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Theorem pgapspf 26052
Description:  (
ph  /\  ps ) is a propositional formula. We use variables. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pgapspf  |-  ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  Prop

Proof of Theorem pgapspf
Dummy variables  f 
a  j  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  _V
21elintab 3873 . . . 4  |-  ( ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  <->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  a ) )
3 df-pr 3647 . . . . . . 7  |-  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  =  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } )
4 1ex 8833 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  _V
5 df-phc 26024 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ph c  =  { <. 1 ,  7
>. }
6 snex 4216 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { <. 1 ,  7 >. }  e.  _V
75, 6eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ph c  e.  _V
84, 7f1osn 5513 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { <. 1 ,  ph c >. } : { 1 } -1-1-onto-> { ph c }
9 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. } : {
1 } -1-1-onto-> { ph c }  ->  { <. 1 ,  ph c >. } : {
1 } --> { ph c } )
108, 9ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. 1 ,  ph c >. } : { 1 } --> { ph c }
11 phckle 26027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ph c  e.  ( Kleene `  NN )
127snss 3748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph c  e.  ( Kleene `  NN )  <->  { ph c }  C_  ( Kleene `  NN ) )
1311, 12mpbi 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  { ph c }  C_  ( Kleene `  NN )
14 fss 5397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  ph c >. } : {
1 } --> { ph c }  /\  { ph c }  C_  ( Kleene `  NN ) )  ->  { <. 1 ,  ph c >. } : {
1 } --> ( Kleene `  NN ) )
1510, 13, 14mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. 1 ,  ph c >. } : { 1 } --> ( Kleene `  NN )
16 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
1716elexi 2797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  e.  _V
18 df-psc 26026 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ps c  =  { <. 1 ,  8
>. }
19 snex 4216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  8 >. }  e.  _V
2018, 19eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ps c  e.  _V
2117, 20f1osn 5513 . . . . . . . . . . . 12  |-  { <. 2 ,  ps c >. } : { 2 } -1-1-onto-> { ps c }
22 f1of 5472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 2 ,  ps c >. } : {
2 } -1-1-onto-> { ps c }  ->  { <. 2 ,  ps c >. } : {
2 } --> { ps c } )
23 psckle 26028 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ps c  e.  ( Kleene `  NN )
2420snss 3748 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ps c  e.  ( Kleene `  NN )  <->  { ps c }  C_  ( Kleene `  NN ) )
2523, 24mpbi 199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  { ps c }  C_  ( Kleene `  NN )
26 fss 5397 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( { <. 2 ,  ps c >. } : {
2 } --> { ps c }  /\  { ps c }  C_  ( Kleene `  NN ) )  ->  { <. 2 ,  ps c >. } : {
2 } --> ( Kleene `  NN ) )
2722, 25, 26sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. 2 ,  ps c >. } : {
2 } -1-1-onto-> { ps c }  ->  { <. 2 ,  ps c >. } : {
2 } --> ( Kleene `  NN ) )
2821, 27ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  { <. 2 ,  ps c >. } : { 2 } --> ( Kleene `  NN )
2915, 28pm3.2i 441 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. } : {
1 } --> ( Kleene `  NN )  /\  { <. 2 ,  ps c >. } : { 2 } --> ( Kleene `  NN ) )
30 1ne2 9931 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =/=  2
31 disjsn2 3694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { 1 }  i^i  { 2 } )  =  (/) )
3230, 31ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( { 1 }  i^i  {
2 } )  =  (/)
33 fun 5405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( { <. 1 ,  ph c >. } : { 1 } --> ( Kleene `  NN )  /\  { <. 2 ,  ps c >. } : { 2 } --> ( Kleene `  NN ) )  /\  ( { 1 }  i^i  { 2 } )  =  (/) )  ->  ( {
<. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } ) : ( { 1 }  u.  { 2 } ) --> ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN )
) )
3429, 32, 33mp2an 653 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } ) : ( { 1 }  u.  { 2 } ) --> ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN )
)
35 df-pr 3647 . . . . . . . . . 10  |-  { 1 ,  2 }  =  ( { 1 }  u.  { 2 } )
36 unidm 3318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN )
)  =  ( Kleene `  NN )
3736eqcomi 2287 . . . . . . . . . 10  |-  ( Kleene `  NN )  =  ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN )
)
3835, 37feq23i 5385 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } ) : {
1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN )  <->  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } ) : ( { 1 }  u.  { 2 } ) --> ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN )
) )
3934, 38mpbir 200 . . . . . . . 8  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } ) : {
1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN )
40 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( Kleene `  NN )  e.  _V
41 prex 4217 . . . . . . . . 9  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
4240, 41elmap 6796 . . . . . . . 8  |-  ( ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } )  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  <->  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } ) : {
