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Theorem pgapspf2 26156
Description:  (
ph  /\  ps ) is a propositional formula. Here we use meta-variables. (Contributed by FL, 2-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pgapspf2  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
(  /\ c  conc  P )  conc  Q )  e.  Prop )

Proof of Theorem pgapspf2
Dummy variables  f 
a  j  n  p  q  y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( Kleene `  NN )  e.  _V
2 smbkle 26146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )
3 fnckle 26148 . . . . . . . . . 10  |-  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. y  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... y ) ) )
4 indcls2 26099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  e.  _V  /\  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. y  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... y ) ) ) )  ->  ( (
( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  = 
|^| { a  |  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
54eleq2d 2363 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  e.  _V  /\  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. y  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... y ) ) ) )  ->  ( P  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  <->  P  e.  |^|
{ a  |  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } ) )
61, 2, 3, 5mp3an 1277 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  <->  P  e.  |^|
{ a  |  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
7 elintabg 25193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prop  ->  ( P  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  <->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
) )
84eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  e.  _V  /\  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. y  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... y ) ) ) )  ->  ( Q  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  <->  Q  e.  |^|
{ a  |  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } ) )
91, 2, 3, 8mp3an 1277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Q  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  <->  Q  e.  |^|
{ a  |  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
10 elintabg 25193 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Q  e.  Prop  ->  ( Q  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  <->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )
) )
11 19.26 1583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. a ( ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
)  <->  ( A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  A. a ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
) )
12 pm3.43 832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
)  ->  ( (
( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( Q  e.  a  /\  P  e.  a ) ) )
13 pm2.27 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( Q  e.  a  /\  P  e.  a ) )  ->  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )
) )
14 df-andc 26137 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  and c  =  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x `  1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )
15 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  e.  _V
1615mptex 5762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )  e.  _V
1714, 16eqeltri 2366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  and c  e.  _V
1817tpid2 3753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  and c  e.  { not c ,  and c ,  or s }
1918orci 379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( and c  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  and c  e.  { imp c ,  bi c } )
20 elun 3329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )  <->  ( and c  e.  { not c ,  and c ,  or s }  \/  and c  e.  { imp c ,  bi c } ) )
2119, 20mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } )
22 dmeq 4895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( f  =  and c  ->  dom  f  =  dom  and c )
2322ineq1d 3382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( f  =  and c  -> 
( dom  f  i^i  ~P ( _V  X.  a
) )  =  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) )
24 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( f  =  and c  -> 
( f `  j
)  =  ( and c `  j ) )
2524eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( f  =  and c  -> 
( ( f `  j )  e.  a  <-> 
( and c `  j )  e.  a ) )
2623, 25raleqbidv 2761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f  =  and c  -> 
( A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a  <->  A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a ) )
2726rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a  /\  and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  ->  A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a )
28 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( p  =  P  ->  (
p  e.  a  <->  P  e.  a ) )
2928anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( p  =  P  ->  (
( q  e.  a  /\  p  e.  a )  <->  ( q  e.  a  /\  P  e.  a ) ) )
30 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( p  =  P  ->  (
p  e.  Prop  <->  P  e.  Prop ) )
3130anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( p  =  P  ->  (
( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )  <->  ( P  e.  Prop  /\  q  e.  Prop ) ) )
3229, 313anbi23d 1255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( p  =  P  ->  (
( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a  /\  ( q  e.  a  /\  p  e.  a )  /\  ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop ) )  <->  ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  q  e.  Prop ) ) ) )
33 opeq2 3813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( p  =  P  ->  <. 1 ,  p >.  =  <. 1 ,  P >. )
3433preq1d 3725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( p  =  P  ->  { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. }  =  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  q
>. } )
