Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1 Structured version   Unicode version

Theorem pgpfac1 15628
 Description: Factorization of a finite abelian p-group. There is a direct product decomposition of any abelian group of prime-power order where one of the factors is cyclic and generated by an element of maximal order. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k mrClsSubGrp
pgpfac1.s
pgpfac1.b
pgpfac1.o
pgpfac1.e gEx
pgpfac1.z
pgpfac1.l
pgpfac1.p pGrp
pgpfac1.g
pgpfac1.n
pgpfac1.oe
pgpfac1.ab
Assertion
Ref Expression
pgpfac1 SubGrp
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem pgpfac1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3
2 ablgrp 15407 . . 3
3 pgpfac1.b . . . 4
43subgid 14936 . . 3 SubGrp
51, 2, 43syl 19 . 2 SubGrp
6 pgpfac1.ab . 2
7 pgpfac1.n . . 3
8 eleq1 2495 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
9 eleq2 2496 . . . . . . 7
108, 9anbi12d 692 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
11 eqeq2 2444 . . . . . . . 8
1211anbi2d 685 . . . . . . 7
1312rexbidv 2718 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
1410, 13imbi12d 312 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
1514imbi2d 308 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
16 eleq1 2495 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
17 eleq2 2496 . . . . . . 7
1816, 17anbi12d 692 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
19 eqeq2 2444 . . . . . . . 8
2019anbi2d 685 . . . . . . 7
2120rexbidv 2718 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
2218, 21imbi12d 312 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
2322imbi2d 308 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
24 bi2.04 351 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
25 impexp 434 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
2625imbi2i 304 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
27 impexp 434 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp SubGrp
2827imbi2i 304 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
2924, 26, 283bitr4i 269 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
3029imbi2i 304 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
31 bi2.04 351 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
32 bi2.04 351 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
3330, 31, 323bitr4i 269 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
3433albii 1575 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
35 df-ral 2702 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
36 r19.21v 2785 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
3734, 35, 363bitr2i 265 . . . . . 6 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
38 psseq1 3426 . . . . . . . . . . 11
39 eleq2 2496 . . . . . . . . . . 11
4038, 39anbi12d 692 . . . . . . . . . 10
41 ineq2 3528 . . . . . . . . . . . . . 14
4241eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . 13
43 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . 14
4443eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . . . 13
4542, 44anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12
4645cbvrexv 2925 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp
47 eqeq2 2444 . . . . . . . . . . . . 13
4847anbi2d 685 . . . . . . . . . . . 12
4948rexbidv 2718 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp
5046, 49syl5bb 249 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp
5140, 50imbi12d 312 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp
5251cbvralv 2924 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
53 pgpfac1.k . . . . . . . . . 10 mrClsSubGrp
54 pgpfac1.s . . . . . . . . . 10
55 pgpfac1.o . . . . . . . . . 10
56 pgpfac1.e . . . . . . . . . 10 gEx
57 pgpfac1.z . . . . . . . . . 10
58 pgpfac1.l . . . . . . . . . 10
59 pgpfac1.p . . . . . . . . . . 11 pGrp
6059adantr 452 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp pGrp
611adantr 452 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp
627adantr 452 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp
63 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . 11
6463adantr 452 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp
65 simprrl 741 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
66 simprrr 742 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp
67 simprl 733 . . . . . . . . . . 11 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
6867, 52sylib 189 . . . . . . . . . 10 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
6953, 54, 3, 55, 56, 57, 58, 60, 61, 62, 64, 65, 66, 68pgpfac1lem5 15627 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
7069exp32 589 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
7152, 70syl5bir 210 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
7271a2i 13 . . . . . 6 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
7337, 72sylbi 188 . . . . 5 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
7473a1i 11 . . . 4 SubGrp SubGrp SubGrp SubGrp
7515, 23, 74findcard3 7342 . . 3 SubGrp SubGrp
767, 75mpcom 34 . 2 SubGrp SubGrp
775, 6, 76mp2and 661 1 SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 359  wal 1549   wceq 1652   wcel 1725  wral 2697  wrex 2698   cin 3311   wpss 3313  csn 3806   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  cbs 13459  c0g 13713  mrClscmrc 13798  cgrp 14675  SubGrpcsubg 14928  cod 15153  gExcgex 15154   pGrp cpgp 15155  clsm 15258  cabel 15403 This theorem is referenced by:  pgpfaclem3  15631 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-rpss 6514  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-acn 7819  df-cda 8038  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-q 10565  df-rp 10603  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-mod 11241  df-seq 11314  df-exp 11373  df-fac 11557  df-bc 11584  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-sum 12470  df-dvds 12843  df-gcd 12997  df-prm 13070  df-pc 13201  df-ndx 13462  df-slot 13463  df-base 13464  df-sets 13465  df-ress 13466  df-plusg 13532  df-0g 13717  df-mre 13801  df-mrc 13802  df-acs 13804  df-mnd 14680  df-submnd 14729  df-grp 14802  df-minusg 14803  df-sbg 14804  df-mulg 14805  df-subg 14931  df-eqg 14933  df-ga 15057  df-cntz 15106  df-od 15157  df-gex 15158  df-pgp 15159  df-lsm 15260  df-cmn 15404  df-abl 15405
 Copyright terms: Public domain W3C validator