1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN )
)
4339, 42mpbir 200 . . . . . . 7  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } )  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )
443, 43eqeltri 2353 . . . . . 6  |-  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )
451a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  _V )
46 fveq1 5524 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  ->  ( x `  1 )  =  ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } `  1 ) )
474, 7fvpr1 5722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } ` 
1 )  =  ph c )
4830, 47ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } ` 
1 )  =  ph c
4946, 48syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  ->  ( x `  1 )  =  ph c )
5049oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  ->  (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  =  (  /\ c  conc  ph c ) )
51 fveq1 5524 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  ->  ( x `  2 )  =  ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } `  2 ) )
5217, 20fvpr2 5723 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } ` 
2 )  =  ps c )
5330, 52ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } ` 
2 )  =  ps c
5451, 53syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  ->  ( x `  2 )  =  ps c )
5550, 54oveq12d 5876 . . . . . . 7  |-  ( x  =  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  ->  ( (  /\ c  conc  ( x `
 1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) )  =  ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c ) )
56 df-andc 26034 . . . . . . 7  |-  and c  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x `  1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )
5755, 56fvmptg 5600 . . . . . 6  |-  ( ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  /\  ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  _V )  ->  ( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } )  =  ( (  /\ c  conc  ph c ) 
conc  ps c ) )
5844, 45, 57sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } )  =  ( (  /\ c  conc  ph c ) 
conc  ps c ) )
59 df-andc 26034 . . . . . . . . . 10  |-  and c  =  ( z  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( z `  1 ) )  conc  ( z `  2 ) ) )
60 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  e.  _V
6160mptex 5746 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( z ` 
1 ) )  conc  ( z `  2 ) ) )  e.  _V
6259, 61eqeltri 2353 . . . . . . . . 9  |-  and c  e.  _V
6362tpid2 3740 . . . . . . . 8  |-  and c  e.  { not c ,  and c ,  or s }
64 elun1 3342 . . . . . . . 8  |-  ( and c  e.  { not c ,  and c ,  or s }  ->  and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )
6563, 64ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )
66 dmeq 4879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  and c  ->  dom  f  =  dom  and c )
6766ineq1d 3369 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  and c  -> 
( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a
) )  =  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) )
68 fveq1 5524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  and c  -> 
( f `  j
)  =  ( and c `  j ) )
6968eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  and c  -> 
( ( f `  j )  e.  a  <-> 
( and c `  j )  e.  a ) )
7067, 69raleqbidv 2748 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  and c  -> 
( A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a  <->  A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a ) )
7170rspcva 2882 . . . . . . . 8  |-  ( ( and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a )
7229, 32pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  ph c >. } : {
1 } --> ( Kleene `  NN )  /\  { <. 2 ,  ps c >. } : { 2 } --> ( Kleene `  NN ) )  /\  ( { 1 }  i^i  { 2 } )  =  (/) )
7372, 33mp1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  {
<. 2 ,  ps c >. } ) : ( { 1 }  u.  { 2 } ) --> ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `
 NN ) ) )
743, 35, 373pm3.2i 1130 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  =  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } )  /\  {
1 ,  2 }  =  ( { 1 }  u.  { 2 } )  /\  ( Kleene `
 NN )  =  ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN ) ) )
75 feq123 25068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  =  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } )  /\  {
1 ,  2 }  =  ( { 1 }  u.  { 2 } )  /\  ( Kleene `
 NN )  =  ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN ) ) )  ->  ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } : {
1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN )  <->  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } ) : ( { 1 }  u.  { 2 } ) --> ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN )
) ) )
7674, 75mp1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } : { 1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN )  <->  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } ) : ( { 1 }  u.  { 2 } ) --> ( ( Kleene `  NN )  u.  ( Kleene `  NN )
) ) )
7773, 76mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } : { 1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN ) )
7840, 41elmap 6796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  <->  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } : { 1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN ) )
