Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1ind Unicode version

Theorem pf1ind 19454
 Description: Prove a property of polynomials by "structural" induction, under a simplified model of structure which loses the sum of products structure. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1ind.cb
pf1ind.cp
pf1ind.ct
pf1ind.cq eval1
pf1ind.mu
pf1ind.wa
pf1ind.wb
pf1ind.wc
pf1ind.wd
pf1ind.we
pf1ind.wf
pf1ind.wg
pf1ind.co
pf1ind.pr
pf1ind.a
Assertion
Ref Expression
pf1ind
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,   ,,   ,,   ,   ,   ,   ,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,)   (,)   (,)   ()   (,)   (,)   (,)   (,)   ()   (,,)

Proof of Theorem pf1ind
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 coass 5207 . . . . 5
2 df1o2 6507 . . . . . . . . 9
3 pf1ind.cb . . . . . . . . . 10
4 fvex 5555 . . . . . . . . . 10
53, 4eqeltri 2366 . . . . . . . . 9
6 0ex 4166 . . . . . . . . 9
7 eqid 2296 . . . . . . . . 9
82, 5, 6, 7mapsncnv 6830 . . . . . . . 8
98coeq2i 4860 . . . . . . 7
102, 5, 6, 7mapsnf1o2 6831 . . . . . . . 8
11 f1ococnv2 5516 . . . . . . . 8
1210, 11mp1i 11 . . . . . . 7
139, 12syl5eqr 2342 . . . . . 6
1413coeq2d 4862 . . . . 5
151, 14syl5eq 2340 . . . 4
16 pf1ind.a . . . . 5
17 pf1ind.cq . . . . . 6 eval1
1817, 3pf1f 19449 . . . . 5
19 fcoi1 5431 . . . . 5
2016, 18, 193syl 18 . . . 4
2115, 20eqtrd 2328 . . 3
22 pf1ind.cp . . . 4
23 pf1ind.ct . . . 4
24 eqid 2296 . . . . . 6 eval eval
2524, 3evlval 19424 . . . . 5 eval evalSub
2625rneqi 4921 . . . 4 eval evalSub
27 an4 797 . . . . . 6 eval eval eval eval
28 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12 eval eval
2917, 3, 28mpfpf1 19450 . . . . . . . . . . 11 eval
3017, 3, 28mpfpf1 19450 . . . . . . . . . . 11 eval
31 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
32 pf1ind.wc . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3331, 32elab 2927 . . . . . . . . . . . . . . . 16
34 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3533, 34syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . 14
3736anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . 13
38 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 pf1ind.we . . . . . . . . . . . . . . 15
4038, 39elab 2927 . . . . . . . . . . . . . 14
41 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
4241eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . 14
4340, 42syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . 13
4437, 43imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12
45 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
46 pf1ind.wd . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4745, 46elab 2927 . . . . . . . . . . . . . . . 16
48 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4947, 48syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . . . 15
5049anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14
5150anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . 13
52 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14
5352eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . 13
5451, 53imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12
55 pf1ind.ad . . . . . . . . . . . . . . 15
5655expcom 424 . . . . . . . . . . . . . 14
5756an4s 799 . . . . . . . . . . . . 13
5857expimpd 586 . . . . . . . . . . . 12
5944, 54, 58vtocl2ga 2864 . . . . . . . . . . 11
6029, 30, 59syl2an 463 . . . . . . . . . 10 eval eval
6160exp3acom23 1362 . . . . . . . . 9 eval eval
6261impcom 419 . . . . . . . 8 eval eval
6326, 3mpff 19441 . . . . . . . . . . . 12 eval
6463ad2antrl 708 . . . . . . . . . . 11 eval eval
65 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11
6664, 65syl 15 . . . . . . . . . 10 eval eval
6726, 3mpff 19441 . . . . . . . . . . . 12 eval
6867ad2antll 709 . . . . . . . . . . 11 eval eval
