Users' Mathboxes Mathbox for Frédéric Liné < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pgapspf2 Unicode version

Theorem pgapspf2 26053
Description:  (
ph  /\  ps ) is a propositional formula. Here we use meta-variables. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pgapspf2  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
(  /\ c  conc  P )  conc  Q )  e.  Prop )

Proof of Theorem pgapspf2
Dummy variables  f 
a  j  n  p  q  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( Kleene `  NN )  e.  _V
2 smbkle 26043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )
3 fnckle 26045 . . . . . . . . . 10  |-  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. y  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... y ) ) )
4 indcls2 25996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  e.  _V  /\  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. y  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... y ) ) ) )  ->  ( (
( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  = 
|^| { a  |  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
54eleq2d 2350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  e.  _V  /\  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. y  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... y ) ) ) )  ->  ( P  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  <->  P  e.  |^|
{ a  |  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } ) )
61, 2, 3, 5mp3an 1277 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  <->  P  e.  |^|
{ a  |  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
7 elintabg 25090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prop  ->  ( P  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  <->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
) )
84eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  e.  _V  /\  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. y  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... y ) ) ) )  ->  ( Q  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  <->  Q  e.  |^|
{ a  |  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } ) )
91, 2, 3, 8mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Q  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  <->  Q  e.  |^|
{ a  |  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
10 elintabg 25090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Q  e.  Prop  ->  ( Q  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  <->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )
) )
11 19.26 1580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. a ( ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
)  <->  ( A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  A. a ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
) )
12 pm3.43 832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
)  ->  ( (
( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( Q  e.  a  /\  P  e.  a ) ) )
13 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( Q  e.  a  /\  P  e.  a ) )  ->  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )
) )
14 df-andc 26034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  and c  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x `  1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )
15 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  e.  _V
1615mptex 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )  e.  _V
1714, 16eqeltri 2353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  and c  e.  _V
1817tpid2 3740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  and c  e.  { not c ,  and c ,  or s }
1918orci 379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( and c  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  and c  e.  { imp c ,  bi c } )
20 elun 3316 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )  <->  ( and c  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  and c  e.  { imp c ,  bi c } ) )
2119, 20mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )
22 dmeq 4879 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( f  =  and c  ->  dom  f  =  dom  and c )
2322ineq1d 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( f  =  and c  -> 
( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a
) )  =  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) )
24 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( f  =  and c  -> 
( f `  j
)  =  ( and c `  j ) )
2524eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( f  =  and c  -> 
( ( f `  j )  e.  a  <-> 
( and c `  j )  e.  a ) )
2623, 25raleqbidv 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f  =  and c  -> 
( A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a  <->  A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a ) )
2726rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a  /\  and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  ->  A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a )
28 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( p  =  P  ->  (
p  e.  a  <->  P  e.  a ) )
2928anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( p  =  P  ->  (
( q  e.  a  /\  p  e.  a )  <->  ( q  e.  a  /\  P  e.  a ) ) )
30 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( p  =  P  ->  (
p  e.  Prop  <->  P  e.  Prop ) )
3130anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( p  =  P  ->  (
( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )  <->  ( P  e.  Prop  /\  q  e.  Prop ) ) )
3229, 313anbi23d 1255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( p  =  P  ->  (
( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a  /\  ( q  e.  a  /\  p  e.  a )  /\  ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop ) )  <->  ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  q  e.  Prop ) ) ) )
33 opeq2 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( p  =  P  ->  <. 1 ,  p >.  =  <. 1 ,  P >. )
3433preq1d 3712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( p  =  P  ->  { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. }  =  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  q