7977, 78sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) )
8059cmpdom2 25144 . . . . . . . . . . 11  |-  dom  and c  =  ( ( Kleene `
 NN )  ^m  { 1 ,  2 } )
8179, 80syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  dom  and c )
824, 7xpsn 5700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { 1 }  X.  { ph c } )  =  { <. 1 ,  ph c >. }
83 ssv 3198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { 1 }  C_  _V
84 unss 3349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  C_  a  /\  { _|_ c }  C_  a )  <->  ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a )
85 7nn 9882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  7  e.  NN
8685nnzi 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  7  e.  ZZ
87 7re 9823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  7  e.  RR
8887leidi 9307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  7  <_  7
8986eluz1i 10237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 7  e.  ( ZZ>= `  7
)  <->  ( 7  e.  ZZ  /\  7  <_ 
7 ) )
9086, 88, 89mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  7  e.  ( ZZ>= `  7 )
91 opeq2 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( n  =  7  ->  <. 1 ,  n >.  =  <. 1 ,  7 >. )
9291sneqd 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( n  =  7  ->  { <. 1 ,  n >. }  =  { <. 1 ,  7 >. } )
9392eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  =  7  ->  ( ph c  =  { <. 1 ,  n >. }  <-> 
ph c  =  { <. 1 ,  7 >. } ) )
9493rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( 7  e.  ( ZZ>= ` 
7 )  /\  ph c  =  { <. 1 ,  7 >. } )  ->  E. n  e.  (
ZZ>= `  7 ) ph c  =  { <. 1 ,  n >. } )
9590, 5, 94mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  E. n  e.  ( ZZ>= `  7 ) ph c  =  { <. 1 ,  n >. }
96 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ph c  -> 
( x  =  { <. 1 ,  n >. }  <-> 
ph c  =  { <. 1 ,  n >. } ) )
9796rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ph c  -> 
( E. n  e.  ( ZZ>= `  7 )
x  =  { <. 1 ,  n >. }  <->  E. n  e.  ( ZZ>=
`  7 ) ph c  =  { <. 1 ,  n >. } ) )
987, 97elab 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph c  e.  { x  |  E. n  e.  (
ZZ>= `  7 ) x  =  { <. 1 ,  n >. } }  <->  E. n  e.  ( ZZ>= `  7 ) ph c  =  { <. 1 ,  n >. } )
9995, 98mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ph c  e.  { x  |  E. n  e.  ( ZZ>= ` 
7 ) x  =  { <. 1 ,  n >. } }
100 snssi 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph c  e.  { x  |  E. n  e.  (
ZZ>= `  7 ) x  =  { <. 1 ,  n >. } }  ->  { ph c }  C_  { x  |  E. n  e.  ( ZZ>= `  7 )
x  =  { <. 1 ,  n >. } } )
10199, 100ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { ph c }  C_  { x  |  E. n  e.  (
ZZ>= `  7 ) x  =  { <. 1 ,  n >. } }
102 df-propvar 26030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  P c  =  ( n  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  n >. } )
103102rnmpt 4925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ran  P c  =  { x  |  E. n  e.  (
ZZ>= `  7 ) x  =  { <. 1 ,  n >. } }
104101, 103sseqtr4i 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { ph c }  C_  ran  P c
105 imadmrn 5024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P c " dom  P c )  =  ran  P c
106104, 105sseqtr4i 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { ph c }  C_  ( P c " dom  P c )
107 df-propvar 26030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  P c  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } )
108 dmmptg 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. x  e.  ( ZZ>= ` 
7 ) { <. 1 ,  x >. }  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  ( ZZ>=
`  7 )  |->  {
<. 1 ,  x >. } )  =  (
ZZ>= `  7 ) )
109 snex 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  { <. 1 ,  x >. }  e.  _V
110109a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  ->  { <. 1 ,  x >. }  e.  _V )
111108, 110mprg 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  dom  (
x  e.  ( ZZ>= ` 
7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } )  =  ( ZZ>= ` 
7 )
112 dmeq 4879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( x  e.  ( ZZ>= ` 
7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } )  =  P c  ->  dom  ( x  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } )  =  dom  P c )
113112eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( P c  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  |->  { <. 1 ,  x >. } )  ->  dom  ( x  e.  (
ZZ>= `  7 )  |->  {
<. 1 ,  x >. } )  =  dom  P c )
114113eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P c  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  |->  { <. 1 ,  x >. } )  -> 
( dom  ( x  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } )  =  (
ZZ>= `  7 )  <->  dom  P c  =  ( ZZ>= `  7
) ) )
115 imaeq2 5008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ZZ>= `  7 )  =  dom  P c  -> 
( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  =  ( P c " dom  P c ) )
116115eqcoms 2286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( dom 
P c  =  (
ZZ>= `  7 )  -> 
( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  =  ( P c " dom  P c ) )
117114, 116syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P c  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  |->  { <. 1 ,  x >. } )  -> 
( dom  ( x  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  x >. } )  =  (
