MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1 Unicode version

Theorem pgpfac1 15315
Description: Factorization of a finite abelian p-group. There is a direct product decomposition of any abelian group of prime-power order where one of the factors is cyclic and generated by an element of maximal order. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
pgpfac1.s  |-  S  =  ( K `  { A } )
pgpfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgpfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
pgpfac1.e  |-  E  =  (gEx `  G )
pgpfac1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pgpfac1.l  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pgpfac1.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
pgpfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
pgpfac1.n  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
pgpfac1.oe  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
pgpfac1.ab  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  B ) )
Distinct variable groups:    t,  .0.    t, A    t,  .(+)    t, P   
t, B    t, G    t, S    ph, t    t, K
Allowed substitution hints:    E( t)    O( t)

Proof of Theorem pgpfac1
Dummy variables  s  u  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
2 ablgrp 15094 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
3 pgpfac1.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
43subgid 14623 . . 3  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  (SubGrp `  G )
)
51, 2, 43syl 18 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  (SubGrp `  G ) )
6 pgpfac1.ab . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
7 pgpfac1.n . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
8 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( s  =  u  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  u  e.  (SubGrp `  G ) ) )
9 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( s  =  u  ->  ( A  e.  s  <->  A  e.  u ) )
108, 9anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( s  =  u  ->  (
( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  <->  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
) ) )
11 eqeq2 2292 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  u  ->  (
( S  .(+)  t )  =  s  <->  ( S  .(+) 
t )  =  u ) )
1211anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( s  =  u  ->  (
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  <->  ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  u ) ) )
1312rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( s  =  u  ->  ( E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  <->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) )
1410, 13imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( s  =  u  ->  (
( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) )  <->  ( (
u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) )
1514imbi2d 307 . . . 4  |-  ( s  =  u  ->  (
( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) ) )
16 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  (
s  e.  (SubGrp `  G )  <->  B  e.  (SubGrp `  G ) ) )
17 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  ( A  e.  s  <->  A  e.  B ) )
1816, 17anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  (
( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  <->  ( B  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  B
) ) )
19 eqeq2 2292 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  B  ->  (
( S  .(+)  t )  =  s  <->  ( S  .(+) 
t )  =  B ) )
2019anbi2d 684 . . . . . . 7  |-  ( s  =  B  ->  (
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  <->  ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  B ) ) )
2120rexbidv 2564 . . . . . 6  |-  ( s  =  B  ->  ( E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  <->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  B ) ) )
2218, 21imbi12d 311 . . . . 5  |-  ( s  =  B  ->  (
( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) )  <->  ( ( B  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  B )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  B ) ) ) )
2322imbi2d 307 . . . 4  |-  ( s  =  B  ->  (
( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( ( B  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  B )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  B ) ) ) ) )
24 bi2.04 350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  C.  u  -> 
( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( s  C.  u  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
25 impexp 433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) )  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) )
2625imbi2i 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  C.  u  -> 
( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( s  C.  u  ->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
27 impexp 433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) )  <->  ( s  C.  u  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )
2827imbi2i 303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  (
s  C.  u  ->  ( A  e.  s  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
2924, 26, 283bitr4i 268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  C.  u  -> 
( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )
3029imbi2i 303 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  ->  ( s  C.  u  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
31 bi2.04 350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  C.  u  -> 
( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( s  C.  u  -> 
( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
32 bi2.04 350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( ph  ->  ( ( s 
C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( ph  ->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
3330, 31, 323bitr4i 268 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  C.  u  -> 
( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( ph  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
3433albii 1553 . . . . . . 7  |-  ( A. s ( s  C.  u  ->  ( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  A. s ( s  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( ph  ->  ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
35 df-ral 2548 . . . . . . 7  |-  ( A. s  e.  (SubGrp `  G
) ( ph  ->  ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <->  A. s ( s  e.  (SubGrp `  G )  ->  ( ph  ->  (
( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) ) )
