Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pgapspf Unicode version

Theorem pgapspf 26155
Description:  (
ph  /\  ps ) is a propositional formula. We use variables. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pgapspf  |-  ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  Prop

Proof of Theorem pgapspf
Dummy variables  f 
a  j  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  _V
21elintab 3889 . . . 4  |-  ( ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  <->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  a ) )
3 df-pr 3660 . . . . . . 7  |-  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  =  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } )
4 1ex 8849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  _V
5 df-phc 26127 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ph c  =  { <. 1 ,  7
>. }
6 snex 4232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. 1 ,  7 >. }  e.  _V
75, 6eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ph c  e.  _V
84, 7f1osn 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. 1 ,  ph c >. } : { 1 } -1-1-onto-> { ph c }
9 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. } : {
1 } -1-1-onto-> { ph c }  ->  { <. 1 ,  ph c >. } : {
1 } --> { ph c } )
108, 9ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. 1 ,  ph c >. } : { 1 } --> { ph c }
11 phckle 26130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ph c  e.  ( Kleene `  NN )
127snss 3761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph c  e.  ( Kleene `  NN )  <->  { ph c }  C_  ( Kleene `  NN ) )
1311, 12mpbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  { ph c }  C_  ( Kleene `  NN )
14 fss 5413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  ph c >. } : {
1 } --> { ph c }  /\  { ph c }  C_  ( Kleene `  NN ) )  ->  { <. 1 ,  ph c >. } : {
1 } --> ( Kleene `  NN ) )
1510, 13, 14mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. 1 ,  ph c >. } : { 1 } --> ( Kleene `  NN )
16 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
1716elexi 2810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  _V
18 df-psc 26129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ps c  =  { <. 1 ,  8
>. }
19 snex 4232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  8 >. }  e.  _V
2018, 19eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ps c  e.  _V
2117, 20f1osn 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. 2 ,  ps c >. } : { 2 } -1-1-onto-> { ps c }
22 f1of 5488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 2 ,  ps c >. } : {
2 } -1-1-onto-> { ps c }  ->  { <. 2 ,  ps c >. } : {
2 } --> { ps c } )
23 psckle 26131 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ps c  e.  ( Kleene `  NN )
2420snss 3761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps c  e.  ( Kleene `  NN )  <->  { ps c }  C_  ( Kleene `  NN ) )
2523, 24mpbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { ps c }  C_  ( Kleene `  NN )
26 fss 5413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 2 ,  ps c >. } : {
2 } --> { ps c }  /\  { ps c }  C_  ( Kleene `  NN ) )  ->  { <. 2 ,  ps c >. } : {
2 } --> ( Kleene `  NN ) )
2722, 25, 26sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. 2 ,  ps c >. } : {
2 } -1-1-onto-> { ps c }  ->  { <. 2 ,  ps c >. } : {
2 } --> ( Kleene `  NN ) )
2821, 27ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. 2 ,  ps c >. } : { 2 } --> ( Kleene `  NN )
2915, 28pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. } : {
1 } --> ( Kleene `  NN )  /\  { <. 2 ,  ps c >. } : { 2 } --> ( Kleene `  NN ) )
30 1ne2 9947 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  2
31 disjsn2 3707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { 1 }  i^i  { 2 } )  =  (/) )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1 }  i^i  {
2 } )  =  (/)
33 fun 5421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { <. 1 ,  ph c >. } : { 1 } --> ( Kleene `  NN )  /\  { <. 2 ,  ps c >. } : { 2 } --> ( Kleene `  NN ) )  /\  ( { 1 }  i^i  { 2 } )  =  (/) )  ->  ( {
<. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } ) : ( { 1 }  u.  { 2 } ) --> ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN )
) )
3429, 32, 33mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } ) : ( { 1 }  u.  { 2 } ) --> ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN )
)
35 df-pr 3660 . . . . . . . . . 10  |-  { 1 ,  2 }  =  ( { 1 }  u.  { 2 } )
36 unidm 3331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN )
)  =  ( Kleene `  NN )
3736eqcomi 2300 . . . . . . . . . 10  |-  ( Kleene `  NN )  =  ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN )
)
3835, 37feq23i 5401 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } ) : {
1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN )  <->  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } ) : ( { 1 }  u.  { 2 } ) --> ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN )
) )
3934, 38mpbir 200 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } ) : {
1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN )
40 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( Kleene `  NN )  e.  _V
41 prex 4233 . . . . . . . . 9  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