>. } )
3534fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( p  =  P  ->  ( and c `  { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. } )  =  ( and c `  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  q
>. } ) )
36 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( p  =  P  ->  (  /\ c  conc  p )  =  (  /\ c  conc  P ) )
3736oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( p  =  P  ->  (
(  /\ c  conc  p )  conc  q )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  q ) )
3835, 37eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( p  =  P  ->  (
( and c `  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } )  =  ( (  /\ c  conc  p )  conc  q )  <->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  q
>. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  q )
) )
3932, 38imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( p  =  P  ->  (
( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a  /\  ( q  e.  a  /\  p  e.  a )  /\  ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop ) )  -> 
( and c `  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } )  =  ( (  /\ c  conc  p )  conc  q )
)  <->  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  q  e.  Prop ) )  -> 
( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  q
>. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  q )
) ) )
40 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( q  =  Q  ->  (
q  e.  a  <->  Q  e.  a ) )
4140anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( q  =  Q  ->  (
( q  e.  a  /\  P  e.  a )  <->  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a ) ) )
42 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( q  =  Q  ->  (
q  e.  Prop  <->  Q  e.  Prop ) )
4342anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( q  =  Q  ->  (
( P  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )  <->  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop ) ) )
4441, 433anbi23d 1255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( q  =  Q  ->  (
( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a  /\  ( q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  q  e.  Prop ) )  <->  ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop ) ) ) )
45 opeq2 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( q  =  Q  ->  <. 2 ,  q >.  =  <. 2 ,  Q >. )
4645preq2d 3713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( q  =  Q  ->  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  q
>. }  =  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  Q >. } )
4746fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( q  =  Q  ->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  q
>. } )  =  ( and c `  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  Q >. } ) )
48 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( q  =  Q  ->  (
(  /\ c  conc  P )  conc  q )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q ) )
4947, 48eqeq12d 2297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( q  =  Q  ->  (
( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  q
>. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  q )  <->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  Q >. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q )
) )
5044, 49imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a  /\  ( q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  q  e.  Prop ) )  -> 
( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  q
>. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  q )
)  <->  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop ) )  -> 
( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q )
) ) )
51 1ne2 9931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  1  =/=  2
52 1ex 8833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  1  e.  _V
53 2nn 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  2  e.  NN
5453elexi 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  2  e.  _V
55 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  p  e. 
_V
56 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  q  e. 
_V
5752, 54, 55, 56fpr 5704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( 1  =/=  2  ->  { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. } : { 1 ,  2 } --> { p ,  q } )
5851, 57ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. } : { 1 ,  2 } --> { p ,  q }
59 pfsubkl 26047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  Prop  C_  ( Kleene `
 NN )
6059sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( p  e.  Prop  ->  p  e.  ( Kleene `  NN )
)
6159sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( q  e.  Prop  ->  q  e.  ( Kleene `  NN )
)
6260, 61anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )  ->  (
p  e.  ( Kleene `  NN )  /\  q  e.  ( Kleene `  NN )
) )
63623ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  (
q  e.  a  /\  p  e.  a )  /\  ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )
)  ->  ( p  e.  ( Kleene `  NN )  /\  q  e.  ( Kleene `
 NN ) ) )
6455, 56prss 3769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( p  e.  ( Kleene `  NN )  /\  q  e.  ( Kleene `  NN )
)  <->  { p ,  q }  C_  ( Kleene `  NN ) )
6563, 64sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  (
q  e.  a  /\  p  e.  a )  /\  ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )
)  ->  { p ,  q }  C_  ( Kleene `  NN )
)
66 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } : { 1 ,  2 } --> { p ,  q }  /\  { p ,  q } 
C_  ( Kleene `  NN ) )  ->  { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. } : { 1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN ) )
6758, 65, 66sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  (
q  e.  a  /\  p  e.  a )  /\  ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )
)  ->  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. } : { 1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN ) )
68 prex 4217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
691, 68pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
Kleene `  NN )  e. 
