Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac Structured version   Unicode version

Theorem pgpfac 15635
 Description: Full factorization of a finite abelian p-group, by iterating pgpfac1 15631. There is a direct product decomposition of any abelian group of prime-power order into cyclic subgroups. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.) (Revised by Mario Carneiro, 3-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac.b
pgpfac.c SubGrp s CycGrp pGrp
pgpfac.g
pgpfac.p pGrp
pgpfac.f
Assertion
Ref Expression
pgpfac Word DProd DProd
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   ()   ()   (,)

Proof of Theorem pgpfac
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac.g . . 3
2 ablgrp 15410 . . 3
3 pgpfac.b . . . 4
43subgid 14939 . . 3 SubGrp
51, 2, 43syl 19 . 2 SubGrp
6 pgpfac.f . . 3
7 eleq1 2496 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
8 eqeq2 2445 . . . . . . . 8 DProd DProd
98anbi2d 685 . . . . . . 7 DProd DProd DProd DProd
109rexbidv 2719 . . . . . 6 Word DProd DProd Word DProd DProd
117, 10imbi12d 312 . . . . 5 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
1211imbi2d 308 . . . 4 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
13 eleq1 2496 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
14 eqeq2 2445 . . . . . . . 8 DProd DProd
1514anbi2d 685 . . . . . . 7 DProd DProd DProd DProd
1615rexbidv 2719 . . . . . 6 Word DProd DProd Word DProd DProd
1713, 16imbi12d 312 . . . . 5 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
1817imbi2d 308 . . . 4 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
19 bi2.04 351 . . . . . . . . 9 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
2019imbi2i 304 . . . . . . . 8 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
21 bi2.04 351 . . . . . . . 8 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
22 bi2.04 351 . . . . . . . 8 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
2320, 21, 223bitr4i 269 . . . . . . 7 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
2423albii 1575 . . . . . 6 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
25 df-ral 2703 . . . . . 6 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
26 r19.21v 2786 . . . . . 6 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
2724, 25, 263bitr2i 265 . . . . 5 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
28 pgpfac.c . . . . . . . . 9 SubGrp s CycGrp pGrp
291adantr 452 . . . . . . . . 9 SubGrp Word DProd DProd SubGrp
30 pgpfac.p . . . . . . . . . 10 pGrp
3130adantr 452 . . . . . . . . 9 SubGrp Word DProd DProd SubGrp pGrp
326adantr 452 . . . . . . . . 9 SubGrp Word DProd DProd SubGrp
33 simprr 734 . . . . . . . . 9 SubGrp Word DProd DProd SubGrp SubGrp
34 simprl 733 . . . . . . . . . 10 SubGrp Word DProd DProd SubGrp SubGrp Word DProd DProd
35 psseq1 3427 . . . . . . . . . . . 12
36 eqeq2 2445 . . . . . . . . . . . . . 14 DProd DProd
3736anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . 13 DProd DProd DProd DProd
3837rexbidv 2719 . . . . . . . . . . . 12 Word DProd DProd Word DProd DProd
3935, 38imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11 Word DProd DProd Word DProd DProd
4039cbvralv 2925 . . . . . . . . . 10 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
4134, 40sylib 189 . . . . . . . . 9 SubGrp Word DProd DProd SubGrp SubGrp Word DProd DProd
423, 28, 29, 31, 32, 33, 41pgpfaclem3 15634 . . . . . . . 8 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
4342exp32 589 . . . . . . 7 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
4443a1i 11 . . . . . 6 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
4544a2d 24 . . . . 5 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
4627, 45syl5bi 209 . . . 4 SubGrp Word DProd DProd SubGrp Word DProd DProd
4712, 18, 46findcard3 7343 . . 3 SubGrp Word DProd DProd
486, 47mpcom 34 . 2 SubGrp Word DProd DProd
495, 48mpd 15 1 Word DProd DProd
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725  wral 2698  wrex 2699  crab 2702   cin 3312   wpss 3314   class class class wbr 4205   cdm 4871   crn 4872  cfv 5447  (class class class)co 6074  cfn 7102  Word cword 11710  cbs 13462   ↾s cress 13463  cgrp 14678  SubGrpcsubg 14931   pGrp cpgp 15158  cabel 15406  CycGrpccyg 15480   DProd cdprd 15547 This theorem is referenced by:  ablfaclem3  15638 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694  ax-inf2 7589  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040  ax-1cn 9041  ax-icn 9042  ax-addcl 9043  ax-addrcl 9044  ax-mulcl 9045  ax-mulrcl 9046  ax-mulcom 9047  ax-addass 9048  ax-mulass 9049  ax-distr 9050  ax-i2m1 9051  ax-1ne0 9052  ax-1rid 9053  ax-rnegex 9054  ax-rrecex 9055  ax-cnre 9056  ax-pre-lttri 9057  ax-pre-lttrn 9058  ax-pre-ltadd 9059  ax-pre-mulgt0 9060  ax-pre-sup 9061 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-pss 3329  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-tp 3815  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-disj 4176  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-tr 4296  df-eprel 4487  df-id 4491  df-po 4496  df-so 4497  df-fr 4534  df-se 4535  df-we 4536  df-ord 4577  df-on 4578  df-lim 4579  df-suc 4580  df-om 4839  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-isom 5456  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-of 6298  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-tpos 6472  df-rpss 6515  df-riota 6542  df-recs 6626  df-rdg 6661  df-1o 6717  df-2o 6718  df-oadd 6721  df-omul 6722  df-er 6898  df-ec 6900  df-qs 6904  df-map 7013  df-ixp 7057  df-en 7103  df-dom 7104  df-sdom 7105  df-fin 7106  df-sup 7439  df-oi 7472  df-card 7819  df-acn 7822  df-cda 8041  df-pnf 9115  df-mnf 9116  df-xr 9117  df-ltxr 9118  df-le 9119  df-sub 9286  df-neg 9287  df-div 9671  df-nn 9994  df-2 10051  df-3 10052  df-n0 10215  df-z 10276  df-uz 10482  df-q 10568  df-rp 10606  df-fz 11037  df-fzo 11129  df-fl 11195  df-mod 11244  df-seq 11317  df-exp 11376  df-fac 11560  df-bc 11587  df-hash 11612  df-word 11716  df-concat 11717  df-s1 11718  df-cj 11897  df-re 11898  df-im 11899  df-sqr 12033  df-abs 12034  df-clim 12275  df-sum 12473  df-dvds 12846  df-gcd 13000  df-prm 13073  df-pc 13204  df-ndx 13465  df-slot 13466  df-base 13467  df-sets 13468  df-ress 13469  df-plusg 13535  df-0g 13720  df-gsum 13721  df-mre 13804  df-mrc 13805  df-acs 13807  df-mnd 14683  df-mhm 14731  df-submnd 14732  df-grp 14805  df-minusg 14806  df-sbg 14807  df-mulg 14808  df-subg 14934  df-eqg 14936  df-ghm 14997  df-gim 15039  df-ga 15060  df-cntz 15109  df-oppg 15135  df-od 15160  df-gex 15161  df-pgp 15162  df-lsm 15263  df-pj1 15264  df-cmn 15407  df-abl 15408  df-cyg 15481  df-dprd 15549
 Copyright terms: Public domain W3C validator