Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pfsubkl Unicode version

Theorem pfsubkl 26047
Description: Propositional formulas are a subset of the Kleene star of 
NN. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pfsubkl  |-  Prop  C_  ( Kleene `
 NN )

Proof of Theorem pfsubkl
Dummy variables  f 
a  j  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-prop 26042 . 2  |-  Prop  =  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )
2 fvex 5539 . . . 4  |-  ( Kleene `  NN )  e.  _V
3 smbkle 26043 . . . 4  |-  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )
4 fnckle 26045 . . . 4  |-  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )
5 indcls2 25996 . . . 4  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  e.  _V  /\  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  ( (
( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  = 
|^| { a  |  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
62, 3, 4, 5mp3an 1277 . . 3  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  = 
|^| { a  |  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }
7 sseq2 3200 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Kleene `  NN )  ->  ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  <->  ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN ) ) )
8 xpeq2 4704 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( Kleene `  NN )  ->  ( _V  X.  a )  =  ( _V  X.  ( Kleene `  NN ) ) )
98pweqd 3630 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( Kleene `  NN )  ->  ~P ( _V 
X.  a )  =  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) )
109ineq2d 3370 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( Kleene `  NN )  ->  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a ) )  =  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) )
11 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  ( Kleene `  NN )  ->  ( ( f `
 j )  e.  a  <->  ( f `  j )  e.  (
Kleene `  NN ) ) )
1210, 11raleqbidv 2748 . . . . . . 7  |-  ( a  =  ( Kleene `  NN )  ->  ( A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a  <->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( f `
 j )  e.  ( Kleene `  NN )
) )
1312ralbidv 2563 . . . . . 6  |-  ( a  =  ( Kleene `  NN )  ->  ( A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a  <->  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( f `
 j )  e.  ( Kleene `  NN )
) )
147, 13anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( a  =  ( Kleene `  NN )  ->  ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  <->  ( (
( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( f `
 j )  e.  ( Kleene `  NN )
) ) )
15 elun 3316 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )  <->  ( f  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  f  e.  { imp c ,  bi c } ) )
16 eltpg 3676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  { not c ,  and c ,  or s }  ->  ( f  e.  { not c ,  and c ,  or s }  <->  ( f  =  not c  \/  f  =  and c  \/  f  =  or s ) ) )
17 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( dom  not c  i^i  ~P ( _V 
X.  ( Kleene `  NN ) ) )  <->  ( j  e.  dom  not c  /\  j  e.  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN ) ) ) )
18 fnckleb 26046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) ( Fun  f  /\  ran  f  C_  ( Kleene `  NN )
)
19 df-notc 26032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  not c  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 } )  |->  (  -. c  conc  ( x `  1
) ) )
20 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 } )  e. 
