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Theorem pf1ind 19967
Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1ind.cb  |-  B  =  ( Base `  R
)
pf1ind.cp  |-  .+  =  ( +g  `  R )
pf1ind.ct  |-  .x.  =  ( .r `  R )
pf1ind.cq  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
pf1ind.ad  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  ze )
pf1ind.mu  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  si )
pf1ind.wa  |-  ( x  =  ( B  X.  { f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
pf1ind.wb  |-  ( x  =  (  _I  |`  B )  ->  ( ps  <->  th )
)
pf1ind.wc  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
pf1ind.wd  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
pf1ind.we  |-  ( x  =  ( f  o F  .+  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
pf1ind.wf  |-  ( x  =  ( f  o F  .x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
pf1ind.wg  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
pf1ind.co  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ch )
pf1ind.pr  |-  ( ph  ->  th )
pf1ind.a  |-  ( ph  ->  A  e.  Q )
Assertion
Ref Expression
pf1ind  |-  ( ph  ->  rh )
Distinct variable groups:    f, g, x,  .+    B, f, g, x    et, f, x    ph, f,
g    x, A    ch, x    ps, f, g    Q, f, g    rh, x    si, x    ta, x    th, x    .x. , f, g, x    ze, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)    ch( f, g)    th( f,
g)    ta( f, g)    et( g)    ze( f, g)    si( f,
g)    rh( f, g)    A( f, g)    Q( x)    R( x, f, g)

Proof of Theorem pf1ind
Dummy variables  a 
b  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coass 5380 . . . . 5  |-  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  ( A  o.  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
2 df1o2 6728 . . . . . . . . 9  |-  1o  =  { (/) }
3 pf1ind.cb . . . . . . . . . 10  |-  B  =  ( Base `  R
)
4 fvex 5734 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  e.  _V
53, 4eqeltri 2505 . . . . . . . . 9  |-  B  e. 
_V
6 0ex 4331 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
7 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  =  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) )
82, 5, 6, 7mapsncnv 7052 . . . . . . . 8  |-  `' ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  =  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) )
98coeq2i 5025 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  `' ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )  =  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )
102, 5, 6, 7mapsnf1o2 7053 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) : ( B  ^m  1o )
-1-1-onto-> B
11 f1ococnv2 5694 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) : ( B  ^m  1o ) -1-1-onto-> B  ->  ( (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  `' ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
1210, 11mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  `' ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
139, 12syl5eqr 2481 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  (  _I  |`  B ) )
1413coeq2d 5027 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  o.  (
( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  =  ( A  o.  (  _I  |`  B ) ) )
151, 14syl5eq 2479 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  =  ( A  o.  (  _I  |`  B ) ) )
16 pf1ind.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  Q )
17 pf1ind.cq . . . . . 6  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
1817, 3pf1f 19962 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q  ->  A : B --> B )
19 fcoi1 5609 . . . . 5  |-  ( A : B --> B  -> 
( A  o.  (  _I  |`  B ) )  =  A )
2016, 18, 193syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  o.  (  _I  |`  B ) )  =  A )
2115, 20eqtrd 2467 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  =  A )
22 pf1ind.cp . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  R )
23 pf1ind.ct . . . 4  |-  .x.  =  ( .r `  R )
24 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( 1o eval  R )  =  ( 1o eval  R )
2524, 3evlval 19937 . . . . 5  |-  ( 1o eval  R )  =  ( ( 1o evalSub  R ) `  B )
2625rneqi 5088 . . . 4  |-  ran  ( 1o eval  R )  =  ran  ( ( 1o evalSub  R ) `
 B )
27 an4 798 . . . . . 6  |-  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ( b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )  <-> 
( ( a  e. 
ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) )  /\  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps }  /\  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
28 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  ( 1o eval  R )  =  ran  ( 1o eval  R )
2917, 3, 28mpfpf1 19963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  ->  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e.  Q )
3017, 3, 28mpfpf1 19963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  ran  ( 1o eval  R )  ->  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e.  Q )
31 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  f  e. 