4240, 41elmap 6812 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } )  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  <->  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } ) : {
1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN )
)
4339, 42mpbir 200 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } )  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )
443, 43eqeltri 2366 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )
451a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  _V )
46 fveq1 5540 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  ->  ( x `  1 )  =  ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } `  1 ) )
474, 7fvpr1 5738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } ` 
1 )  =  ph c )
4830, 47ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } ` 
1 )  =  ph c
4946, 48syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  ->  ( x `  1 )  =  ph c )
5049oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  ->  (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  =  (  /\ c  conc  ph c ) )
51 fveq1 5540 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  ->  ( x `  2 )  =  ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } `  2 ) )
5217, 20fvpr2 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } ` 
2 )  =  ps c )
5330, 52ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } ` 
2 )  =  ps c
5451, 53syl6eq 2344 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  ->  ( x `  2 )  =  ps c )
5550, 54oveq12d 5892 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  ->  ( (  /\ c  conc  ( x `
 1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) )  =  ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c ) )
56 df-andc 26137 . . . . . . 7  |-  and c  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x `  1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )
5755, 56fvmptg 5616 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  /\  ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  _V )  ->  ( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } )  =  ( (  /\ c  conc  ph c ) 
conc  ps c ) )
5844, 45, 57sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } )  =  ( (  /\ c  conc  ph c ) 
conc  ps c ) )
59 df-andc 26137 . . . . . . . . . 10  |-  and c  =  ( z  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( z `  1 ) )  conc  ( z `  2 ) ) )
60 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  e.  _V
6160mptex 5762 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( z ` 
1 ) )  conc  ( z `  2 ) ) )  e.  _V
6259, 61eqeltri 2366 . . . . . . . . 9  |-  and c  e.  _V
6362tpid2 3753 . . . . . . . 8  |-  and c  e.  { not c ,  and c ,  or s }
64 elun1 3355 . . . . . . . 8  |-  ( and c  e.  { not c ,  and c ,  or s }  ->  and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )
6563, 64ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )
66 dmeq 4895 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  and c  ->  dom  f  =  dom  and c )
6766ineq1d 3382 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  and c  -> 
( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a
) )  =  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) )
68 fveq1 5540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  and c  -> 
( f `  j
)  =  ( and c `  j ) )
6968eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  and c  -> 
( ( f `  j )  e.  a  <-> 
( and c `  j )  e.  a ) )
7067, 69raleqbidv 2761 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  and c  -> 
( A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a  <->  A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a ) )
7170rspcva 2895 . . . . . . . 8  |-  ( ( and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a )
7229, 32pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  ph c >. } : {
1 } --> ( Kleene `  NN )  /\  { <. 2 ,  ps c >. } : { 2 } --> ( Kleene `  NN ) )  /\  ( { 1 }  i^i  { 2 } )  =  (/) )
7372, 33mp1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  {
<. 2 ,  ps c >. } ) : ( { 1 }  u.  { 2 } ) --> ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `
 NN ) ) )
743, 35, 373pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  =  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } )  /\  {
1 ,  2 }  =  ( { 1 }  u.  { 2 } )  /\  ( Kleene `
 NN )  =  ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN ) ) )
75 feq123 25171 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  =  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } )  /\  {
1 ,  2 }  =  ( { 1 }  u.  { 2 } )  /\  ( Kleene `
 NN )  =  ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN ) ) )  ->  ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } : {
1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN )  <->  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } ) : ( { 1 }  u.  { 2 } ) --> ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN )
) ) )
7674, 75mp1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } : { 1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN )  <->  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } ) : ( { 1 }  u.  { 2 } ) --> ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN )
) ) )
7773, 76mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } : { 1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN ) )