3534fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( p  =  P  ->  ( and c `  { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. } )  =  ( and c `  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  q
>. } ) )
36 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( p  =  P  ->  (  /\ c  conc  p )  =  (  /\ c  conc  P ) )
3736oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( p  =  P  ->  (
(  /\ c  conc  p )  conc  q )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  q ) )
3835, 37eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( p  =  P  ->  (
( and c `  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } )  =  ( (  /\ c  conc  p )  conc  q )  <->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  q
>. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  q )
) )
3932, 38imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( p  =  P  ->  (
( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a  /\  ( q  e.  a  /\  p  e.  a )  /\  ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop ) )  -> 
( and c `  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } )  =  ( (  /\ c  conc  p )  conc  q )
)  <->  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  q  e.  Prop ) )  -> 
( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  q
>. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  q )
) ) )
40 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( q  =  Q  ->  (
q  e.  a  <->  Q  e.  a ) )
4140anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( q  =  Q  ->  (
( q  e.  a  /\  P  e.  a )  <->  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a ) ) )
42 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( q  =  Q  ->  (
q  e.  Prop  <->  Q  e.  Prop ) )
4342anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( q  =  Q  ->  (
( P  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )  <->  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop ) ) )
4441, 433anbi23d 1255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( q  =  Q  ->  (
( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a  /\  ( q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  q  e.  Prop ) )  <->  ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop ) ) ) )
45 opeq2 3813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( q  =  Q  ->  <. 2 ,  q >.  =  <. 2 ,  Q >. )
4645preq2d 3726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( q  =  Q  ->  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  q
>. }  =  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  Q >. } )
4746fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( q  =  Q  ->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  q
>. } )  =  ( and c `  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  Q >. } ) )
48 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( q  =  Q  ->  (
(  /\ c  conc  P )  conc  q )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q ) )
4947, 48eqeq12d 2310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( q  =  Q  ->  (
( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  q
>. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  q )  <->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  Q >. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q )
) )
5044, 49imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( q  =  Q  ->  (
( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a  /\  ( q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  q  e.  Prop ) )  -> 
( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  q
>. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  q )
)  <->  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop ) )  -> 
( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q )
) ) )
51 1ne2 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  1  =/=  2
52 1ex 8849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  1  e.  _V
53 2nn 9893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  2  e.  NN
5453elexi 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  2  e.  _V
55 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  p  e. 
_V
56 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  q  e. 
_V
5752, 54, 55, 56fpr 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( 1  =/=  2  ->  { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. } : { 1 ,  2 } --> { p ,  q } )
5851, 57ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. } : { 1 ,  2 } --> { p ,  q }
59 pfsubkl 26150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  Prop  C_  ( Kleene `
 NN )
6059sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( p  e.  Prop  ->  p  e.  ( Kleene `  NN )
)
6159sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( q  e.  Prop  ->  q  e.  ( Kleene `  NN )
)
6260, 61anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )  ->  (
p  e.  ( Kleene `  NN )  /\  q  e.  ( Kleene `  NN )
) )
63623ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  (
q  e.  a  /\  p  e.  a )  /\  ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )
)  ->  ( p  e.  ( Kleene `  NN )  /\  q  e.  ( Kleene `
 NN ) ) )
6455, 56prss 3785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( p  e.  ( Kleene `  NN )  /\  q  e.  ( Kleene `  NN )
)  <->  { p ,  q }  C_  ( Kleene `  NN ) )
6563, 64sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  (
q  e.  a  /\  p  e.  a )  /\  ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )
)  ->  { p ,  q }  C_  ( Kleene `  NN )
)
66 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } : { 1 ,  2 } --> { p ,  q }  /\  { p ,  q } 
C_  ( Kleene `  NN ) )  ->  { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. } : { 1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN ) )
6758, 65, 66sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  (
q  e.  a  /\  p  e.  a )  /\  ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )
)  ->  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. } : { 1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN ) )
68 prex 4233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  { 1 ,  2 }  e.  _V
691, 68pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (
Kleene `  NN )  e. 