_V
2120mptex 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 } )  |->  (  -. c  conc  (
x `  1 )
) )  e.  _V
2219, 21eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  not c  e.  _V
2322tpid1 3739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  not c  e.  { not c ,  and c ,  or s }
2423orci 379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( not c  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  not c  e.  { imp c ,  bi c } )
25 elun 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( not c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )  <->  ( not c  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  not c  e.  { imp c ,  bi c } ) )
2624, 25mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  not c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )
27 funeq 5274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  not c  -> 
( Fun  f  <->  Fun  not c
) )
28 rneq 4904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  not c  ->  ran  f  =  ran  not c )
2928sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  not c  -> 
( ran  f  C_  ( Kleene `  NN )  <->  ran 
not c  C_  ( Kleene `
 NN ) ) )
3027, 29anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  not c  -> 
( ( Fun  f  /\  ran  f  C_  ( Kleene `
 NN ) )  <-> 
( Fun  not c  /\  ran  not c  C_  ( Kleene `
 NN ) ) ) )
3130rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) ( Fun  f  /\  ran  f  C_  ( Kleene `  NN )
)  /\  not c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  -> 
( Fun  not c  /\  ran  not c  C_  ( Kleene `
 NN ) ) )
3231simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) ( Fun  f  /\  ran  f  C_  ( Kleene `  NN )
)  /\  not c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  ->  ran  not c  C_  ( Kleene `
 NN ) )
3318, 26, 32mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  not c  C_  ( Kleene `  NN )
3419funmpt2 5291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Fun  not c
35 fvelrn 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  not c  /\  j  e.  dom  not c
)  ->  ( not c `  j )  e.  ran  not c )
3634, 35mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  dom  not c  ->  ( not c `  j )  e.  ran  not c )
3733, 36sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  dom  not c  ->  ( not c `  j )  e.  (
Kleene `  NN ) )
3837adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  dom  not c  /\  j  e.  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) )  ->  ( not c `  j )  e.  ( Kleene `  NN )
)
3917, 38sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( dom  not c  i^i  ~P ( _V 
X.  ( Kleene `  NN ) ) )  -> 
( not c `  j )  e.  (
Kleene `  NN ) )
4039rgen 2608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. j  e.  ( dom  not c  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( not c `  j )  e.  ( Kleene `  NN )
41 dmeq 4879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  not c  ->  dom  f  =  dom  not c )
4241ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  not c  -> 
( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) )  =  ( dom 
not c  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) ) )
43 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  not c  -> 
( f `  j
)  =  ( not c `  j ) )
4443eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  not c  -> 
( ( f `  j )  e.  (
Kleene `  NN )  <->  ( not c `  j )  e.  ( Kleene `  NN )
) )
4542, 44raleqbidv 2748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  not c  -> 
( A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( f `
 j )  e.  ( Kleene `  NN )  <->  A. j  e.  ( dom 
not c  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) ) ( not c `  j )  e.  (
Kleene `  NN ) ) )
4640, 45mpbiri 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  not c  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN ) ) ) ( f `  j )  e.  ( Kleene `  NN ) )
47 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V 
X.  ( Kleene `  NN ) ) )  <->  ( j  e.  dom  and c  /\  j  e.  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN ) ) ) )
48 df-andc 26034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  and c  =  ( y  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( y `  1 ) )  conc  ( y `  2 ) ) )
49 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  e.  _V
5049mptex 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( y ` 
1 ) )  conc  ( y `  2 ) ) )  e.  _V
5148, 50eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  and c  e.  _V
5251tpid2 3740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  and c  e.  { not c ,  and c ,  or s }
5352orci 379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( and c  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  and c  e.  { imp c ,  bi c } )
54 elun 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )  <->  ( and c  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  and c  e.  { imp c ,  bi c } ) )
5553, 54mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )
56 funeq 5274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  and c  -> 
( Fun  f  <->  Fun  and c
) )
57 rneq 4904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f  =  and c  ->  ran  f  =  ran  and c )
5857sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  and c  -> 
( ran  f  C_  ( Kleene `  NN )  <->  ran 
and c  C_  ( Kleene `
 NN ) ) )
5956, 58anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  and c  -> 
( ( Fun  f  /\  ran  f  C_  ( Kleene `
 NN ) )  <-> 
( Fun  and c  /\  ran  and c  C_  ( Kleene `
 NN ) ) ) )
6059rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) ( Fun  f  /\  ran  f  C_  ( Kleene `  NN )
)  /\  and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  -> 
( Fun  and c  /\  ran  and c  C_  ( Kleene `
 NN ) ) )
6160simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) ( Fun  f  /\  ran  f  C_  ( Kleene `  NN )
)  /\  and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  ->  ran  and c  C_  ( Kleene `
 NN ) )
6218, 55, 61mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  and c  C_  ( Kleene `  NN )
6348funmpt2 5291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Fun  and c
64 fvelrn 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  and c  /\  j  e.  dom  and c
)  ->  ( and c `  j )  e.  ran  and c )
6563, 64mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  dom  and c  ->  ( and c `  j )  e.  ran  and c )
6662, 65sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  dom  and c  ->  ( and c `  j )  e.  (
Kleene `  NN ) )
6766adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  dom  and c  /\  j  e.  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) )  ->  ( and c `  j )  e.  ( Kleene `  NN )
)
6847, 67sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V 
X.  ( Kleene `  NN ) ) )  -> 
( and c `  j )  e.  (
Kleene `  NN ) )
6968rgen 2608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( and c `  j )  e.  ( Kleene `  NN )
70 dmeq 4879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  and c  ->  dom  f  =  dom  and c )
7170ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  and c  -> 
( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) )  =  ( dom 
and c  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) ) )
72 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  and c  -> 
( f `  j
)  =  ( and c `  j ) )
7372eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  and c  -> 
( ( f `  j )  e.  (
Kleene `  NN )  <->  ( and c `  j )  e.  ( Kleene `  NN )
) )
7471, 73raleqbidv 2748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  and c  -> 
( A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( f `
 j )  e.  ( Kleene `  NN )  <->  A. j  e.  ( dom 
and c  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) ) ( and c `  j )  e.  (
Kleene `  NN ) ) )
7569, 74mpbiri 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  and c  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN ) ) ) ( f `  j )  e.  ( Kleene `  NN ) )
76 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  ( dom  or s  i^i  ~P ( _V 
X.  ( Kleene `  NN ) ) )  <->  ( j  e.  dom  or s  /\  j  e.  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN ) ) ) )
77 fnckleb 26046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  A. y  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) ( Fun  y  /\  ran  y  C_  ( Kleene `  NN )
)
78 df-orc 26036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  or s  =  ( y  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  \/ c  conc  ( y `  1 ) )  conc  ( y `  2 ) ) )
7949mptex 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  |->  ( (  \/ c  conc  ( y `  1 ) ) 
conc  ( y ` 
2 ) ) )  e.  _V
8078, 79eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  or s  e.  _V
8180tpid3 3742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  or s  e.  { not c ,  and c ,  or s }
8281orci 379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( or s  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  or s  e.  { imp c ,  bi c } )
83 elun 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( or s  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )  <->  ( or s  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  or s  e.  { imp c ,  bi c } ) )
8482, 83mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  or s  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )
85 funeq 5274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  or s  -> 
( Fun  y  <->  Fun  or s
) )
86 rneq 4904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  or s  ->  ran  y  =  ran  or s )
8786sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  or s  -> 
( ran  y  C_  ( Kleene `  NN )  <->  ran 
or s  C_  ( Kleene `
 NN ) ) )
8885, 87anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  or s  -> 
( ( Fun  y  /\  ran  y  C_  ( Kleene `
 NN ) )  <-> 
( Fun  or s  /\  ran  or s  C_  ( Kleene `  NN )
) ) )