ZZ>= `  7 )  -> 
( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  =  ( P c " dom  P c ) ) )
118107, 111, 117mp2 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  =  ( P c " dom  P c )
119106, 118sseqtr4i 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { ph c }  C_  ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )
120 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { ph c }  C_  ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  ->  ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  C_  a  ->  { ph c }  C_  a ) )
121119, 120ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) ) 
C_  a  ->  { ph c }  C_  a )
122121adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  C_  a  /\  { _|_ c }  C_  a )  ->  { ph c }  C_  a )
12384, 122sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { ph c }  C_  a )
124 xpss12 4792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { 1 }  C_  _V  /\  { ph c }  C_  a )  -> 
( { 1 }  X.  { ph c } )  C_  ( _V  X.  a ) )
12583, 123, 124sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  ( { 1 }  X.  { ph c } )  C_  ( _V  X.  a ) )
12682, 125syl5eqssr 3223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { <. 1 ,  ph c >. }  C_  ( _V  X.  a ) )
12723elexi 2797 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ps c  e.  _V
12817, 127xpsn 5700 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( { 2 }  X.  { ps c } )  =  { <. 2 ,  ps c >. }
129 ssv 3198 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { 2 }  C_  _V
130 ssab 3243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { ps c }  C_  { x  |  E. y  e.  ( ZZ>= `  7 )
x  =  { <. 1 ,  y >. } }  <->  A. x ( x  e.  { ps c }  ->  E. y  e.  (
ZZ>= `  7 ) x  =  { <. 1 ,  y >. } ) )
131 elsn 3655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  { ps c } 
<->  x  =  ps c
)
132 8nn 9883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  8  e.  NN
133132nnzi 10047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  8  e.  ZZ
134 8re 9824 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  8  e.  RR
135 7lt8 9907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  7  <  8
13687, 134, 135ltleii 8941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  7  <_  8
13786eluz1i 10237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( 8  e.  ( ZZ>= `  7
)  <->  ( 8  e.  ZZ  /\  7  <_ 
8 ) )
138133, 136, 137mpbir2an 886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  8  e.  ( ZZ>= `  7 )
139 opeq2 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( y  =  8  ->  <. 1 ,  y >.  =  <. 1 ,  8 >. )
140139sneqd 3653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( y  =  8  ->  { <. 1 ,  y >. }  =  { <. 1 ,  8 >. } )
141140eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( y  =  8  ->  ( ps c  =  { <. 1 ,  y >. } 
<->  ps c  =  { <. 1 ,  8 >. } ) )
142141rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 8  e.  ( ZZ>= ` 
7 )  /\  ps c  =  { <. 1 ,  8 >. } )  ->  E. y  e.  (
ZZ>= `  7 ) ps c  =  { <. 1 ,  y >. } )
143138, 18, 142mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  E. y  e.  ( ZZ>= `  7 ) ps c  =  { <. 1 ,  y >. }
144 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( x  =  ps c  -> 
( x  =  { <. 1 ,  y >. } 
<->  ps c  =  { <. 1 ,  y >. } ) )
145144rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  =  ps c  -> 
( E. y  e.  ( ZZ>= `  7 )
x  =  { <. 1 ,  y >. }  <->  E. y  e.  ( ZZ>=
`  7 ) ps c  =  { <. 1 ,  y >. } ) )
146143, 145mpbiri 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  ps c  ->  E. y  e.  ( ZZ>=
`  7 ) x  =  { <. 1 ,  y >. } )
147131, 146sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  { ps c }  ->  E. y  e.  (
ZZ>= `  7 ) x  =  { <. 1 ,  y >. } )
148130, 147mpgbir 1537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  { ps c }  C_  { x  |  E. y  e.  (
ZZ>= `  7 ) x  =  { <. 1 ,  y >. } }
149 df-propvar 26030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  P c  =  ( y  e.  ( ZZ>= `  7 )  |->  { <. 1 ,  y
>. } )
150149rnmpt 4925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ran  P c  =  { x  |  E. y  e.  (
ZZ>= `  7 ) x  =  { <. 1 ,  y >. } }
151148, 150sseqtr4i 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { ps c }  C_  ran  P c
152151, 105sseqtr4i 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { ps c }  C_  ( P c " dom  P c )
153 dmeq 4879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( P c  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  |->  { <. 1 ,  x >. } )  ->  dom  P c  =  dom  ( x  e.  ( ZZ>=
`  7 )  |->  {
<. 1 ,  x >. } ) )
154153, 111syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( P c  =  ( x  e.  ( ZZ>= `  7
)  |->  { <. 1 ,  x >. } )  ->  dom  P c  =  (
ZZ>= `  7 ) )
155107, 154, 116mp2b 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  =  ( P c " dom  P c )
156152, 155sseqtr4i 3211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { ps c }  C_  ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )
157 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( { ps c }  C_  ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  ->  ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  C_  a  ->  { ps c }  C_  a ) )
158156, 157ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) ) 
C_  a  ->  { ps c }  C_  a )
159158adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  C_  a  /\  { _|_ c }  C_  a )  ->  { ps c }  C_  a )