69 ffn 5405 . . . . . . . . . . 11
7068, 69syl 15 . . . . . . . . . 10 eval eval
71 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12
722, 5, 6, 71mapsnf1o3 6832 . . . . . . . . . . 11
73 f1of 5488 . . . . . . . . . . 11
7472, 73mp1i 11 . . . . . . . . . 10 eval eval
75 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11
7675a1i 10 . . . . . . . . . 10 eval eval
775a1i 10 . . . . . . . . . 10 eval eval
78 inidm 3391 . . . . . . . . . 10
7966, 70, 74, 76, 76, 77, 78ofco 6113 . . . . . . . . 9 eval eval
8079eleq1d 2362 . . . . . . . 8 eval eval
8162, 80sylibrd 225 . . . . . . 7 eval eval
8281expimpd 586 . . . . . 6 eval eval
8327, 82syl5bi 208 . . . . 5 eval eval
8483imp 418 . . . 4 eval eval
85 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15
86 pf1ind.wf . . . . . . . . . . . . . . 15
8785, 86elab 2927 . . . . . . . . . . . . . 14
88 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
8988eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . 14
9087, 89syl5bbr 250 . . . . . . . . . . . . 13
9137, 90imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12
92 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14
9392eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . 13
9451, 93imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12
95 pf1ind.mu . . . . . . . . . . . . . . 15
9695expcom 424 . . . . . . . . . . . . . 14
9796an4s 799 . . . . . . . . . . . . 13
9897expimpd 586 . . . . . . . . . . . 12
9991, 94, 98vtocl2ga 2864 . . . . . . . . . . 11
10029, 30, 99syl2an 463 . . . . . . . . . 10 eval eval
101100exp3acom23 1362 . . . . . . . . 9 eval eval
102101impcom 419 . . . . . . . 8 eval eval
10366, 70, 74, 76, 76, 77, 78ofco 6113 . . . . . . . . 9 eval eval
104103eleq1d 2362 . . . . . . . 8 eval eval
105102, 104sylibrd 225 . . . . . . 7 eval eval
106105expimpd 586 . . . . . 6 eval eval
10727, 106syl5bi 208 . . . . 5 eval eval
108107imp 418 . . . 4 eval eval
109 coeq1 4857 . . . . 5
110109eleq1d 2362 . . . 4
111 coeq1 4857 . . . . 5
112111eleq1d 2362 . . . 4
113 coeq1 4857 . . . . 5
114113eleq1d 2362 . . . 4
115 coeq1 4857 . . . . 5
116115eleq1d 2362 . . . 4
117 coeq1 4857 . . . . 5
118117eleq1d 2362 . . . 4
119 coeq1 4857 . . . . 5
120119eleq1d 2362 . . . 4
121 coeq1 4857 . . . . 5
122121eleq1d 2362 . . . 4
12317pf1rcl 19448 . . . . . . . . 9
12416, 123syl 15 . . . . . . . 8
125124adantr 451 . . . . . . 7
126 1on 6502 . . . . . . . . . . . 12
127 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13 mPoly mPoly
128127mplassa 16214 . . . . . . . . . . . 12 mPoly AssAlg
129126, 124, 128sylancr 644 . . . . . . . . . . 11 mPoly AssAlg
130 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13 Poly1 Poly1
131 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13 algScPoly1 algScPoly1
132130, 131ply1ascl 16351 . . . . . . . . . . . 12 algScPoly1 algSc mPoly
133 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12 Scalar mPoly Scalar mPoly
134132, 133asclrhm 16097 . . . . . . . . . . 11 mPoly AssAlg algScPoly1 Scalar mPoly RingHom mPoly
135129, 134syl 15 . . . . . . . . . 10 algScPoly1 Scalar mPoly RingHom mPoly
136126a1i 10 . . . . . . . . . . . 12
137127, 136, 124mplsca 16205 . . . . . . . . . . 11 Scalar mPoly
138137oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10 RingHom mPoly Scalar mPoly RingHom mPoly
139135, 138eleqtrrd 2373 . . . . . . . . 9 algScPoly1 RingHom mPoly
140 eqid 2296 . . . . . . . . . 10 mPoly mPoly
1413, 140rhmf 15520 . . . . . . . . 9 algScPoly1 RingHom mPoly algScPoly1 mPoly
142139, 141syl 15 . . . . . . . 8 algScPoly1 mPoly
143 ffvelrn 5679 . . . . . . . 8 algScPoly1 mPoly algScPoly1 mPoly
144142, 143sylan 457 . . . . . . 7 algScPoly1 mPoly
145 eqid 2296 . . . . . . . 8 eval1 eval1
146145, 24, 3, 127, 140evl1val 19427 . . . . . . 7 algScPoly1 mPoly eval1algScPoly1 eval algScPoly1
