) )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) )
195194eleq1d 2349 . . . . . 6  |-  ( a  e.  1o  ->  (
( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  <->  ( (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
196189, 195syl5ibrcom 213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  e.  1o  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
197196imp 418 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  1o )  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )
19817, 3, 28pf1mpf 19435 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q  ->  ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) )  e. 
ran  ( 1o eval  R
) )
19916, 198syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  o.  (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) )  e.  ran  ( 1o eval  R ) )
2003, 22, 23, 26, 84, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 182, 197, 199mpfind 19428 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )
20121, 200eqeltrrd 2358 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  { x  |  ps } )
202 pf1ind.wg . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
203202elabg 2915 . . 3  |-  ( A  e.  Q  ->  ( A  e.  { x  |  ps }  <->  rh )
)
20416, 203syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  {
x  |  ps }  <->  rh ) )
205201, 204mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  rh )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   _Vcvv 2788   (/)c0 3455   {csn 3640    e. cmpt 4077    _I cid 4304   Oncon0 4392    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   ran crn 4690    |` cres 4691    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    o Fcof 6076   1oc1o 6472    ^m cmap 6772   Basecbs 13148   ↾s cress 13149   +g cplusg 13208   .rcmulr 13209  Scalarcsca 13211   Ringcrg 15337   CRingccrg 15338   RingHom crh 15494  SubRingcsubrg 15541  AssAlgcasa 16050  algSccascl 16052   mPoly cmpl 16089   evalSub ces 16090   eval cevl 16091  Poly1cpl1 16252  eval1ce1 16254
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-assa 16053  df-asp 16054  df-ascl 16055  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100  df-evls 16101  df-evl 16102  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-ply1 16259  df-evl1 16261
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