_V  /\  { 1 ,  2 }  e.  _V )
70 elmapg 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  e.  _V  /\  { 1 ,  2 }  e.  _V )  ->  ( {
<. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. }  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  <->  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } : { 1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN ) ) )
7169, 70mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  (
q  e.  a  /\  p  e.  a )  /\  ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )
)  ->  ( { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. }  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  <->  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } : { 1 ,  2 } --> ( Kleene `  NN ) ) )
7267, 71mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  (
q  e.  a  /\  p  e.  a )  /\  ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )
)  ->  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. }  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) )
73 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( (  /\ c  conc  p
)  conc  q )  e.  _V
74 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( x  =  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. }  ->  ( x `  1 )  =  ( { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. } `  1 ) )
7552, 55fvpr1 5738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } `  1 )  =  p )
7651, 75ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( {
<. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } `  1 )  =  p
7774, 76syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  =  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. }  ->  ( x `  1 )  =  p )
7877oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  =  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. }  ->  (  /\ c  conc  (
x `  1 )
)  =  (  /\ c  conc  p ) )
79 fveq1 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( x  =  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. }  ->  ( x `  2 )  =  ( { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. } `  2 ) )
8054, 56fvpr2 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( 1  =/=  2  ->  ( { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } `  2 )  =  q )
8151, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( {
<. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. } `  2 )  =  q
8279, 81syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( x  =  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. }  ->  ( x `  2 )  =  q )
8378, 82oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  =  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. }  ->  ( (  /\ c  conc  ( x `  1 ) )  conc  ( x `  2 ) )  =  ( (  /\ c  conc  p )  conc  q ) )
8483, 14fvmptg 5616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q
>. }  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  /\  ( (  /\ c  conc  p
)  conc  q )  e.  _V )  ->  ( and c `  { <. 1 ,  p >. , 
<. 2 ,  q
>. } )  =  ( (  /\ c  conc  p )  conc  q )
)
8572, 73, 84sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  (
q  e.  a  /\  p  e.  a )  /\  ( p  e.  Prop  /\  q  e.  Prop )
)  ->  ( and c `  { <. 1 ,  p >. ,  <. 2 ,  q >. } )  =  ( (  /\ c  conc  p )  conc  q ) )
8639, 50, 85vtocl2g 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a  /\  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a
)  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop ) )  ->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  Q >. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q )
) )
87863ad2ant3 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )
)  ->  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )
)  ->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
) ) )
8887pm2.43i 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )
)  ->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } )  =  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
) )
8914dmeqi 4896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  dom  and c  =  dom  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )
90 dmmptg 5186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( A. x  e.  ( ( Kleene `
 NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) ( (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) )  e.  _V  ->  dom  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  (
x `  1 )
)  conc  ( x `  2 ) ) )  =  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) )
91 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( (  /\ c  conc  (
x `  1 )
)  conc  ( x `  2 ) )  e.  _V
9291a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  {
1 ,  2 } )  ->  ( (  /\ c  conc  ( x `
 1 ) ) 
conc  ( x ` 
2 ) )  e. 
_V )
9390, 92mprg 2625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  dom  (
x  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )
94 eqtr 2313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( dom  and c  =  dom  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x `  1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )  /\  dom  (
x  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) )  ->  dom  and c  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) )
95 1nn 9773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  1  e.  NN
9695, 53pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( 1  e.  NN  /\  2  e.  NN )
9796a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
( 1  e.  NN  /\  2  e.  NN ) )
98 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )
)
9951a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
1  =/=  2 )
100 fprg 25236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( 1  e.  NN  /\  2  e.  NN )  /\  ( P  e. 