7840, 41elmap 6812 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  <->  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } : { 1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN ) )
7977, 78sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) )
8059cmpdom2 25247 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  and c  =  ( ( Kleene `
 NN )  ^m  { 1 ,  2 } )
8179, 80syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  dom  and c )
824, 7xpsn 5716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { 1 }  X.  { ph c } )  =  { <. 1 ,  ph c >. }
83 ssv 3211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { 1 }  C_  _V
84 unss 3362 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  C_  a  /\  { _|_ c }  C_  a )  <->  ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a )
85 7nn 9898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  7  e.  NN
8685nnzi 10063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  7  e.  ZZ
87 7re 9839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  7  e.  RR
8887leidi 9323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  7  <_  7
8986eluz1i 10253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 7  e.  ( ZZ>= `  7
)  <->  ( 7  e.  ZZ  /\  7  <_ 
7 ) )
9086, 88, 89mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  7  e.  ( ZZ>= `  7 )
91 opeq2 3813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  7  ->  <. 1 ,  n >.  =  <. 1 ,  7 >. )
9291sneqd 3666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  7  ->  { <. 1 ,  n >. }  =  { <. 1 ,  7 >. } )
9392eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  7  ->  ( ph c  =  { <. 1 ,  n >. }  <-> 
ph c  =  { <. 1 ,  7 >. } ) )
9493rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 7  e.  ( ZZ>= ` 
7 )  /\  ph c  =  { <. 1 ,  7 >. } )  ->  E. n  e.  (
ZZ>= `  7 ) ph c  =  { <. 1 ,  n >. } )
9590, 5, 94mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  E. n  e.  ( ZZ>= `  7 ) ph c  =  { <. 1 ,  n >. }
96 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ph c  -> 
( x  =  { <. 1 ,  n >. }  <-> 
ph c  =  { <. 1 ,  n >. } ) )
9796rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ph c  -> 
( E. n  e.  ( ZZ>= `  7 )
x  =  { <. 1 ,  n >. }  <->  E. n  e.  ( ZZ>=
`  7 ) ph c  =  { <. 1 ,  n >. } ) )
987, 97elab 2927 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph c  e.  { x  |  E. n  e.  (
ZZ>= `  7 ) x  =  { <. 1 ,  n >. } }  <->  E. n  e.  ( ZZ>= `  7 ) ph c  =  { <. 1 ,  n >. } )
9995, 98mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ph c  e.  { x  |  E. n  e.  ( ZZ>= ` 
7 ) x  =  { <. 1 ,  n >. } }
100 snssi 3775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph c  e.  { x  |  E. n  e.  (
ZZ>= `  7 ) x  =  { <. 1 ,  n >. } }  ->  { ph c }  C_  { x  |  E. n  e.  ( ZZ>= `  7 )
x  =  { <. 1 ,  n >. } } )
10199, 100ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { ph c }  C_  { x  |  E. n  e.  (
ZZ>= `  7 ) x  =  { <. 1 ,  n >. } }
102 df-propvar 26133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  P c  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  n >. } )
103102rnmpt 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ran  P c  =  { x  |  E. n  e.  (
ZZ>= `  7 ) x  =  { <. 1 ,  n >. } }
104101, 103sseqtr4i 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { ph c }  C_  ran  P c
105 imadmrn 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P c " dom  P c )  =  ran  P c
106104, 105sseqtr4i 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { ph c }  C_  ( P c " dom  P c )
107 df-propvar 26133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  P c  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } )
108 dmmptg 5186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= ` 
7 ) { <. 1 ,  x >. }  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  ( ZZ>=
`  7 )  |->  {
<. 1 ,  x >. } )  =  (
ZZ>= `  7 ) )
109 snex 4232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { <. 1 ,  x >. }  e.  _V
110109a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  ->  { <. 1 ,  x >. }  e.  _V )
111108, 110mprg 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } )  =  ( ZZ>= ` 
7 )
112 dmeq 4895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } )  =  P c  ->  dom  ( x  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } )  =  dom  P c )
113112eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P c  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  |->  { <. 1 ,  x >. } )  ->  dom  ( x  e.  (
ZZ>= `  7 )  |->  {
<. 1 ,  x >. } )  =  dom  P c )
114113eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P c  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  |->  { <. 1 ,  x >. } )  -> 
( dom  ( x  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } )  =  (
ZZ>= `  7 )  <->  dom  P c  =  ( ZZ>= `  7
) ) )
115 imaeq2 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ZZ>= `  7 )  =  dom  P c  -> 
( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  =  ( P c " dom  P c ) )
116115eqcoms 2299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( dom 
P c  =  (
ZZ>= `  7 )  -> 
( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  =  ( P c " dom  P c ) )
117114, 116syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P c  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  |->  { <. 1 ,  x >. } )  -> 