_V
32 pf1ind.wc . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  f  ->  ( ps 
<->  ta ) )
3331, 32elab 3074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  { x  |  ps }  <->  ta )
34 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( f  e.  { x  |  ps } 
<->  ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
3533, 34syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( ta  <->  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
3635anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( ( ta  /\  et )  <->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps }  /\  et ) ) )
3736anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ta  /\  et )  /\  ph )  <->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et )  /\  ph ) ) )
38 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  o F  .+  g
)  e.  _V
39 pf1ind.we . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f  o F  .+  g )  ->  ( ps  <->  ze )
)
4038, 39elab 3074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  o F  .+  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ze )
41 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( f  o F  .+  g )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F 
.+  g ) )
4241eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
f  o F  .+  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .+  g
)  e.  { x  |  ps } ) )
4340, 42syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( ze  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .+  g
)  e.  { x  |  ps } ) )
4437, 43imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( ta  /\  et )  /\  ph )  ->  ze )  <->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  -> 
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  o F  .+  g )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
45 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  g  e. 
_V
46 pf1ind.wd . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  g  ->  ( ps 
<->  et ) )
4745, 46elab 3074 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  e.  { x  |  ps }  <->  et )
48 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( g  e.  { x  |  ps } 
<->  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
4947, 48syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( et  <->  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
5049anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et ) 
<->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) ) )
5150anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  <->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  ph ) ) )
52 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .+  g )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F 
.+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) ) )
5352eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .+  g
)  e.  { x  |  ps }  <->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
5451, 53imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  ->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F 
.+  g )  e. 
{ x  |  ps } )  <->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F 
.+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
55 pf1ind.ad . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  ze )
5655expcom 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) )  ->  ( ph  ->  ze ) )
5756an4s 800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  Q  /\  g  e.  Q
)  /\  ( ta  /\  et ) )  -> 
( ph  ->  ze )
)
5857expimpd 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  Q  /\  g  e.  Q )  ->  ( ( ( ta 
/\  et )  /\  ph )  ->  ze )
)
5944, 54, 58vtocl2ga 3011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  Q  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e.  Q )  ->  (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
6029, 30, 59syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  ->  (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
6160exp3acom23 1381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  ->  ( ph  ->  ( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps }  /\  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  -> 
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  o F  .+  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
6261impcom 420 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  ->  (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .+  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
6326, 3mpff 19954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  ->  a : ( B  ^m  1o ) --> B )
6463ad2antrl 709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  a : ( B  ^m  1o ) --> B )
65 ffn 5583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a : ( B  ^m  1o ) --> B  ->  a  Fn  ( B  ^m  1o ) )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  a  Fn  ( B  ^m  1o ) )
6726, 3mpff 19954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ran  ( 1o eval  R )  ->  b : ( B  ^m  1o ) --> B )
6867ad2antll 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  b : ( B  ^m  1o ) --> B )
69 ffn 5583 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b : ( B  ^m  1o ) --> B  ->  b  Fn  ( B  ^m  1o ) )
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  b  Fn  ( B  ^m  1o ) )
71 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) )  =  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) )
722, 5, 6, 71mapsnf1o3 7054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )
73 f1of 5666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) : B -1-1-onto-> ( B  ^m  1o )  ->  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
7472, 73mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) : B --> ( B  ^m  1o ) )
75 ovex 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  ^m  1o )  e. 
_V
7675a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  ( B  ^m  1o )  e. 
_V )
775a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  B  e.  _V )
78 inidm 3542 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  ^m  1o )  i^i  ( B  ^m  1o ) )  =  ( B  ^m  1o )
7966, 70, 74, 76, 76, 77, 78ofco 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( a  o F 
.+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .+  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) ) )
8079eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o F  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .+  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
8162, 80sylibrd 226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  ->  (
( a  o F 
.+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
8281expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  /\  (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )  -> 
( ( a  o F  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
8327, 82syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  (
b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )  -> 
( ( a  o F  .+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
8483imp 419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  (
b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( a  o F  .+  b
)  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )
85 ovex 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  o F  .x.  g
)  e.  _V
86 pf1ind.wf . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  ( f  o F  .x.  g )  ->  ( ps  <->  si )
)
8785, 86elab 3074 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  o F  .x.  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  si )
88 oveq1 6080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( f  o F  .x.  g )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F 
.x.  g ) )
8988eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
f  o F  .x.  g )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .x.  g
)  e.  { x  |  ps } ) )
9087, 89syl5bbr 251 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( si  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .x.  g
)  e.  { x  |  ps } ) )
9137, 90imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( ta  /\  et )  /\  ph )  ->  si )  <->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  -> 
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  o F  .x.  g )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
92 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .x.  g )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F 
.x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) ) )
9392eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .x.  g
)  e.  { x  |  ps }  <->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
9451, 93imbi12d 312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g  =  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  ->  ( (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  et )  /\  ph )  ->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F 
.x.  g )  e. 