Prop  /\  Q  e.  Prop )  /\  1  =/=  2
)  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } : {
1 ,  2 } --> { P ,  Q } )
10197, 98, 99, 100syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } : { 1 ,  2 } --> { P ,  Q } )
10259sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( P  e.  Prop  ->  P  e.  ( Kleene `  NN )
)
10359sseli 3189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47  |-  ( Q  e.  Prop  ->  Q  e.  ( Kleene `  NN )
)
104102, 103anim12i 549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( P  e.  ( Kleene `  NN )  /\  Q  e.  ( Kleene `  NN )
) )
105104adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
( P  e.  (
Kleene `  NN )  /\  Q  e.  ( Kleene `  NN ) ) )
106 prssg 3786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
( P  e.  (
Kleene `  NN )  /\  Q  e.  ( Kleene `  NN ) )  <->  { P ,  Q }  C_  ( Kleene `
 NN ) ) )
107106adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
( ( P  e.  ( Kleene `  NN )  /\  Q  e.  ( Kleene `
 NN ) )  <->  { P ,  Q }  C_  ( Kleene `  NN )
) )
108105, 107mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  ->  { P ,  Q }  C_  ( Kleene `  NN )
)
109 pm3.22 436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  ( P  e.  a  /\  Q  e.  a ) )
110109adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
( P  e.  a  /\  Q  e.  a ) )
111 prssg 3786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
( P  e.  a  /\  Q  e.  a )  <->  { P ,  Q }  C_  a ) )
112111adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
( ( P  e.  a  /\  Q  e.  a )  <->  { P ,  Q }  C_  a
) )
113110, 112mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  ->  { P ,  Q }  C_  a )
114 ssin 3404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45  |-  ( ( { P ,  Q }  C_  ( Kleene `  NN )  /\  { P ,  Q }  C_  a )  <->  { P ,  Q }  C_  ( ( Kleene `  NN )  i^i  a ) )
115114a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
( ( { P ,  Q }  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  { P ,  Q }  C_  a )  <->  { P ,  Q }  C_  (
( Kleene `  NN )  i^i  a ) ) )
116108, 113, 115mpbi2and 887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  ->  { P ,  Q }  C_  ( ( Kleene `  NN )  i^i  a ) )
117 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } : { 1 ,  2 } --> { P ,  Q }  /\  { P ,  Q }  C_  ( ( Kleene `  NN )  i^i  a ) )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } : {
1 ,  2 } --> ( ( Kleene `  NN )  i^i  a ) )
118101, 116, 117syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } : { 1 ,  2 } --> ( (
Kleene `  NN )  i^i  a ) )
1191inex1 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44  |-  ( (
Kleene `  NN )  i^i  a )  e.  _V
120119, 68pm3.2i 441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  i^i  a )  e.  _V  /\ 
{ 1 ,  2 }  e.  _V )
121 elmapg 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43  |-  ( ( ( ( Kleene `  NN )  i^i  a )  e. 
_V  /\  { 1 ,  2 }  e.  _V )  ->  ( {
<. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( ( ( Kleene `  NN )  i^i  a )  ^m  {
1 ,  2 } )  <->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } : { 1 ,  2 } --> ( (
Kleene `  NN )  i^i  a ) ) )
122120, 121mp1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  -> 
( { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( ( ( Kleene `  NN )  i^i  a )  ^m  { 1 ,  2 } )  <->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } : { 1 ,  2 } --> ( (
Kleene `  NN )  i^i  a ) ) )
123118, 122mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( ( ( Kleene `  NN )  i^i  a )  ^m  {
1 ,  2 } ) )
1241, 68selsubf3 26094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  i^i  ~P ( _V  X.  a
) )  =  ( ( ( Kleene `  NN )  i^i  a )  ^m  { 1 ,  2 } )
125123, 124syl6eleqr 2387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e. 
Prop ) )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) )
126125ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  ( ( P  e. 
Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ) )
127 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41  |-  ( dom 
and c  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  ->  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) )  =  ( ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) )
128127eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40  |-  ( dom 
and c  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  ->  ( { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( dom 
and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) )  <->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ) )
129128imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39  |-  ( dom 
and c  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  ->  (
( ( P  e. 
Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) )  <->  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  Q >. }  e.  ( ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ) ) )
130126, 129syl5ibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( dom 
and c  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  ->  (
( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  Q >. }  e.  ( dom 
and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ) ) )
13194, 130syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( dom  and c  =  dom  ( x  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x `  1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )  /\  dom  (
x  e.  ( (
Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } )  |->  ( (  /\ c  conc  ( x ` 
1 ) )  conc  ( x `  2 ) ) )  =  ( ( Kleene `  NN )  ^m  { 1 ,  2 } ) )  -> 
( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  (
( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( dom 
and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ) ) )
13289, 93, 131mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  ( ( P  e. 
Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ) )
133 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( j  =  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  ->  ( and c `  j )  =  ( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } ) )
134133eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( j  =  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  ->  (
( and c `  j )  e.  a  <-> 
( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } )  e.  a ) )
135134rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( {
<. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. }  e.  ( dom 
and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) )  ->  ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  ->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. , 
<. 2 ,  Q >. } )  e.  a ) )
136132, 135syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  ( ( P  e. 
Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j
)  e.  a  -> 
( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } )  e.  a ) ) )
137136com3r 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j )  e.  a  ->  ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  (
( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } )  e.  a ) ) )
1381373imp 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )
)  ->  ( and c `  { <. 1 ,  P >. ,  <. 2 ,  Q >. } )  e.  a )
13988, 138eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a
) ) ( and c `  j )  e.  a  /\  ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  /\  ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )
)  ->  ( (  /\ c  conc  P ) 
conc  Q )  e.  a )
1401393exp 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( A. j  e.  ( dom  and c  i^i  ~P ( _V  X.  a ) ) ( and c `  j )  e.  a  ->  ( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  (
( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
14127, 140syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a  /\  and c  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  -> 
( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  (
( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
14221, 141mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a  ->  (
( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
(  /\ c  conc  P )  conc  Q )  e.  a ) ) )
143142adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( ( Q  e.  a  /\  P  e.  a )  ->  (
( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
14413, 143syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( Q  e.  a  /\  P  e.  a ) )  ->  (
( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
145144com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( Q  e.  a  /\  P  e.  a ) )  ->  (
( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
14612, 145syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
)  ->  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
147146com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
( ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
)  ->  ( (
( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
148147alimdv 1611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  ( A. a ( ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
)  ->  A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
149148expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Q  e.  Prop  ->  ( P  e.  Prop  ->  ( A. a ( ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
)  ->  A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) )
150149com3r 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( A. a ( ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  ( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
)  ->  ( Q  e.  Prop  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) )
15111, 150sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( A. a ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  /\  A. a ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )
)  ->  ( Q  e.  Prop  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) )
152151ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  ->  ( A. a ( ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( Q  e.  Prop  -> 
( P  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) )
153152com23 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  Q  e.  a )  ->  ( Q  e.  Prop  -> 
( A. a ( ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) )
15410, 153syl6bi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Q  e.  Prop  ->  ( Q  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  ->  ( Q  e. 
Prop  ->  ( A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) ) )
155154com3l 75 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Q  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  ->  ( Q  e. 
Prop  ->  ( Q  e. 
Prop  ->  ( A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) ) )
1569, 155sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Q  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  -> 
( Q  e.  Prop  -> 
( Q  e.  Prop  -> 
( A. a ( ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) ) )
157 df-prop 26145 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  Prop  =  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )
158156, 157eleq2s 2388 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Q  e.  Prop  ->  ( Q  e.  Prop  ->  ( Q  e.  Prop  ->  ( A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) ) )
159158pm2.43b 46 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Q  e.  Prop  ->  ( Q  e.  Prop  ->  ( A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) )
160159pm2.43i 43 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Q  e.  Prop  ->  ( A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( P  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) )
161160com3l 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  ->  P  e.  a )  ->  ( P  e.  Prop  -> 
( Q  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) )
1627, 161syl6bi 219 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prop  ->  ( P  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  ->  ( P  e. 
