Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1mpf Structured version   Unicode version

Theorem pf1mpf 19964
 Description: Convert a univariate polynomial function to multivariate. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1rcl.q eval1
pf1f.b
mpfpf1.q eval
Assertion
Ref Expression
pf1mpf
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem pf1mpf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pf1rcl.q . . 3 eval1
21pf1rcl 19961 . 2
3 id 20 . . . 4
43, 1syl6eleq 2525 . . 3 eval1
5 eqid 2435 . . . . . . . 8 eval1 eval1
6 eqid 2435 . . . . . . . 8 Poly1 Poly1
7 eqid 2435 . . . . . . . 8 s s
8 pf1f.b . . . . . . . 8
95, 6, 7, 8evl1rhm 19941 . . . . . . 7 eval1 Poly1 RingHom s
102, 9syl 16 . . . . . 6 eval1 Poly1 RingHom s
11 eqid 2435 . . . . . . 7 Poly1 Poly1
12 eqid 2435 . . . . . . 7 s s
1311, 12rhmf 15819 . . . . . 6 eval1 Poly1 RingHom s eval1Poly1 s
1410, 13syl 16 . . . . 5 eval1Poly1 s
15 ffn 5583 . . . . 5 eval1Poly1 s eval1 Poly1
1614, 15syl 16 . . . 4 eval1 Poly1
17 fvelrnb 5766 . . . 4 eval1 Poly1 eval1 Poly1eval1
1816, 17syl 16 . . 3 eval1 Poly1eval1
194, 18mpbid 202 . 2 Poly1eval1
20 eqid 2435 . . . . . . . 8 eval eval
21 eqid 2435 . . . . . . . 8 mPoly mPoly
22 eqid 2435 . . . . . . . . 9 PwSer1 PwSer1
236, 22, 11ply1bas 16585 . . . . . . . 8 Poly1 mPoly
245, 20, 8, 21, 23evl1val 19940 . . . . . . 7 Poly1 eval1 eval
2524coeq1d 5026 . . . . . 6 Poly1 eval1 eval
26 coass 5380 . . . . . . 7 eval eval
27 df1o2 6728 . . . . . . . . . . 11
28 fvex 5734 . . . . . . . . . . . 12
298, 28eqeltri 2505 . . . . . . . . . . 11
30 0ex 4331 . . . . . . . . . . 11
31 eqid 2435 . . . . . . . . . . 11
3227, 29, 30, 31mapsncnv 7052 . . . . . . . . . 10
3332coeq1i 5024 . . . . . . . . 9
3427, 29, 30, 31mapsnf1o2 7053 . . . . . . . . . 10
35 f1ococnv1 5696 . . . . . . . . . 10
3634, 35mp1i 12 . . . . . . . . 9 Poly1
3733, 36syl5eqr 2481 . . . . . . . 8 Poly1
3837coeq2d 5027 . . . . . . 7 Poly1 eval eval
3926, 38syl5eq 2479 . . . . . 6 Poly1 eval eval
40 eqid 2435 . . . . . . . 8 s s
41 eqid 2435 . . . . . . . 8 s s
42 simpl 444 . . . . . . . 8 Poly1
43 ovex 6098 . . . . . . . . 9
4443a1i 11 . . . . . . . 8 Poly1
45 1on 6723 . . . . . . . . . . 11
4620, 8, 21, 40evlrhm 19938 . . . . . . . . . . 11 eval mPoly RingHom s
4745, 46mpan 652 . . . . . . . . . 10 eval mPoly RingHom s
4823, 41rhmf 15819 . . . . . . . . . 10 eval mPoly RingHom s eval Poly1 s
4947, 48syl 16 . . . . . . . . 9 eval Poly1 s
5049ffvelrnda 5862 . . . . . . . 8 Poly1 eval s
5140, 8, 41, 42, 44, 50pwselbas 13703 . . . . . . 7 Poly1 eval
52 fcoi1 5609 . . . . . . 7 eval eval eval
5351, 52syl 16 . . . . . 6 Poly1 eval eval
5425, 39, 533eqtrd 2471 . . . . 5 Poly1 eval1 eval
55 ffn 5583 . . . . . . . 8 eval Poly1 s eval Poly1
5649, 55syl 16 . . . . . . 7 eval Poly1
57 fnfvelrn 5859 . . . . . . 7 eval Poly1 Poly1 eval eval
5856, 57sylan 458 . . . . . 6 Poly1 eval eval
59 mpfpf1.q . . . . . 6 eval
6058, 59syl6eleqr 2526 . . . . 5 Poly1 eval
6154, 60eqeltrd 2509 . . . 4 Poly1 eval1
62 coeq1 5022 . . . . 5 eval1 eval1
6362eleq1d 2501 . . . 4 eval1 eval1
6461, 63syl5ibcom 212 . . 3 Poly1 eval1
6564rexlimdva 2822 . 2 Poly1eval1
662, 19, 65sylc 58 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1652   wcel 1725  wrex 2698  cvv 2948  c0 3620  csn 3806   cmpt 4258   cid 4485  con0 4573   cxp 4868  ccnv 4869   crn 4871   cres 4872   ccom 4874   wfn 5441  wf 5442  wf1o 5445  cfv 5446  (class class class)co 6073  c1o 6709   cmap 7010  cbs 13461   s cpws 13662  ccrg 15653   RingHom crh 15809   mPoly cmpl 16400   eval cevl 16402  PwSer1cps1 16561  Poly1cpl1 16563  eval1ce1 16565 This theorem is referenced by:  pf1ind  19967 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-ofr 6298  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-seq 11316  df-hash 11611  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-hom 13545  df-cco 13546  df-prds 13663  df-pws 13665  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-mhm 14730  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-ghm 14996  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-abl 15407  df-mgp 15641  df-rng 15655  df-cring 15656  df-ur 15657  df-rnghom 15811  df-subrg 15858  df-lmod 15944  df-lss 16001  df-lsp 16040  df-assa 16364  df-asp 16365  df-ascl 16366  df-psr 16409  df-mvr 16410  df-mpl 16411  df-evls 16412  df-evl 16413  df-opsr 16417  df-psr1 16568  df-ply1 16570  df-evl1 16572
 Copyright terms: Public domain W3C validator