MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgp0 Unicode version

Theorem pgp0 15159
Description: The identity subgroup is a  P-group for every prime  P. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgp0.1  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
pgp0  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  P pGrp  ( Gs  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem pgp0
StepHypRef Expression
1 prmnn 13011 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
21adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  NN )
32nncnd 9950 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  CC )
43exp0d 11446 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ 0 )  =  1 )
5 pgp0.1 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
6 fvex 5684 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
75, 6eqeltri 2459 . . . . 5  |-  .0.  e.  _V
8 hashsng 11576 . . . . 5  |-  (  .0. 
e.  _V  ->  ( # `  {  .0.  } )  =  1 )
97, 8ax-mp 8 . . . 4  |-  ( # `  {  .0.  } )  =  1
1050subg 14894 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G
) )
1110adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G ) )
12 eqid 2389 . . . . . . 7  |-  ( Gs  {  .0.  } )  =  ( Gs  {  .0.  } )
1312subgbas 14877 . . . . . 6  |-  ( {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G )  ->  {  .0.  }  =  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) )
1411, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  {  .0.  }  =  (
Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) )
1514fveq2d 5674 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( # `  {  .0.  } )  =  ( # `  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) ) )
169, 15syl5eqr 2435 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  =  ( # `  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) ) )
174, 16eqtr2d 2422 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( # `  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) )  =  ( P ^ 0 ) )
1812subggrp 14876 . . . 4  |-  ( {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( Gs  {  .0.  } )  e. 
Grp )
1911, 18syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( Gs  {  .0.  } )  e.  Grp )
20 simpr 448 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
21 0nn0 10170 . . . 4  |-  0  e.  NN0
2221a1i 11 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
0  e.  NN0 )
23 eqid 2389 . . . 4  |-  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) )  =  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) )
2423pgpfi1 15158 . . 3  |-  ( ( ( Gs  {  .0.  } )  e.  Grp  /\  P  e.  Prime  /\  0  e.  NN0 )  ->  ( ( # `
 ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) )  =  ( P ^ 0 )  ->  P pGrp  ( Gs  {  .0.  } ) ) )
2519, 20, 22, 24syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( # `  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) )  =  ( P ^ 0 )  ->  P pGrp  ( Gs  {  .0.  } ) ) )
2617, 25mpd 15 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  P pGrp  ( Gs  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   _Vcvv 2901   {csn 3759   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   0cc0 8925   1c1 8926   NNcn 9934   NN0cn0 10155   ^cexp 11311   #chash 11547   Primecprime 13008   Basecbs 13398   ↾s cress 13399   0gc0g 13652   Grpcgrp 14614  SubGrpcsubg 14867   pGrp cpgp 15094
This theorem is referenced by:  slwn0  15178
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-disj 4126  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-omul 6667  df-er 6843  df-ec 6845  df-qs 6849  df-map 6958  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-acn 7764  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-n0 10156  df-z 10217  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-clim 12211  df-sum 12409  df-dvds 12782  df-gcd 12936  df-prm 13009  df-pc 13140  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-0g 13656  df-mnd 14619  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743  df-mulg 14744  df-subg 14870  df-eqg 14872  df-od 15096  df-pgp 15098
  Copyright terms: Public domain W3C validator