MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgp0 Unicode version

Theorem pgp0 14923
Description: The identity subgroup is a  P-group for every prime  P. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgp0.1  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
pgp0  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  P pGrp  ( Gs  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem pgp0
StepHypRef Expression
1 prmnn 12777 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
21adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  NN )
32nncnd 9778 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  CC )
43exp0d 11255 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ 0 )  =  1 )
5 pgp0.1 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
6 fvex 5555 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
75, 6eqeltri 2366 . . . . 5  |-  .0.  e.  _V
8 hashsng 11372 . . . . 5  |-  (  .0. 
e.  _V  ->  ( # `  {  .0.  } )  =  1 )
97, 8ax-mp 8 . . . 4  |-  ( # `  {  .0.  } )  =  1
1050subg 14658 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G
) )
1110adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G ) )
12 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Gs  {  .0.  } )  =  ( Gs  {  .0.  } )
1312subgbas 14641 . . . . . 6  |-  ( {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G )  ->  {  .0.  }  =  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) )
1411, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  {  .0.  }  =  (
Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) )
1514fveq2d 5545 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( # `  {  .0.  } )  =  ( # `  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) ) )
169, 15syl5eqr 2342 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  =  ( # `  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) ) )
174, 16eqtr2d 2329 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( # `  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) )  =  ( P ^ 0 ) )
1812subggrp 14640 . . . 4  |-  ( {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( Gs  {  .0.  } )  e. 
Grp )
1911, 18syl 15 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( Gs  {  .0.  } )  e.  Grp )
20 simpr 447 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
21 0nn0 9996 . . . 4  |-  0  e.  NN0
2221a1i 10 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
0  e.  NN0 )
23 eqid 2296 . . . 4  |-  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) )  =  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) )
2423pgpfi1 14922 . . 3  |-  ( ( ( Gs  {  .0.  } )  e.  Grp  /\  P  e.  Prime  /\  0  e.  NN0 )  ->  ( ( # `
 ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) )  =  ( P ^ 0 )  ->  P pGrp  ( Gs  {  .0.  } ) ) )
2519, 20, 22, 24syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( # `  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) )  =  ( P ^ 0 )  ->  P pGrp  ( Gs  {  .0.  } ) ) )
2617, 25mpd 14 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  P pGrp  ( Gs  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   _Vcvv 2801   {csn 3653   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   0cc0 8753   1c1 8754   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ^cexp 11120   #chash 11353   Primecprime 12774   Basecbs 13164   ↾s cress 13165   0gc0g 13416   Grpcgrp 14378  SubGrpcsubg 14631   pGrp cpgp 14858
This theorem is referenced by:  slwn0  14942
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mnd 14383  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-eqg 14636  df-od 14860  df-pgp 14862
  Copyright terms: Public domain W3C validator