_V  /\  { 1 ,  2 }  e.  _V )
70 elmapg 6785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  e.  _V  /\  { 1 ,  2 }  e.  _V )  ->  ( {
<. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. }  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  <->  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } : { 1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN ) ) )
7169, 70mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  (
q  e.  a  /\  p  e.  a )  /\  ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )
)  ->  ( { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. }  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  <->  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } : { 1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN ) ) )
7267, 71mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  (
q  e.  a  /\  p  e.  a )  /\  ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )
)  ->  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. }  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) )
73 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (  /\ c  conc  p
)  conc  q )  e.  _V
74 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( x  =  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. }  ->  ( x `  1 )  =  ( { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. } `  1 ) )
7552, 55fvpr1 5722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } `  1 )  =  p )
7651, 75ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( {
<. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } `  1 )  =  p
7774, 76syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  =  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. }  ->  ( x `  1 )  =  p )
7877oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  =  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. }  ->  (  /\ c  conc  (
x `  1 )
)  =  (  /\ c  conc  p ) )
79 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  =  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. }  ->  ( x `  2 )  =  ( { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. } `  2 ) )
8054, 56fvpr2 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } `  2 )  =  q )
8151, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( {
<. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } `  2 )  =  q
8279, 81syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  =  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. }  ->  ( x `  2 )  =  q )
8378, 82oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  =  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. }  ->  ( (  /\ c  conc  ( x `  1 ) )  conc  ( x `  2 ) )  =  ( (  /\ c  conc  p )  conc  q ) )
8483, 14fvmptg 5600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. }  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  /\  ( (  /\ c  conc  p
)  conc  q )  e.  _V )  ->  ( and c `  { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. } )  =  ( (  /\ c  conc  p )  conc  q )
)
8572, 73, 84sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  (
q  e.  a  /\  p  e.  a )  /\  ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )
)  ->  ( and c `  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. } )  =  ( (  /\ c  conc  p )  conc  q ) )
8639, 50, 85vtocl2g 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a  /\  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a
)  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop ) )  ->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  Q >. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q )
) )
87863ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )
)  ->  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )
)  ->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
) ) )
8887pm2.43i 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )
)  ->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
) )
8914dmeqi 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  dom  and c  =  dom  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )
90 dmmptg 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( A. x  e.  ( ( Kleene `
 NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) ( (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  (
x `  1 )
)  conc  ( x `  2 ) ) )  =  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) )
91 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (  /\ c  conc  (
x `  1 )
)  conc  ( x `  2 ) )  e.  _V
9291a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  ->  ( (  /\ c  conc  ( x `
 1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) )  e. 
_V )
9390, 92mprg 2612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  dom  (
x  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )
94 eqtr 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( dom  and c  =  dom  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x `  1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )  /\  dom  (
x  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) )  ->  dom  and c  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) )
95 1nn 9757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  1  e.  NN
9695, 53pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( 1  e.  NN  /\  2  e.  NN )
9796a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
( 1  e.  NN  /\  2  e.  NN ) )
98 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )
)
9951a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
1  =/=  2 )
100 fprg 25133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( 1  e.  NN  /\  2  e.  NN )  /\  ( P  e. 
Prop  /\  Q  e.  Prop )  /\  1  =/=  2
)  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } : {
1 ,  2 } --> { P ,  Q } )
10197, 98, 99, 100syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } : { 1 ,  2 } --> { P ,  Q } )
10259sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( P  e.  Prop  ->  P  e.  ( Kleene `  NN )
)
10359sseli 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( Q  e.  Prop  ->  Q  e.  ( Kleene `  NN )
)
104102, 103anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( P  e.  ( Kleene `  NN )  /\  Q  e.  ( Kleene `  NN )
) )
105104adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
( P  e.  (
Kleene `  NN )  /\  Q  e.  ( Kleene `  NN ) ) )
106 prssg 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
( P  e.  (
Kleene `  NN )  /\  Q  e.  ( Kleene `  NN ) )  <->  { P ,  Q }  C_  ( Kleene `
 NN ) ) )
107106adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
( ( P  e.  ( Kleene `  NN )  /\  Q  e.  ( Kleene `
 NN ) )  <->  { P ,  Q }  C_  ( Kleene `  NN )
) )
108105, 107mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  ->  { P ,  Q }  C_  ( Kleene `  NN )
)
109 pm3.22 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  ( P  e.  a  /\  Q  e.  a ) )
110109adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
( P  e.  a  /\  Q  e.  a ) )
111 prssg 3770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
( P  e.  a  /\  Q  e.  a )  <->  { P ,  Q }  C_  a ) )
112111adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
( ( P  e.  a  /\  Q  e.  a )  <->  { P ,  Q }  C_  a
) )
113110, 112mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  ->  { P ,  Q }  C_  a )
114 ssin 3391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( { P ,  Q }  C_  ( Kleene `  NN )  /\  { P ,  Q }  C_  a )  <->  { P ,  Q }  C_  ( ( Kleene `  NN )  i^i  a ) )
115114a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
( ( { P ,  Q }  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  { P ,  Q }  C_  a )  <->  { P ,  Q }  C_  (
( Kleene `  NN )  i^i  a ) ) )
116108, 113, 115mpbi2and 887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  ->  { P ,  Q }  C_  ( ( Kleene `  NN )  i^i  a ) )
117 fss 5397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } : { 1 ,  2 } --> { P ,  Q }  /\  { P ,  Q }  C_  ( ( Kleene `  NN )  i^i  a ) )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } : {
1 ,  2 } --> ( ( Kleene `  NN )  i^i  a ) )
118101, 116, 117syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } : { 1 ,  2 } --> ( (
Kleene `  NN )  i^i  a ) )
1191inex1 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( (
Kleene `  NN )  i^i  a )  e.  _V
120119, 68pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  i^i  a )  e.  _V  /\ 
{ 1 ,  2 }  e.  _V )
121 elmapg 6785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( Kleene `  NN )  i^i  a )  e. 