( dom  ( x  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } )  =  (
ZZ>= `  7 )  -> 
( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  =  ( P c " dom  P c ) ) )
118107, 111, 117mp2 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  =  ( P c " dom  P c )
119106, 118sseqtr4i 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { ph c }  C_  ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )
120 sstr2 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { ph c }  C_  ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  ->  ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  C_  a  ->  { ph c }  C_  a ) )
121119, 120ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) ) 
C_  a  ->  { ph c }  C_  a )
122121adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  C_  a  /\  { _|_ c }  C_  a )  ->  { ph c }  C_  a )
12384, 122sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { ph c }  C_  a )
124 xpss12 4808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { 1 }  C_  _V  /\  { ph c }  C_  a )  -> 
( { 1 }  X.  { ph c } )  C_  ( _V  X.  a ) )
12583, 123, 124sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  ( { 1 }  X.  { ph c } )  C_  ( _V  X.  a ) )
12682, 125syl5eqssr 3236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { <. 1 ,  ph c >. }  C_  ( _V  X.  a ) )
12723elexi 2810 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ps c  e.  _V
12817, 127xpsn 5716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { 2 }  X.  { ps c } )  =  { <. 2 ,  ps c >. }
129 ssv 3211 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { 2 }  C_  _V
130 ssab 3256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { ps c }  C_  { x  |  E. y  e.  ( ZZ>= `  7 )
x  =  { <. 1 ,  y >. } }  <->  A. x ( x  e.  { ps c }  ->  E. y  e.  (
ZZ>= `  7 ) x  =  { <. 1 ,  y >. } ) )
131 elsn 3668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  { ps c } 
<->  x  =  ps c
)
132 8nn 9899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  8  e.  NN
133132nnzi 10063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  8  e.  ZZ
134 8re 9840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  8  e.  RR
135 7lt8 9923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  7  <  8
13687, 134, 135ltleii 8957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  7  <_  8
13786eluz1i 10253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 8  e.  ( ZZ>= `  7
)  <->  ( 8  e.  ZZ  /\  7  <_ 
8 ) )
138133, 136, 137mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  8  e.  ( ZZ>= `  7 )
139 opeq2 3813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  8  ->  <. 1 ,  y >.  =  <. 1 ,  8 >. )
140139sneqd 3666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  8  ->  { <. 1 ,  y >. }  =  { <. 1 ,  8 >. } )
141140eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  8  ->  ( ps c  =  { <. 1 ,  y >. } 
<->  ps c  =  { <. 1 ,  8 >. } ) )
142141rspcev 2897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 8  e.  ( ZZ>= ` 
7 )  /\  ps c  =  { <. 1 ,  8 >. } )  ->  E. y  e.  (
ZZ>= `  7 ) ps c  =  { <. 1 ,  y >. } )
143138, 18, 142mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  E. y  e.  ( ZZ>= `  7 ) ps c  =  { <. 1 ,  y >. }
144 eqeq1 2302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ps c  -> 
( x  =  { <. 1 ,  y >. } 
<->  ps c  =  { <. 1 ,  y >. } ) )
145144rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ps c  -> 
( E. y  e.  ( ZZ>= `  7 )
x  =  { <. 1 ,  y >. }  <->  E. y  e.  ( ZZ>=
`  7 ) ps c  =  { <. 1 ,  y >. } ) )
146143, 145mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ps c  ->  E. y  e.  ( ZZ>=
`  7 ) x  =  { <. 1 ,  y >. } )
147131, 146sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  { ps c }  ->  E. y  e.  (
ZZ>= `  7 ) x  =  { <. 1 ,  y >. } )
148130, 147mpgbir 1540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { ps c }  C_  { x  |  E. y  e.  (
ZZ>= `  7 ) x  =  { <. 1 ,  y >. } }
149 df-propvar 26133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  P c  =  ( y  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  y
>. } )
150149rnmpt 4941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ran  P c  =  { x  |  E. y  e.  (
ZZ>= `  7 ) x  =  { <. 1 ,  y >. } }
151148, 150sseqtr4i 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { ps c }  C_  ran  P c
152151, 105sseqtr4i 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { ps c }  C_  ( P c " dom  P c )
153 dmeq 4895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P c  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  |->  { <. 1 ,  x >. } )  ->  dom  P c  =  dom  ( x  e.  ( ZZ>=
`  7 )  |->  {
<. 1 ,  x >. } ) )
154153, 111syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P c  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  |->  { <. 1 ,  x >. } )  ->  dom  P c  =  (
ZZ>= `  7 ) )
155107, 154, 116mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  =  ( P c " dom  P c )
156152, 155sseqtr4i 3224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { ps c }  C_  ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )
157 sstr2 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { ps c }  C_  ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  ->  ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  C_  a  ->  { ps c }  C_  a ) )
158156, 157ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) ) 