{ x  |  ps } )  <->  ( (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F 
.x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) ) )
95 pf1ind.mu . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) ) )  ->  si )
9695expcom 425 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( f  e.  Q  /\  ta )  /\  (
g  e.  Q  /\  et ) )  ->  ( ph  ->  si ) )
9796an4s 800 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f  e.  Q  /\  g  e.  Q
)  /\  ( ta  /\  et ) )  -> 
( ph  ->  si )
)
9897expimpd 587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  Q  /\  g  e.  Q )  ->  ( ( ( ta 
/\  et )  /\  ph )  ->  si )
)
9991, 94, 98vtocl2ga 3011 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  Q  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e.  Q )  ->  (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
10029, 30, 99syl2an 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  ->  (
( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  /\  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  /\  ph )  ->  ( (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
101100exp3acom23 1381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  ->  ( ph  ->  ( ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps }  /\  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )  -> 
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  o F  .x.  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) ) )
102101impcom 420 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  ->  (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .x.  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
10366, 70, 74, 76, 76, 77, 78ofco 6316 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( a  o F 
.x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  o F  .x.  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) ) )
104103eleq1d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o F  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  o F  .x.  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
105102, 104sylibrd 226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  ran  ( 1o eval  R
)  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R ) ) )  ->  (
( ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  ->  (
( a  o F 
.x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
106105expimpd 587 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  b  e.  ran  ( 1o eval  R
) )  /\  (
( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )  -> 
( ( a  o F  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
10727, 106syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  (
b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )  -> 
( ( a  o F  .x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
108107imp 419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( (
a  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )  /\  (
b  e.  ran  ( 1o eval  R )  /\  (
b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) ) )  ->  ( ( a  o F  .x.  b
)  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )
109 coeq1 5022 . . . . 5  |-  ( y  =  ( ( B  ^m  1o )  X. 
{ a } )  ->  ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )
110109eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( y  =  ( ( B  ^m  1o )  X. 
{ a } )  ->  ( ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
111 coeq1 5022 . . . . 5  |-  ( y  =  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  -> 
( y  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
112111eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( y  =  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  -> 
( ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  <->  ( (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
113 coeq1 5022 . . . . 5  |-  ( y  =  a  ->  (
y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  =  ( a  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
114113eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( y  =  a  ->  (
( y  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  <->  ( a  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
115 coeq1 5022 . . . . 5  |-  ( y  =  b  ->  (
y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  =  ( b  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
116115eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( y  =  b  ->  (
( y  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  <->  ( b  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
117 coeq1 5022 . . . . 5  |-  ( y  =  ( a  o F  .+  b )  ->  ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( a  o F  .+  b )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
118117eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( y  =  ( a  o F  .+  b )  ->  ( ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o F 
.+  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
119 coeq1 5022 . . . . 5  |-  ( y  =  ( a  o F  .x.  b )  ->  ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( a  o F  .x.  b )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
120119eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( y  =  ( a  o F  .x.  b )  ->  ( ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }  <->  ( ( a  o F 
.x.  b )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
121 coeq1 5022 . . . . 5  |-  ( y  =  ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  ->  ( y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  =  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
122121eleq1d 2501 . . . 4  |-  ( y  =  ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  ->  ( (
y  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } 
<->  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } ) )
12317pf1rcl 19961 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Q  ->  R  e.  CRing )
12416, 123syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  R  e.  CRing )
125124adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  R  e.  CRing )
126 1on 6723 . . . . . . . . . . . 12  |-  1o  e.  On
127 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1o mPoly  R )  =  ( 1o mPoly  R )
128127mplassa 16509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1o  e.  On  /\  R  e.  CRing )  -> 
( 1o mPoly  R )  e. AssAlg )
129126, 124, 128sylancr 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 1o mPoly  R )  e. AssAlg )
130 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (Poly1 `  R