_V  /\  { 1 ,  2 }  e.  _V )  ->  ( {
<. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( ( ( Kleene `  NN )  i^i  a )  ^m  {
1 ,  2 } )  <->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } : { 1 ,  2 } --> ( (
Kleene `  NN )  i^i  a ) ) )
122120, 121mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
( { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( ( ( Kleene `  NN )  i^i  a )  ^m  { 1 ,  2 } )  <->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } : { 1 ,  2 } --> ( (
Kleene `  NN )  i^i  a ) ) )
123118, 122mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( ( ( Kleene `  NN )  i^i  a )  ^m  {
1 ,  2 } ) )
1241, 68selsubf3 25991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  i^i  ~P ( _V  X.  a
) )  =  ( ( ( Kleene `  NN )  i^i  a )  ^m  { 1 ,  2 } )
125123, 124syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) )
126125ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  ( ( P  e. 
Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ) )
127 ineq1 3363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( dom 
and c  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  ->  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) )  =  ( ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) )
128127eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( dom 
and c  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  ->  ( { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( dom 
and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) )  <->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ) )
129128imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( dom 
and c  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  ->  (
( ( P  e. 
Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) )  <->  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  Q >. }  e.  ( ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ) ) )
130126, 129syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( dom 
and c  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  ->  (
( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  Q >. }  e.  ( dom 
and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ) ) )
13194, 130syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( dom  and c  =  dom  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x `  1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )  /\  dom  (
x  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) )  -> 
( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  (
( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( dom 
and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ) ) )
13289, 93, 131mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  ( ( P  e. 
Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ) )
133 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( j  =  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  ->  ( and c `  j )  =  ( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } ) )
134133eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( j  =  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  ->  (
( and c `  j )  e.  a  <-> 
( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } )  e.  a ) )
135134rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( {
<. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( dom 
and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) )  ->  ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  ->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  Q >. } )  e.  a ) )
136132, 135syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  ( ( P  e. 
Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a  -> 
( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } )  e.  a ) ) )
137136com3r 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j )  e.  a  ->  ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  (
( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } )  e.  a ) ) )
1381373imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )
)  ->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } )  e.  a )
13988, 138eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )
)  ->  ( (  /\ c  conc  P ) 
conc  Q )  e.  a )
1401393exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j )  e.  a  ->  ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  (
( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
14127, 140syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a  /\  and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  -> 
( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  (
( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
14221, 141mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a  ->  (
( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
(  /\ c  conc  P )  conc  Q )  e.  a ) ) )
143142adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  (
( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
14413, 143syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( Q  e.  a  /\  P  e.  a ) )  ->  (
( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
145144com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( Q  e.  a  /\  P  e.  a ) )  ->  (
( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
14612, 145syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
)  ->  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
147146com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
( ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
)  ->  ( (
( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
148147alimdv 1607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( A. a ( ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
)  ->  A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
149148expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Q  e.  Prop  ->  ( P  e.  Prop  ->  ( A. a ( ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
)  ->  A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) )
150149com3r 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. a ( ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
)  ->  ( Q  e.  Prop  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) )
15111, 150sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. a ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  A. a ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
)  ->  ( Q  e.  Prop  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) )
152151ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  ->  ( A. a ( ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( Q  e.  Prop  -> 
( P  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) )
153152com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  ->  ( Q  e.  Prop  -> 
( A. a ( ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) )
15410, 153syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Q  e.  Prop  ->  ( Q  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  ->  ( Q  e. 