36 r19.21v 2630 . . . . . . 7  |-  ( A. s  e.  (SubGrp `  G
) ( ph  ->  ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )  <-> 
( ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G )
( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )
3734, 35, 363bitr2i 264 . . . . . 6  |-  ( A. s ( s  C.  u  ->  ( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  <->  ( ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) )
38 psseq1 3263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  (
x  C.  u  <->  s  C.  u ) )
39 eleq2 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  s ) )
4038, 39anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  (
( x  C.  u  /\  A  e.  x
)  <->  ( s  C.  u  /\  A  e.  s ) ) )
41 ineq2 3364 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  ( S  i^i  y )  =  ( S  i^i  t
) )
4241eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  (
( S  i^i  y
)  =  {  .0.  }  <-> 
( S  i^i  t
)  =  {  .0.  } ) )
43 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  t  ->  ( S  .(+)  y )  =  ( S  .(+)  t ) )
4443eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  t  ->  (
( S  .(+)  y )  =  x  <->  ( S  .(+) 
t )  =  x ) )
4542, 44anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  t  ->  (
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x )  <->  ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  x ) ) )
4645cbvrexv 2765 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. y  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  y )  =  x )  <->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  x ) )
47 eqeq2 2292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  s  ->  (
( S  .(+)  t )  =  x  <->  ( S  .(+) 
t )  =  s ) )
4847anbi2d 684 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  s  ->  (
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  x )  <->  ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )
4948rexbidv 2564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  s  ->  ( E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  x )  <->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )
5046, 49syl5bb 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  s  ->  ( E. y  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  y )  =  x )  <->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )
5140, 50imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  s  ->  (
( ( x  C.  u  /\  A  e.  x
)  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  <->  ( (
s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) ) )
5251cbvralv 2764 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  <->  A. s  e.  (SubGrp `  G )
( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )
53 pgpfac1.k . . . . . . . . . 10  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
54 pgpfac1.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( K `  { A } )
55 pgpfac1.o . . . . . . . . . 10  |-  O  =  ( od `  G
)
56 pgpfac1.e . . . . . . . . . 10  |-  E  =  (gEx `  G )
57 pgpfac1.z . . . . . . . . . 10  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
58 pgpfac1.l . . . . . . . . . 10  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
59 pgpfac1.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
6059adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  P pGrp  G )
611adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  G  e.  Abel )
627adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  B  e.  Fin )
63 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
6463adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  ( O `  A )  =  E )
65 simprrl 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  u  e.  (SubGrp `  G ) )
66 simprrr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  A  e.  u
)
67 simprl 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  A. x  e.  (SubGrp `  G ) ( ( x  C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  y )  =  x ) ) )
6867, 52sylib 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )
6953, 54, 3, 55, 56, 57, 58, 60, 61, 62, 64, 65, 66, 68pgpfac1lem5 15314 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A. x  e.  (SubGrp `  G
) ( ( x 
C.  u  /\  A  e.  x )  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  /\  ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u ) ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  u ) )
7069exp32 588 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. x  e.  (SubGrp `  G )
( ( x  C.  u  /\  A  e.  x
)  ->  E. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  y )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  y )  =  x ) )  -> 
( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) )
7152, 70syl5bir 209 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. s  e.  (SubGrp `  G )
( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) )  -> 
( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) )
7271a2i 12 . . . . . 6  |-  ( (
ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  u  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) )
7337, 72sylbi 187 . . . . 5  |-  ( A. s ( s  C.  u  ->  ( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) )
7473a1i 10 . . . 4  |-  ( u  e.  Fin  ->  ( A. s ( s  C.  u  ->  ( ph  ->  ( ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) ) )  ->  ( ph  ->  ( ( u  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  u
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  u ) ) ) ) )
7515, 23, 74findcard3 7100 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( ( B  e.  (SubGrp `  G
)  /\  A  e.  B )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  B ) ) ) )
767, 75mpcom 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( B  e.  (SubGrp `  G )  /\  A  e.  B
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  B ) ) )
775, 6, 76mp2and 660 1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C. wpss 3153   {csn 3640   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   Basecbs 13148   0gc0g 13400  mrClscmrc 13485   Grpcgrp 14362  SubGrpcsubg 14615   odcod 14840  gExcgex 14841   pGrp cpgp 14842   LSSumclsm 14945   Abelcabel 15090
This theorem is referenced by:  pgpfaclem3  15318
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-rpss 6277  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-eqg 14620  df-ga 14744  df-cntz 14793  df-od 14844  df-gex 14845  df-pgp 14846  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092
  Copyright terms: Public domain W3C validator