8988rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( A. y  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) ( Fun  y  /\  ran  y  C_  ( Kleene `  NN )
)  /\  or s  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  -> 
( Fun  or s  /\  ran  or s  C_  ( Kleene `  NN )
) )
9089simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. y  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) ( Fun  y  /\  ran  y  C_  ( Kleene `  NN )
)  /\  or s  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  ->  ran  or s  C_  ( Kleene `
 NN ) )
9177, 84, 90mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  or s  C_  ( Kleene `  NN )
92 df-orc 26036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  or s  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  \/ c  conc  ( x `  1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )
9392funmpt2 5291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  Fun  or s
94 fvelrn 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  or s  /\  j  e.  dom  or s
)  ->  ( or s `  j )  e.  ran  or s )
9593, 94mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  e.  dom  or s  ->  ( or s `  j )  e.  ran  or s )
9691, 95sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  dom  or s  ->  ( or s `  j )  e.  (
Kleene `  NN ) )
9796adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( j  e.  dom  or s  /\  j  e.  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) )  ->  ( or s `  j )  e.  ( Kleene `  NN )
)
9876, 97sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( dom  or s  i^i  ~P ( _V 
X.  ( Kleene `  NN ) ) )  -> 
( or s `  j )  e.  (
Kleene `  NN ) )
9998rgen 2608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. j  e.  ( dom  or s  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( or s `  j )  e.  ( Kleene `  NN )
100 dmeq 4879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  or s  ->  dom  f  =  dom  or s )
101100ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  or s  -> 
( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) )  =  ( dom 
or s  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) ) )
102 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  =  or s  -> 
( f `  j
)  =  ( or s `  j ) )
103102eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  or s  -> 
( ( f `  j )  e.  (
Kleene `  NN )  <->  ( or s `  j )  e.  ( Kleene `  NN )
) )
104101, 103raleqbidv 2748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  or s  -> 
( A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( f `
 j )  e.  ( Kleene `  NN )  <->  A. j  e.  ( dom 
or s  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) ) ( or s `  j )  e.  (
Kleene `  NN ) ) )
10599, 104mpbiri 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  or s  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN ) ) ) ( f `  j )  e.  ( Kleene `  NN ) )
10646, 75, 1053jaoi 1245 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f  =  not c  \/  f  =  and c  \/  f  =  or s )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( f `
 j )  e.  ( Kleene `  NN )
)
10716, 106syl6bi 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  { not c ,  and c ,  or s }  ->  ( f  e.  { not c ,  and c ,  or s }  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( f `
 j )  e.  ( Kleene `  NN )
) )
108107pm2.43i 43 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  { not c ,  and c ,  or s }  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( f `
 j )  e.  ( Kleene `  NN )
)
109 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  f  e. 
_V
110109elpr 3658 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  e.  { imp c ,  bi c }  <->  ( f  =  imp c  \/  f  =  bi c ) )
111 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( dom  imp c  i^i  ~P ( _V 
X.  ( Kleene `  NN ) ) )  <->  ( j  e.  dom  imp c  /\  j  e.  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN ) ) ) )
112 df-impc 26038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  imp c  =  ( y  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  => c  conc  ( y `  1 ) )  conc  ( y `  2 ) ) )
11349mptex 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  |->  ( (  => c  conc  ( y ` 
1 ) )  conc  ( y `  2 ) ) )  e.  _V
114112, 113eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  imp c  e.  _V
115114prid1 3734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  imp c  e.  { imp c ,  bi c }
116115olci 380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( imp c  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  imp c  e.  { imp c ,  bi c } )
117 elun 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( imp c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )  <->  ( imp c  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  imp c  e.  { imp c ,  bi c } ) )
118116, 117mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  imp c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )
119 funeq 5274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  imp c  -> 
( Fun  y  <->  Fun  imp c
