Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1mpf Unicode version

Theorem pf1mpf 19435
 Description: Convert a univariate polynomial function to multivariate. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1rcl.q eval1
pf1f.b
mpfpf1.q eval
Assertion
Ref Expression
pf1mpf
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem pf1mpf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pf1rcl.q . . 3 eval1
21pf1rcl 19432 . 2
3 id 19 . . . 4
43, 1syl6eleq 2373 . . 3 eval1
5 eqid 2283 . . . . . . . 8 eval1 eval1
6 eqid 2283 . . . . . . . 8 Poly1 Poly1
7 eqid 2283 . . . . . . . 8 s s
8 pf1f.b . . . . . . . 8
95, 6, 7, 8evl1rhm 19412 . . . . . . 7 eval1 Poly1 RingHom s
102, 9syl 15 . . . . . 6 eval1 Poly1 RingHom s
11 eqid 2283 . . . . . . 7 Poly1 Poly1
12 eqid 2283 . . . . . . 7 s s
1311, 12rhmf 15504 . . . . . 6 eval1 Poly1 RingHom s eval1Poly1 s
1410, 13syl 15 . . . . 5 eval1Poly1 s
15 ffn 5389 . . . . 5 eval1Poly1 s eval1 Poly1
1614, 15syl 15 . . . 4 eval1 Poly1
17 fvelrnb 5570 . . . 4 eval1 Poly1 eval1 Poly1eval1
1816, 17syl 15 . . 3 eval1 Poly1eval1
194, 18mpbid 201 . 2 Poly1eval1
20 eqid 2283 . . . . . . . 8 eval eval
21 eqid 2283 . . . . . . . 8 mPoly mPoly
22 eqid 2283 . . . . . . . . 9 PwSer1 PwSer1
236, 22, 11ply1bas 16274 . . . . . . . 8 Poly1 mPoly
245, 20, 8, 21, 23evl1val 19411 . . . . . . 7 Poly1 eval1 eval
2524coeq1d 4845 . . . . . 6 Poly1 eval1 eval
26 coass 5191 . . . . . . 7 eval eval
27 df1o2 6491 . . . . . . . . . . 11
28 fvex 5539 . . . . . . . . . . . 12
298, 28eqeltri 2353 . . . . . . . . . . 11
30 0ex 4150 . . . . . . . . . . 11
31 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11
3227, 29, 30, 31mapsncnv 6814 . . . . . . . . . 10
3332coeq1i 4843 . . . . . . . . 9
3427, 29, 30, 31mapsnf1o2 6815 . . . . . . . . . 10
35 f1ococnv1 5502 . . . . . . . . . 10
3634, 35mp1i 11 . . . . . . . . 9 Poly1
3733, 36syl5eqr 2329 . . . . . . . 8 Poly1
3837coeq2d 4846 . . . . . . 7 Poly1 eval eval
3926, 38syl5eq 2327 . . . . . 6 Poly1 eval eval
40 eqid 2283 . . . . . . . 8 s s
41 eqid 2283 . . . . . . . 8 s s
42 simpl 443 . . . . . . . 8 Poly1
43 ovex 5883 . . . . . . . . 9
4443a1i 10 . . . . . . . 8 Poly1
45 1on 6486 . . . . . . . . . . 11
4620, 8, 21, 40evlrhm 19409 . . . . . . . . . . 11 eval mPoly RingHom s
4745, 46mpan 651 . . . . . . . . . 10 eval mPoly RingHom s
4823, 41rhmf 15504 . . . . . . . . . 10 eval mPoly RingHom s eval Poly1 s
4947, 48syl 15 . . . . . . . . 9 eval Poly1 s
50 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9 eval Poly1 s Poly1 eval s
5149, 50sylan 457 . . . . . . . 8 Poly1 eval s
5240, 8, 41, 42, 44, 51pwselbas 13388 . . . . . . 7 Poly1 eval
53 fcoi1 5415 . . . . . . 7 eval eval eval
5452, 53syl 15 . . . . . 6 Poly1 eval eval
5525, 39, 543eqtrd 2319 . . . . 5 Poly1 eval1 eval
56 ffn 5389 . . . . . . . 8 eval Poly1 s eval Poly1
5749, 56syl 15 . . . . . . 7 eval Poly1
58 fnfvelrn 5662 . . . . . . 7 eval Poly1 Poly1 eval eval
5957, 58sylan 457 . . . . . 6 Poly1 eval eval
60 mpfpf1.q . . . . . 6 eval
6159, 60syl6eleqr 2374 . . . . 5 Poly1 eval
6255, 61eqeltrd 2357 . . . 4 Poly1 eval1
63 coeq1 4841 . . . . 5 eval1 eval1
6463eleq1d 2349 . . . 4 eval1 eval1
6562, 64syl5ibcom 211 . . 3 Poly1 eval1
6665rexlimdva 2667 . 2 Poly1eval1
672, 19, 66sylc 56 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1623   wcel 1684  wrex 2544  cvv 2788  c0 3455  csn 3640   cmpt 4077   cid 4304  con0 4392   cxp 4687  ccnv 4688   crn 4690   cres 4691   ccom 4693   wfn 5250  wf 5251  wf1o 5254  cfv 5255  (class class class)co 5858  c1o 6472   cmap 6772  cbs 13148   s cpws 13347  ccrg 15338   RingHom crh 15494   mPoly cmpl 16089   eval cevl 16091  PwSer1cps1 16250  Poly1cpl1 16252  eval1ce1 16254 This theorem is referenced by:  pf1ind  19438 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-hash 11338  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-rnghom 15496  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-assa 16053  df-asp 16054  df-ascl 16055  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100  df-evls 16101  df-evl 16102  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-ply1 16259  df-evl1 16261
 Copyright terms: Public domain W3C validator