C_  a  ->  { ps c }  C_  a )
159158adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  C_  a  /\  { _|_ c }  C_  a )  ->  { ps c }  C_  a )
16084, 159sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { ps c }  C_  a )
161 xpss12 4808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { 2 }  C_  _V  /\  { ps c }  C_  a )  -> 
( { 2 }  X.  { ps c } )  C_  ( _V  X.  a ) )
162129, 160, 161sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  ( { 2 }  X.  { ps c } )  C_  ( _V  X.  a ) )
163128, 162syl5eqssr 3236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { <. 2 ,  ps c >. }  C_  ( _V  X.  a ) )
164126, 163unssd 3364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  {
<. 2 ,  ps c >. } )  C_  ( _V  X.  a
) )
165 snex 4232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  ph c >. }  e.  _V
166 snex 4232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 2 ,  ps c >. }  e.  _V
167165, 166unex 4534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } )  e.  _V
168167elpw 3644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } )  e.  ~P ( _V  X.  a
)  <->  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } )  C_  ( _V  X.  a ) )
169164, 168sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  {
<. 2 ,  ps c >. } )  e. 
~P ( _V  X.  a ) )
1703, 169syl5eqel 2380 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ~P ( _V  X.  a
) )
171 elin 3371 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) )  <->  ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  dom  and c  /\  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ~P ( _V  X.  a
) ) )
17281, 170, 171sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) )
173 fveq2 5541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  ->  ( and c `  j )  =  ( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } ) )
174173eleq1d 2362 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  ->  ( ( and c `  j )  e.  a  <->  ( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } )  e.  a ) )
175174rspcv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) )  ->  ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  ->  ( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } )  e.  a ) )
176172, 175syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a  -> 
( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } )  e.  a ) )
17771, 176syl5com 26 . . . . . . 7  |-  ( ( and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  ->  ( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } )  e.  a ) )
17865, 177mpan 651 . . . . . 6  |-  ( A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a  ->  (
( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  ( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } )  e.  a ) )
179178impcom 419 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } )  e.  a )
18058, 179eqeltrrd 2371 . . . 4  |-  ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  a )
1812, 180mpgbir 1540 . . 3  |-  ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }
182 smbkle 26146 . . . 4  |-  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )
183 fnckle 26148 . . . 4  |-  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )
184 indcls2 26099 . . . . 5  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  e.  _V  /\  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  ( (
( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  = 
|^| { a  |  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
185184eleq2d 2363 . . . 4  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  e.  _V  /\  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  ( (
(  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  <->  ( (  /\ c  conc  ph c
)  conc  ps c
)  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } ) )
18640, 182, 183, 185mp3an 1277 . . 3  |-  ( ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  <->  ( (  /\ c  conc  ph c
)  conc  ps c
)  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
187181, 186mpbir 200 . 2  |-  ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )
188 df-prop 26145 . 2  |-  Prop  =  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )
189187, 188eleqtrri 2369 1  |-  ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  Prop
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ~Pcpw 3638   {csn 3653   {cpr 3654   {ctp 3655   <.cop 3656   |^|cint 3878   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705   ran crn 4706   "cima 4708   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   RRcr 8752   1c1 8754    <_ cle 8884   NNcn 9762   2c2 9811   7c7 9816   8c8 9817   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   Kleeneckln 26083    IndCls clincl 26096    conc cconc 26107    /\ ccands 26116   _|_ ccfals 26124   ph ccphc 26126   ps cclpsc 26128   P ccPc 26132   not ccnotc 26134   and ccandc 26136   or scors 26138   imp ccimpc 26140   bi ccbic 26142   Propcprop 26144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354  df-kle 26090  df-indcls 26097  df-conc 26108  df-nots 26115  df-ands 26117  df-ors 26119  df-imps 26121  df-bis 26123  df-fals 26125  df-phc 26127  df-psc 26129  df-propvar 26133  df-notc 26135  df-andc 26137  df-orc 26139  df-impc 26141  df-bic 26143  df-prop 26145
  Copyright terms: Public domain W3C validator