) )
120 rneq 4904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  imp c  ->  ran  y  =  ran  imp c )
121120sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  imp c  -> 
( ran  y  C_  ( Kleene `  NN )  <->  ran 
imp c  C_  ( Kleene `
 NN ) ) )
122119, 121anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  imp c  -> 
( ( Fun  y  /\  ran  y  C_  ( Kleene `
 NN ) )  <-> 
( Fun  imp c  /\  ran  imp c  C_  ( Kleene `
 NN ) ) ) )
123122rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. y  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) ( Fun  y  /\  ran  y  C_  ( Kleene `  NN )
)  /\  imp c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  -> 
( Fun  imp c  /\  ran  imp c  C_  ( Kleene `
 NN ) ) )
124123simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) ( Fun  y  /\  ran  y  C_  ( Kleene `  NN )
)  /\  imp c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  ->  ran  imp c  C_  ( Kleene `
 NN ) )
12577, 118, 124mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  imp c  C_  ( Kleene `  NN )
126112funmpt2 5291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Fun  imp c
127 fvelrn 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  imp c  /\  j  e.  dom  imp c
)  ->  ( imp c `  j )  e.  ran  imp c )
128126, 127mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  dom  imp c  ->  ( imp c `  j )  e.  ran  imp c )
129125, 128sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  dom  imp c  ->  ( imp c `  j )  e.  (
Kleene `  NN ) )
130129adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  dom  imp c  /\  j  e.  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) )  ->  ( imp c `  j )  e.  ( Kleene `  NN )
)
131111, 130sylbi 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( dom  imp c  i^i  ~P ( _V 
X.  ( Kleene `  NN ) ) )  -> 
( imp c `  j )  e.  (
Kleene `  NN ) )
132131rgen 2608 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. j  e.  ( dom  imp c  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( imp c `  j )  e.  ( Kleene `  NN )
133 dmeq 4879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  imp c  ->  dom  f  =  dom  imp c )
134133ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  imp c  -> 
( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) )  =  ( dom 
imp c  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) ) )
135 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  imp c  -> 
( f `  j
)  =  ( imp c `  j ) )
136135eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  imp c  -> 
( ( f `  j )  e.  (
Kleene `  NN )  <->  ( imp c `  j )  e.  ( Kleene `  NN )
) )
137134, 136raleqbidv 2748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  imp c  -> 
( A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( f `
 j )  e.  ( Kleene `  NN )  <->  A. j  e.  ( dom 
imp c  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) ) ( imp c `  j )  e.  (
Kleene `  NN ) ) )
138132, 137mpbiri 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  imp c  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN ) ) ) ( f `  j )  e.  ( Kleene `  NN ) )
139 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  e.  ( dom  bi c  i^i  ~P ( _V 
X.  ( Kleene `  NN ) ) )  <->  ( j  e.  dom  bi c  /\  j  e.  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN ) ) ) )
140 df-bic 26040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  bi c  =  ( y  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  <=> c  conc  ( y `
 1 ) ) 
conc  ( y ` 
2 ) ) )
14149mptex 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  |->  ( (  <=> c  conc  ( y `
 1 ) ) 
conc  ( y ` 
2 ) ) )  e.  _V
142140, 141eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  bi c  e.  _V
143142prid2 3735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  bi c  e.  { imp c ,  bi c }
144143olci 380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( bi c  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  bi c  e.  { imp c ,  bi c } )
145 elun 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( bi c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )  <->  ( bi c  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  bi c  e.  { imp c ,  bi c } ) )
146144, 145mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  bi c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )
147 funeq 5274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  bi c  -> 
( Fun  f  <->  Fun  bi c
) )
148 rneq 4904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f  =  bi c  ->  ran  f  =  ran  bi c )
149148sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( f  =  bi c  -> 
( ran  f  C_  ( Kleene `  NN )  <->  ran 
bi c  C_  ( Kleene `
 NN ) ) )
150147, 149anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f  =  bi c  -> 
( ( Fun  f  /\  ran  f  C_  ( Kleene `
 NN ) )  <-> 
( Fun  bi c  /\  ran  bi c  C_  ( Kleene `  NN )
) ) )
151150rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) ( Fun  f  /\  ran  f  C_  ( Kleene `  NN )
