MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pf1subrg Unicode version

Theorem pf1subrg 19828
Description: Polynomial functions are a subring. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 6-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pf1const.b  |-  B  =  ( Base `  R
)
pf1const.q  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
Assertion
Ref Expression
pf1subrg  |-  ( R  e.  CRing  ->  Q  e.  (SubRing `  ( R  ^s  B
) ) )

Proof of Theorem pf1subrg
StepHypRef Expression
1 eqid 2380 . . . . . 6  |-  (eval1 `  R
)  =  (eval1 `  R
)
2 eqid 2380 . . . . . 6  |-  (Poly1 `  R
)  =  (Poly1 `  R
)
3 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( R  ^s  B )  =  ( R  ^s  B )
4 pf1const.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
51, 2, 3, 4evl1rhm 19809 . . . . 5  |-  ( R  e.  CRing  ->  (eval1 `  R
)  e.  ( (Poly1 `  R ) RingHom  ( R  ^s  B ) ) )
6 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  =  ( Base `  (Poly1 `  R ) )
7 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( Base `  ( R  ^s  B ) )  =  ( Base `  ( R  ^s  B ) )
86, 7rhmf 15747 . . . . 5  |-  ( (eval1 `  R )  e.  ( (Poly1 `  R ) RingHom  ( R  ^s  B ) )  -> 
(eval1 `
 R ) : ( Base `  (Poly1 `  R ) ) --> (
Base `  ( R  ^s  B ) ) )
95, 8syl 16 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  (eval1 `  R
) : ( Base `  (Poly1 `  R ) ) --> ( Base `  ( R  ^s  B ) ) )
10 ffn 5524 . . . 4  |-  ( (eval1 `  R ) : (
Base `  (Poly1 `  R
) ) --> ( Base `  ( R  ^s  B ) )  ->  (eval1 `  R
)  Fn  ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )
11 fnima 5496 . . . 4  |-  ( (eval1 `  R )  Fn  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  ->  ( (eval1 `  R
) " ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  =  ran  (eval1 `  R ) )
129, 10, 113syl 19 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (eval1 `  R ) " ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  =  ran  (eval1 `  R ) )
13 pf1const.q . . 3  |-  Q  =  ran  (eval1 `  R )
1412, 13syl6eqr 2430 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (eval1 `  R ) " ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  =  Q )
152ply1assa 16517 . . . 4  |-  ( R  e.  CRing  ->  (Poly1 `  R
)  e. AssAlg )
16 assarng 16300 . . . 4  |-  ( (Poly1 `  R )  e. AssAlg  ->  (Poly1 `  R )  e.  Ring )
176subrgid 15790 . . . 4  |-  ( (Poly1 `  R )  e.  Ring  -> 
( Base `  (Poly1 `  R
) )  e.  (SubRing `  (Poly1 `  R ) ) )
1815, 16, 173syl 19 . . 3  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( Base `  (Poly1 `  R ) )  e.  (SubRing `  (Poly1 `  R ) ) )
19 rhmima 15819 . . 3  |-  ( ( (eval1 `  R )  e.  ( (Poly1 `  R ) RingHom  ( R  ^s  B ) )  /\  ( Base `  (Poly1 `  R
) )  e.  (SubRing `  (Poly1 `  R ) ) )  ->  ( (eval1 `  R ) " ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  e.  (SubRing `  ( R  ^s  B ) ) )
205, 18, 19syl2anc 643 . 2  |-  ( R  e.  CRing  ->  ( (eval1 `  R ) " ( Base `  (Poly1 `  R ) ) )  e.  (SubRing `  ( R  ^s  B ) ) )
2114, 20eqeltrrd 2455 1  |-  ( R  e.  CRing  ->  Q  e.  (SubRing `  ( R  ^s  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717   ran crn 4812   "cima 4814    Fn wfn 5382   -->wf 5383   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Basecbs 13389    ^s cpws 13590   Ringcrg 15580   CRingccrg 15581   RingHom crh 15737  SubRingcsubrg 15784  AssAlgcasa 16289  Poly1cpl1 16491  eval1ce1 16493
This theorem is referenced by:  pf1f  19830  pf1addcl  19833  pf1mulcl  19834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-inf2 7522  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-se 4476  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-isom 5396  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-of 6237  df-ofr 6238  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-2o 6654  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-pm 6950  df-ixp 6993  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-sup 7374  df-oi 7405  df-card 7752  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-7 9988  df-8 9989  df-9 9990  df-10 9991  df-n0 10147  df-z 10208  df-dec 10308  df-uz 10414  df-fz 10969  df-fzo 11059  df-seq 11244  df-hash 11539  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-tset 13468  df-ple 13469  df-ds 13471  df-hom 13473  df-cco 13474  df-prds 13591  df-pws 13593  df-0g 13647  df-gsum 13648  df-mre 13731  df-mrc 13732  df-acs 13734  df-mnd 14610  df-mhm 14658  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-mulg 14735  df-subg 14861  df-ghm 14924  df-cntz 15036  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-cring 15584  df-ur 15585  df-rnghom 15739  df-subrg 15786  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-lsp 15968  df-assa 16292  df-asp 16293  df-ascl 16294  df-psr 16337  df-mvr 16338  df-mpl 16339  df-evls 16340  df-evl 16341  df-opsr 16345  df-psr1 16496  df-ply1 16498  df-evl1 16500
  Copyright terms: Public domain W3C validator