Prop  ->  ( Q  e. 
Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) )
163162com3l 75 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  ->  ( P  e. 
Prop  ->  ( P  e. 
Prop  ->  ( Q  e. 
Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) )
1646, 163sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  -> 
( P  e.  Prop  -> 
( P  e.  Prop  -> 
( Q  e.  Prop  ->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) )
165164, 157eleq2s 2388 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prop  ->  ( P  e.  Prop  ->  ( P  e.  Prop  ->  ( Q  e.  Prop  ->  A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) ) )
166165pm2.43b 46 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prop  ->  ( P  e.  Prop  ->  ( Q  e.  Prop  ->  A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) ) )
167166pm2.43i 43 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prop  ->  ( Q  e.  Prop  ->  A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) ) )
168167imp 418 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  A. a
( ( ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) )
169 ovex 5899 . . . . 5  |-  ( (  /\ c  conc  P
)  conc  Q )  e.  _V
170169elintab 3889 . . . 4  |-  ( ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q )  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) }  <->  A. a ( ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a )  -> 
( (  /\ c  conc  P )  conc  Q
)  e.  a ) )
171168, 170sylibr 203 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
(  /\ c  conc  P )  conc  Q )  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
172 fnckle 26148 . . . 4  |-  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) )
173 indcls2 26099 . . . . 5  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  e.  _V  /\  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  ( (
( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  = 
|^| { a  |  ( ( ( P c
" ( ZZ>= `  7
) )  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
174173eleq2d 2363 . . . 4  |-  ( ( ( Kleene `  NN )  e.  _V  /\  ( ( P c " ( ZZ>=
`  7 ) )  u.  { _|_ c } )  C_  ( Kleene `
 NN )  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) E. n  e.  NN  f  e.  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( ( Kleene `  NN )  ^m  ( 1 ... n ) ) ) )  ->  ( (
(  /\ c  conc  P )  conc  Q )  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  <->  ( (  /\ c  conc  P ) 
conc  Q )  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } ) )
1751, 2, 172, 174mp3an 1277 . . 3  |-  ( ( (  /\ c  conc  P )  conc  Q )  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) )  <->  ( (  /\ c  conc  P ) 
conc  Q )  e.  |^| { a  |  ( ( ( P c "
( ZZ>= `  7 )
)  u.  { _|_ c } )  C_  a  /\  A. f  e.  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) A. j  e.  ( dom  f  i^i 
~P ( _V  X.  a ) ) ( f `  j )  e.  a ) } )
176171, 175sylibr 203 . 2  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
(  /\ c  conc  P )  conc  Q )  e.  ( ( ( P c " ( ZZ>= ` 
7 ) )  u. 
{ _|_ c }
)  IndCls  ( { not c ,  and c ,  or s }  u.  { imp c ,  bi c } ) ) )
177176, 157syl6eleqr 2387 1  |-  ( ( P  e.  Prop  /\  Q  e.  Prop )  ->  (
(  /\ c  conc  P )  conc  Q )  e.  Prop )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1530    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ~Pcpw 3638   {csn 3653   {cpr 3654   {ctp 3655   <.cop 3656   |^|cint 3878    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   dom cdm 4705   "cima 4708   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   1c1 8754   NNcn 9762   2c2 9811   7c7 9816   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   Kleeneckln 26083    IndCls clincl 26096    conc cconc 26107    /\ ccands 26116   _|_ ccfals 26124   P ccPc 26132   not ccnotc 26134   and ccandc 26136   or scors 26138   imp ccimpc 26140   bi ccbic 26142   Propcprop 26144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-hash 11354  df-kle 26090  df-indcls 26097  df-conc 26108  df-nots 26115  df-ands 26117  df-ors 26119  df-imps 26121  df-bis 26123  df-fals 26125  df-propvar 26133  df-notc 26135  df-andc 26137  df-orc 26139  df-impc 26141  df-bic 26143  df-prop 26145
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