MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgp0 Structured version   Unicode version

Theorem pgp0 15222
Description: The identity subgroup is a  P-group for every prime  P. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pgp0.1  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
Assertion
Ref Expression
pgp0  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  P pGrp  ( Gs  {  .0.  } ) )

Proof of Theorem pgp0
StepHypRef Expression
1 prmnn 13074 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
21adantl 453 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  NN )
32nncnd 10008 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  CC )
43exp0d 11509 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P ^ 0 )  =  1 )
5 pgp0.1 . . . . . 6  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
6 fvex 5734 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  G )  e. 
_V
75, 6eqeltri 2505 . . . . 5  |-  .0.  e.  _V
8 hashsng 11639 . . . . 5  |-  (  .0. 
e.  _V  ->  ( # `  {  .0.  } )  =  1 )
97, 8ax-mp 8 . . . 4  |-  ( # `  {  .0.  } )  =  1
1050subg 14957 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G
) )
1110adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G ) )
12 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( Gs  {  .0.  } )  =  ( Gs  {  .0.  } )
1312subgbas 14940 . . . . . 6  |-  ( {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G )  ->  {  .0.  }  =  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) )
1411, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  {  .0.  }  =  (
Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) )
1514fveq2d 5724 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( # `  {  .0.  } )  =  ( # `  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) ) )
169, 15syl5eqr 2481 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
1  =  ( # `  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) ) )
174, 16eqtr2d 2468 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( # `  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) )  =  ( P ^ 0 ) )
1812subggrp 14939 . . . 4  |-  ( {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( Gs  {  .0.  } )  e. 
Grp )
1911, 18syl 16 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( Gs  {  .0.  } )  e.  Grp )
20 simpr 448 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
21 0nn0 10228 . . . 4  |-  0  e.  NN0
2221a1i 11 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
0  e.  NN0 )
23 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) )  =  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) )
2423pgpfi1 15221 . . 3  |-  ( ( ( Gs  {  .0.  } )  e.  Grp  /\  P  e.  Prime  /\  0  e.  NN0 )  ->  ( ( # `
 ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) )  =  ( P ^ 0 )  ->  P pGrp  ( Gs  {  .0.  } ) ) )
2519, 20, 22, 24syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( # `  ( Base `  ( Gs  {  .0.  } ) ) )  =  ( P ^ 0 )  ->  P pGrp  ( Gs  {  .0.  } ) ) )
2617, 25mpd 15 1  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  P  e.  Prime )  ->  P pGrp  ( Gs  {  .0.  } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   _Vcvv 2948   {csn 3806   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   0cc0 8982   1c1 8983   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ^cexp 11374   #chash 11610   Primecprime 13071   Basecbs 13461   ↾s cress 13462   0gc0g 13715   Grpcgrp 14677  SubGrpcsubg 14930   pGrp cpgp 15157
This theorem is referenced by:  slwn0  15241
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-pc 13203  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mnd 14682  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-eqg 14935  df-od 15159  df-pgp 15161
  Copyright terms: Public domain W3C validator