16084, 159sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { ps c }  C_  a )
161 xpss12 4792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( { 2 }  C_  _V  /\  { ps c }  C_  a )  -> 
( { 2 }  X.  { ps c } )  C_  ( _V  X.  a ) )
162129, 160, 161sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  ( { 2 }  X.  { ps c } )  C_  ( _V  X.  a ) )
163128, 162syl5eqssr 3223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { <. 2 ,  ps c >. }  C_  ( _V  X.  a ) )
164126, 163unssd 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  {
<. 2 ,  ps c >. } )  C_  ( _V  X.  a
) )
165 snex 4216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 1 ,  ph c >. }  e.  _V
166 snex 4216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  { <. 2 ,  ps c >. }  e.  _V
167165, 166unex 4518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } )  e.  _V
168167elpw 3631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } )  e.  ~P ( _V  X.  a
)  <->  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  { <. 2 ,  ps c >. } )  C_  ( _V  X.  a ) )
169164, 168sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  ( { <. 1 ,  ph c >. }  u.  {
<. 2 ,  ps c >. } )  e. 
~P ( _V  X.  a ) )
1703, 169syl5eqel 2367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ~P ( _V  X.  a
) )
171 elin 3358 . . . . . . . . . 10  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) )  <->  ( { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  dom  and c  /\  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ~P ( _V  X.  a
) ) )
17281, 170, 171sylanbrc 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) )
173 fveq2 5525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  =  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  ->  ( and c `  j )  =  ( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } ) )
174173eleq1d 2349 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  =  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  ->  ( ( and c `  j )  e.  a  <->  ( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } )  e.  a ) )
175174rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( {
<. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. }  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) )  ->  ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  ->  ( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } )  e.  a ) )
176172, 175syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a  -> 
( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } )  e.  a ) )
17771, 176syl5com 26 . . . . . . 7  |-  ( ( and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  ->  ( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } )  e.  a ) )
17865, 177mpan 651 . . . . . 6  |-  ( A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a  ->  (
( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  ->  ( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } )  e.  a ) )
179178impcom 419 . . . . 5  |-  ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( and c `  { <. 1 ,  ph c >. ,  <. 2 ,  ps c >. } )  e.  a )
18058, 179eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  a )
1812, 180mpgbir 1537 . . 3  |-  ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }
182 smbkle 26043 . . . 4  |-  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )
183 fnckle 26045 . . . 4  |-  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )
184 indcls2 25996 . . . . 5  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  e.  _V  /\  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  ( (
( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  = 
|^| { a  |  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
185184eleq2d 2350 . . . 4  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  e.  _V  /\  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  ( (
(  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  <->  ( (  /\ c  conc  ph c
)  conc  ps c
)  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } ) )
18640, 182, 183, 185mp3an 1277 . . 3  |-  ( ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  <->  ( (  /\ c  conc  ph c
)  conc  ps c
)  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
187181, 186mpbir 200 . 2  |-  ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )
188 df-prop 26042 . 2  |-  Prop  =  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )
189187, 188eleqtrri 2356 1  |-  ( (  /\ c  conc  ph c )  conc  ps c )  e.  Prop
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   {cpr 3641   {ctp 3642   <.cop 3643   |^|cint 3862   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   RRcr 8736   1c1 8738    <_ cle 8868   NNcn 9746   2c2 9795   7c7 9800   8c8 9801   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   Kleeneckln 25980    IndCls clincl 25993    conc cconc 26004    /\ ccands 26013   _|_ ccfals 26021   ph ccphc 26023   ps cclpsc 26025   P ccPc 26029   not ccnotc 26031   and ccandc 26033   or scors 26035   imp ccimpc 26037   bi ccbic 26039   Propcprop 26041
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338  df-kle 25987  df-indcls 25994  df-conc 26005  df-nots 26012  df-ands 26014  df-ors 26016  df-imps 26018  df-bis 26020  df-fals 26022  df-phc 26024  df-psc 26026  df-propvar 26030  df-notc 26032  df-andc 26034  df-orc 26036  df-impc 26038  df-bic 26040  df-prop 26042
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