147125, 144, 146syl2anc 642 . . . . . 6 eval1algScPoly1 eval algScPoly1
148145, 130, 3, 131evl1sca 19429 . . . . . . 7 eval1algScPoly1
149124, 148sylan 457 . . . . . 6 eval1algScPoly1
1503ressid 13219 . . . . . . . . . . . . . 14 s
151125, 150syl 15 . . . . . . . . . . . . 13 s
152151oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12 mPoly s mPoly
153152fveq2d 5545 . . . . . . . . . . 11 algSc mPoly s algSc mPoly
154153, 132syl6eqr 2346 . . . . . . . . . 10 algSc mPoly s algScPoly1
155154fveq1d 5543 . . . . . . . . 9 algSc mPoly s algScPoly1
156155fveq2d 5545 . . . . . . . 8 eval algSc mPoly s eval algScPoly1
157 eqid 2296 . . . . . . . . 9 mPoly s mPoly s
158 eqid 2296 . . . . . . . . 9 s s
159 eqid 2296 . . . . . . . . 9 algSc mPoly s algSc mPoly s
160126a1i 10 . . . . . . . . 9
161 crngrng 15367 . . . . . . . . . . 11
1623subrgid 15563 . . . . . . . . . . 11 SubRing
163124, 161, 1623syl 18 . . . . . . . . . 10 SubRing
164163adantr 451 . . . . . . . . 9 SubRing
165 simpr 447 . . . . . . . . 9
16625, 157, 158, 3, 159, 160, 125, 164, 165evlssca 19422 . . . . . . . 8 eval algSc mPoly s
167156, 166eqtr3d 2330 . . . . . . 7 eval algScPoly1
168167coeq1d 4861 . . . . . 6 eval algScPoly1
169147, 149, 1683eqtr3d 2336 . . . . 5
170 pf1ind.co . . . . . . . 8
171 snex 4232 . . . . . . . . . 10
1725, 171xpex 4817 . . . . . . . . 9
173 pf1ind.wa . . . . . . . . 9
174172, 173elab 2927 . . . . . . . 8
175170, 174sylibr 203 . . . . . . 7
176175ralrimiva 2639 . . . . . 6
177 sneq 3664 . . . . . . . . 9
178177xpeq2d 4729 . . . . . . . 8
179178eleq1d 2362 . . . . . . 7
180179rspccva 2896 . . . . . 6
181176, 180sylan 457 . . . . 5
182169, 181eqeltrrd 2371 . . . 4
183 pf1ind.pr . . . . . . . 8
184 resiexg 5013 . . . . . . . . . 10
1855, 184ax-mp 8 . . . . . . . . 9
186 pf1ind.wb . . . . . . . . 9
187185, 186elab 2927 . . . . . . . 8
188183, 187sylibr 203 . . . . . . 7
18913, 188eqeltrd 2370 . . . . . 6
190 el1o 6514 . . . . . . . . . 10
191 fveq2 5541 . . . . . . . . . 10
192190, 191sylbi 187 . . . . . . . . 9
193192mpteq2dv 4123 . . . . . . . 8
194193coeq1d 4861 . . . . . . 7
195194eleq1d 2362 . . . . . 6
196189, 195syl5ibrcom 213 . . . . 5
197196imp 418 . . . 4
19817, 3, 28pf1mpf 19451 . . . . 5 eval
19916, 198syl 15 . . . 4 eval
2003, 22, 23, 26, 84, 108, 110, 112, 114, 116, 118, 120, 122, 182, 197, 199mpfind 19444 . . 3
20121, 200eqeltrrd 2371 . 2
202 pf1ind.wg . . . 4
203202elabg 2928 . . 3
20416, 203syl 15 . 2
205201, 204mpbid 201 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696  cab 2282  wral 2556  cvv 2801  c0 3468  csn 3653   cmpt 4093   cid 4320  con0 4408   cxp 4703  ccnv 4704   crn 4706   cres 4707   ccom 4709   wfn 5266  wf 5267  wf1o 5270  cfv 5271  (class class class)co 5874   cof 6092  c1o 6488   cmap 6788  cbs 13164   ↾s cress 13165   cplusg 13224  cmulr 13225  Scalarcsca 13227  crg 15353  ccrg 15354   RingHom crh 15510  SubRingcsubrg 15557  AssAlgcasa 16066  algSccascl 16068   mPoly cmpl 16105   evalSub ces 16106   eval cevl 16107  Poly1cpl1 16268  eval1ce1 16270 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-ofr 6095  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-hash 11354  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-prds 13364  df-pws 13366  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-mhm 14431  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-ghm 14697  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-abl 15108  df-mgp 15342  df-rng 15356  df-cring 15357  df-ur 15358  df-rnghom 15512  df-subrg 15559  df-lmod 15645  df-lss 15706  df-lsp 15745  df-assa 16069  df-asp 16070  df-ascl 16071  df-psr 16114  df-mvr 16115  df-mpl 16116  df-evls 16117  df-evl 16118  df-opsr 16122  df-psr1 16273  df-ply1 16275  df-evl1 16277
 Copyright terms: Public domain W3C validator