Prop  ->  ( A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) ) )
155154com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Q  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  ->  ( Q  e. 
Prop  ->  ( Q  e. 
Prop  ->  ( A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) ) )
1569, 155sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Q  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  -> 
( Q  e.  Prop  -> 
( Q  e.  Prop  -> 
( A. a ( ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) ) )
157 df-prop 26042 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Prop  =  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )
158156, 157eleq2s 2375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q  e.  Prop  ->  ( Q  e.  Prop  ->  ( Q  e.  Prop  ->  ( A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) ) )
159158pm2.43b 46 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Q  e.  Prop  ->  ( Q  e.  Prop  ->  ( A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) )
160159pm2.43i 43 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  Prop  ->  ( A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) )
161160com3l 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( P  e.  Prop  -> 
( Q  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) )
1627, 161syl6bi 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prop  ->  ( P  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  ->  ( P  e. 
Prop  ->  ( Q  e. 
Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) )
163162com3l 75 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  ->  ( P  e. 
Prop  ->  ( P  e. 
Prop  ->  ( Q  e. 
Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) )
1646, 163sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  -> 
( P  e.  Prop  -> 
( P  e.  Prop  -> 
( Q  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) )
165164, 157eleq2s 2375 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prop  ->  ( P  e.  Prop  ->  ( P  e.  Prop  ->  ( Q  e.  Prop  ->  A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) )
166165pm2.43b 46 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prop  ->  ( P  e.  Prop  ->  ( Q  e.  Prop  ->  A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) )
167166pm2.43i 43 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prop  ->  ( Q  e.  Prop  ->  A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
168167imp 418 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) )
169 ovex 5883 . . . . 5  |-  ( (  /\ c  conc  P
)  conc  Q )  e.  _V
170169elintab 3873 . . . 4  |-  ( ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q )  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  <->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) )
171168, 170sylibr 203 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
(  /\ c  conc  P )  conc  Q )  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
172 fnckle 26045 . . . 4  |-  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )
173 indcls2 25996 . . . . 5  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  e.  _V  /\  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  ( (
( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  = 
|^| { a  |  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
174173eleq2d 2350 . . . 4  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  e.  _V  /\  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  ( (
(  /\ c  conc  P )  conc  Q )  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  <->  ( (  /\ c  conc  P ) 
conc  Q )  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } ) )
1751, 2, 172, 174mp3an 1277 . . 3  |-  ( ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q )  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  <->  ( (  /\ c  conc  P ) 
conc  Q )  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
176171, 175sylibr 203 . 2  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
(  /\ c  conc  P )  conc  Q )  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) ) )
177176, 157syl6eleqr 2374 1  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
(  /\ c  conc  P )  conc  Q )  e.  Prop )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   {cpr 3641   {ctp 3642   <.cop 3643   |^|cint 3862    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   "cima 4692   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   1c1 8738   NNcn 9746   2c2 9795   7c7 9800   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   Kleeneckln 25980    IndCls clincl 25993    conc cconc 26004    /\ ccands 26013   _|_ ccfals 26021   P ccPc 26029   not ccnotc 26031   and ccandc 26033   or scors 26035   imp ccimpc 26037   bi ccbic 26039   Propcprop 26041
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-hash 11338  df-kle 25987  df-indcls 25994  df-conc 26005  df-nots 26012  df-ands 26014  df-ors 26016  df-imps 26018  df-bis 26020  df-fals 26022  df-propvar 26030  df-notc 26032  df-andc 26034  df-orc 26036  df-impc 26038  df-bic 26040  df-prop 26042
  Copyright terms: Public domain W3C validator