)  =  (Poly1 `  R
)
131 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (algSc `  (Poly1 `  R ) )  =  (algSc `  (Poly1 `  R
) )
132130, 131ply1ascl 16643 . . . . . . . . . . . 12  |-  (algSc `  (Poly1 `  R ) )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) )
133 eqid 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) )  =  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) )
134132, 133asclrhm 16392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o mPoly  R )  e. AssAlg  ->  (algSc `  (Poly1 `  R
) )  e.  ( (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) RingHom  ( 1o mPoly  R ) ) )
135129, 134syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (algSc `  (Poly1 `  R
) )  e.  ( (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) RingHom  ( 1o mPoly  R ) ) )
136126a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  1o  e.  On )
137127, 136, 124mplsca 16500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  =  (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) )
138137oveq1d 6088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( R RingHom  ( 1o mPoly  R ) )  =  ( (Scalar `  ( 1o mPoly  R ) ) RingHom  ( 1o mPoly  R ) ) )
139135, 138eleqtrrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (algSc `  (Poly1 `  R
) )  e.  ( R RingHom  ( 1o mPoly  R
) ) )
140 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)  =  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
)
1413, 140rhmf 15819 . . . . . . . . 9  |-  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) )  e.  ( R RingHom  ( 1o mPoly  R ) )  -> 
(algSc `  (Poly1 `  R
) ) : B --> ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
142139, 141syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (algSc `  (Poly1 `  R
) ) : B --> ( Base `  ( 1o mPoly  R ) ) )
143142ffvelrnda 5862 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
(algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
)  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )
144 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  (eval1 `  R
)  =  (eval1 `  R
)
145144, 24, 3, 127, 140evl1val 19940 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  (
(algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
)  e.  ( Base `  ( 1o mPoly  R )
) )  ->  (
(eval1 `
 R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) )  =  ( ( ( 1o eval  R
) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `
 a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
146125, 143, 145syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
(eval1 `
 R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) )  =  ( ( ( 1o eval  R
) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `
 a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
147144, 130, 3, 131evl1sca 19942 . . . . . . 7  |-  ( ( R  e.  CRing  /\  a  e.  B )  ->  (
(eval1 `
 R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) )  =  ( B  X.  { a } ) )
148124, 147sylan 458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
(eval1 `
 R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) )  =  ( B  X.  { a } ) )
1493ressid 13516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Rs  B
)  =  R )
150125, 149syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( Rs  B )  =  R )
151150oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) )  =  ( 1o mPoly  R )
)
152151fveq2d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  R ) ) )
153152, 132syl6eqr 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) )  =  (algSc `  (Poly1 `  R
) ) )
154153fveq1d 5722 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
(algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) ) `
 a )  =  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `  a ) )
155154fveq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) ) `
 a ) )  =  ( ( 1o eval  R ) `  (
(algSc `  (Poly1 `  R
) ) `  a
) ) )
156 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( 1o mPoly 
( Rs  B ) )  =  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) )
157 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( Rs  B )  =  ( Rs  B )
158 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B
) ) )  =  (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) )
159126a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  1o  e.  On )
160 crngrng 15666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  CRing  ->  R  e.  Ring )
1613subrgid 15862 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R  e.  Ring  ->  B  e.  (SubRing `  R )
)
162124, 160, 1613syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubRing `  R
) )
163162adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  e.  (SubRing `  R )
)
164 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  B )
16525, 156, 157, 3, 158, 159, 125, 163, 164evlssca 19935 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( (algSc `  ( 1o mPoly  ( Rs  B ) ) ) `
 a ) )  =  ( ( B  ^m  1o )  X. 
{ a } ) )
166155, 165eqtr3d 2469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( 1o eval  R ) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `  a ) )  =  ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } ) )
167166coeq1d 5026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( 1o eval  R
) `  ( (algSc `  (Poly1 `  R ) ) `
 a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) ) )
168146, 148, 1673eqtr3d 2475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( B  X.  { a } )  =  ( ( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) ) )
169 pf1ind.co . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ch )
170 snex 4397 . . . . . . . . . 10  |-  { f }  e.  _V
1715, 170xpex 4982 . . . . . . . . 9  |-  ( B  X.  { f } )  e.  _V
172 pf1ind.wa . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( B  X.  { f } )  ->  ( ps  <->  ch )
)
173171, 172elab 3074 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  X.  { f } )  e.  {
x  |  ps }  <->  ch )
174169, 173sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  f  e.  B )  ->  ( B  X.  { f } )  e.  { x  |  ps } )
175174ralrimiva 2781 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. f  e.  B  ( B  X.  { f } )  e.  {
x  |  ps }
)
176 sneq 3817 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  a  ->  { f }  =  { a } )
177176xpeq2d 4894 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  a  ->  ( B  X.  { f } )  =  ( B  X.  { a } ) )
178177eleq1d 2501 . . . . . . 7  |-  ( f  =  a  ->  (
( B  X.  {
f } )  e. 