)  /\  bi c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  -> 
( Fun  bi c  /\  ran  bi c  C_  ( Kleene `  NN )
) )
152151simprd 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) ( Fun  f  /\  ran  f  C_  ( Kleene `  NN )
)  /\  bi c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  ->  ran  bi c  C_  ( Kleene `
 NN ) )
15318, 146, 152mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ran  bi c  C_  ( Kleene `  NN )
154140funmpt2 5291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  Fun  bi c
155 fvelrn 5661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  bi c  /\  j  e.  dom  bi c
)  ->  ( bi c `  j )  e.  ran  bi c )
156154, 155mpan 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( j  e.  dom  bi c  ->  ( bi c `  j )  e.  ran  bi c )
157153, 156sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  e.  dom  bi c  ->  ( bi c `  j )  e.  (
Kleene `  NN ) )
158157adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( j  e.  dom  bi c  /\  j  e.  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) )  ->  ( bi c `  j )  e.  ( Kleene `  NN )
)
159139, 158sylbi 187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( j  e.  ( dom  bi c  i^i  ~P ( _V 
X.  ( Kleene `  NN ) ) )  -> 
( bi c `  j )  e.  (
Kleene `  NN ) )
160159rgen 2608 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. j  e.  ( dom  bi c  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( bi c `  j )  e.  ( Kleene `  NN )
161 dmeq 4879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  bi c  ->  dom  f  =  dom  bi c )
162161ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  bi c  -> 
( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) )  =  ( dom 
bi c  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) ) )
163 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  bi c  -> 
( f `  j
)  =  ( bi c `  j ) )
164163eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  bi c  -> 
( ( f `  j )  e.  (
Kleene `  NN )  <->  ( bi c `  j )  e.  ( Kleene `  NN )
) )
165162, 164raleqbidv 2748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  bi c  -> 
( A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( f `
 j )  e.  ( Kleene `  NN )  <->  A. j  e.  ( dom 
bi c  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `
 NN ) ) ) ( bi c `  j )  e.  (
Kleene `  NN ) ) )
166160, 165mpbiri 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  bi c  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN ) ) ) ( f `  j )  e.  ( Kleene `  NN ) )
167138, 166jaoi 368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  =  imp c  \/  f  =  bi c )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( f `
 j )  e.  ( Kleene `  NN )
)
168110, 167sylbi 187 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  { imp c ,  bi c }  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN ) ) ) ( f `  j )  e.  ( Kleene `  NN ) )
169108, 168jaoi 368 . . . . . . . 8  |-  ( ( f  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  f  e.  { imp c ,  bi c } )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN ) ) ) ( f `  j )  e.  ( Kleene `  NN ) )
17015, 169sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )  ->  A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( f `
 j )  e.  ( Kleene `  NN )
)
171170rgen 2608 . . . . . 6  |-  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( f `
 j )  e.  ( Kleene `  NN )
1723, 171pm3.2i 441 . . . . 5  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  ( Kleene `  NN )
) ) ( f `
 j )  e.  ( Kleene `  NN )
)
17314, 172intmin3 3890 . . . 4  |-  ( (
Kleene `  NN )  e. 
_V  ->  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } 
C_  ( Kleene `  NN ) )
1742, 173ax-mp 8 . . 3  |-  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } 
C_  ( Kleene `  NN )
1756, 174eqsstri 3208 . 2  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  C_  ( Kleene `  NN )
1761, 175eqsstri 3208 1  |-  Prop  C_  ( Kleene `
 NN )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    \/ wo 357    /\ wa 358    \/ w3o 933    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   {cpr 3641   {ctp 3642   |^|cint 3862    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   1c1 8738   NNcn 9746   2c2 9795   7c7 9800   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   Kleeneckln 25980    IndCls clincl 25993    conc cconc 26004    -. ccnots 26011    /\ ccands 26013    \/ cclors 26015    => ccimps 26017    <=> ccbis 26019   _|_ ccfals 26021   P ccPc 26029   not ccnotc 26031   and ccandc 26033   or scors 26035   imp ccimpc 26037   bi ccbic 26039   Propcprop 26041
This theorem is referenced by:  pgapspf2  26053
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338  df-kle 25987  df-indcls 25994  df-conc 26005  df-nots 26012  df-ands 26014  df-ors 26016  df-imps 26018  df-bis 26020  df-fals 26022  df-propvar 26030  df-notc 26032  df-andc 26034  df-orc 26036  df-impc 26038  df-bic 26040  df-prop 26042
  Copyright terms: Public domain W3C validator