{ x  |  ps } 
<->  ( B  X.  {
a } )  e. 
{ x  |  ps } ) )
179178rspccva 3043 . . . . . 6  |-  ( ( A. f  e.  B  ( B  X.  { f } )  e.  {
x  |  ps }  /\  a  e.  B
)  ->  ( B  X.  { a } )  e.  { x  |  ps } )
180175, 179sylan 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( B  X.  { a } )  e.  { x  |  ps } )
181168, 180eqeltrrd 2510 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( ( B  ^m  1o )  X.  { a } )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )
182 pf1ind.pr . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  th )
183 resiexg 5180 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  _V  ->  (  _I  |`  B )  e. 
_V )
1845, 183ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  (  _I  |`  B )  e.  _V
185 pf1ind.wb . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (  _I  |`  B )  ->  ( ps  <->  th )
)
186184, 185elab 3074 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  B )  e.  { x  |  ps } 
<->  th )
187182, 186sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  B )  e.  { x  |  ps } )
18813, 187eqeltrd 2509 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  { x  |  ps } )
189 el1o 6735 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  e.  1o  <->  a  =  (/) )
190 fveq2 5720 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  (/)  ->  ( b `
 a )  =  ( b `  (/) ) )
191189, 190sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( a  e.  1o  ->  (
b `  a )  =  ( b `  (/) ) )
192191mpteq2dv 4288 . . . . . . . 8  |-  ( a  e.  1o  ->  (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  =  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) ) )
193192coeq1d 5026 . . . . . . 7  |-  ( a  e.  1o  ->  (
( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  a
) )  o.  (
w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  =  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `
 (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) ) )
194193eleq1d 2501 . . . . . 6  |-  ( a  e.  1o  ->  (
( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps }  <->  ( (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  { w } ) ) )  e.  {
x  |  ps }
) )
195188, 194syl5ibrcom 214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( a  e.  1o  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o  X.  {
w } ) ) )  e.  { x  |  ps } ) )
196195imp 419 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  1o )  ->  ( ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  a ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )
19717, 3, 28pf1mpf 19964 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q  ->  ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) )  e. 
ran  ( 1o eval  R
) )
19816, 197syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  o.  (
b  e.  ( B  ^m  1o )  |->  ( b `  (/) ) ) )  e.  ran  ( 1o eval  R ) )
1993, 22, 23, 26, 84, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 181, 196, 198mpfind 19957 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  o.  ( b  e.  ( B  ^m  1o ) 
|->  ( b `  (/) ) ) )  o.  ( w  e.  B  |->  ( 1o 
X.  { w }
) ) )  e. 
{ x  |  ps } )
20021, 199eqeltrrd 2510 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  { x  |  ps } )
201 pf1ind.wg . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  rh ) )
202201elabg 3075 . . 3  |-  ( A  e.  Q  ->  ( A  e.  { x  |  ps }  <->  rh )
)
20316, 202syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  e.  {
x  |  ps }  <->  rh ) )
204200, 203mpbid 202 1  |-  ( ph  ->  rh )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   _Vcvv 2948   (/)c0 3620   {csn 3806    e. cmpt 4258    _I cid 4485   Oncon0 4573    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   ran crn 4871    |` cres 4872    o. ccom 4874    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    o Fcof 6295   1oc1o 6709    ^m cmap 7010   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   +g cplusg 13521   .rcmulr 13522  Scalarcsca 13524   Ringcrg 15652   CRingccrg 15653   RingHom crh 15809  SubRingcsubrg 15856  AssAlgcasa 16361  algSccascl 16363   mPoly cmpl 16400   evalSub ces 16401   eval cevl 16402  Poly1cpl1 16563  eval1ce1 16565
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-pws 13665  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-rnghom 15811  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-assa 16364  df-asp 16365  df-ascl 16366  df-psr 16409  df-mvr 16410  df-mpl 16411  df-evls 16412  df-evl 16413  df-opsr 16417  df-psr1 16568  df-ply1 16570  df-evl1 16572
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