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Theorem pgpfac1lem2 15625
Description: Lemma for pgpfac1 15630. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
pgpfac1.s  |-  S  =  ( K `  { A } )
pgpfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgpfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
pgpfac1.e  |-  E  =  (gEx `  G )
pgpfac1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pgpfac1.l  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pgpfac1.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
pgpfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
pgpfac1.n  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
pgpfac1.oe  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
pgpfac1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
pgpfac1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.i  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
pgpfac1.ss  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
pgpfac1.2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w ) )
pgpfac1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
pgpfac1.mg  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem2  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
Distinct variable groups:    w, A    w, 
.(+)    w, P    w, G    w, U    w, C    w, S    w, W    ph, w    w,  .x.    w, K
Allowed substitution hints:    B( w)    E( w)    O( w)    .0. ( w)

Proof of Theorem pgpfac1lem2
Dummy variables  k 
s  t  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
21eldifbd 3325 . 2  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ( S  .(+)  W )
)
31eldifad 3324 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
43adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  C  e.  U )
5 pgpfac1.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
6 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
7 pgpprm 15219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P pGrp 
G  ->  P  e.  Prime )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
9 prmz 13075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
11 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  (.g
`  G )
1211subgmulgcl 14949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  P  e.  ZZ  /\  C  e.  U )  ->  ( P  .x.  C )  e.  U )
135, 10, 3, 12syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  C
)  e.  U )
1413adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( P  .x.  C )  e.  U
)
15 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )
1614, 15eldifd 3323 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( P  .x.  C )  e.  ( U  \  ( S 
.(+)  W ) ) )
17 pgpfac1.k . . . . . . . 8  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
18 pgpfac1.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( K `  { A } )
19 pgpfac1.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
20 pgpfac1.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( od `  G
)
21 pgpfac1.e . . . . . . . 8  |-  E  =  (gEx `  G )
22 pgpfac1.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
23 pgpfac1.l . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
24 pgpfac1.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
25 pgpfac1.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
26 pgpfac1.oe . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
27 pgpfac1.au . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
28 pgpfac1.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
29 pgpfac1.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
30 pgpfac1.ss . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
31 pgpfac1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w ) )
3217, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 6, 24, 25, 26, 5, 27, 28, 29, 30, 31pgpfac1lem1 15624 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( P  .x.  C )  e.  ( U  \  ( S 
.(+)  W ) ) )  ->  ( ( S 
.(+)  W )  .(+)  ( K `
 { ( P 
.x.  C ) } ) )  =  U )
3316, 32syldan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) )  =  U )
344, 33eleqtrrd 2512 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  C  e.  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) ) )
3534ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  ( P 
.x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( ( S  .(+)  W ) 
.(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) ) ) )
36 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
37 ablgrp 15409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
3824, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
3919subgacs 14967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS `  B )
)
4140acsmred 13873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
4219subgss 14937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  B
)
435, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  C_  B )
4443, 27sseldd 3341 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
4517mrcsncl 13829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  A  e.  B
)  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G
) )
4641, 44, 45syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
4718, 46syl5eqel 2519 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
4823lsmsubg2 15466 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
4924, 47, 28, 48syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
5043, 13sseldd 3341 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  C
)  e.  B )
5117mrcsncl 13829 . . . . . . 7  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  ( P  .x.  C
)  e.  B )  ->  ( K `  { ( P  .x.  C ) } )  e.  (SubGrp `  G
) )
5241, 50, 51syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K `  {
( P  .x.  C
) } )  e.  (SubGrp `  G )
)
5336, 23, 49, 52lsmelvalm 15277 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( S  .(+)  W ) 
.(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) )  <->  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) E. t  e.  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) C  =  ( s ( -g `  G
) t ) ) )
54 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  |->  ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )
5519, 11, 54, 17cycsubg2 14969 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( P  .x.  C )  e.  B )  -> 
( K `  {
( P  .x.  C
) } )  =  ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
5638, 50, 55syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K `  {
( P  .x.  C
) } )  =  ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
5756rexeqdv 2903 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( K `  {
( P  .x.  C
) } ) C  =  ( s (
-g `  G )
t )  <->  E. t  e.  ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) C  =  ( s ( -g `  G ) t ) ) )
58 ovex 6098 . . . . . . . . 9  |-  ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) )  e. 
_V
5958rgenw 2765 . . . . . . . 8  |-  A. k  e.  ZZ  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) )  e.  _V
60 oveq2 6081 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) )  ->  ( s
( -g `  G ) t )  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
6160eqeq2d 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) )  ->  ( C  =  ( s (
-g `  G )
t )  <->  C  =  ( s ( -g `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
6254, 61rexrnmpt 5871 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ZZ  (
k  .x.  ( P  .x.  C ) )  e. 
_V  ->  ( E. t  e.  ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) C  =  ( s ( -g `  G ) t )  <->  E. k  e.  ZZ  C  =  ( s
( -g `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
6359, 62mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. t  e. 
ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) C  =  ( s ( -g `  G ) t )  <->  E. k  e.  ZZ  C  =  ( s
( -g `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
6457, 63bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( K `  {
( P  .x.  C
) } ) C  =  ( s (
-g `  G )
t )  <->  E. k  e.  ZZ  C  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
6564rexbidv 2718 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  ( S  .(+)  W ) E. t  e.  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) C  =  ( s ( -g `  G ) t )  <->  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) E. k  e.  ZZ  C  =  ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
66 rexcom 2861 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  ( S 
.(+)  W ) E. k  e.  ZZ  C  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  E. k  e.  ZZ  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) C  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
6738ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  G  e.  Grp )
6830, 43sstrd 3350 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  B )
6968adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S 
.(+)  W )  C_  B
)
7069sselda 3340 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  s  e.  B )
71 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  k  e.  ZZ )
7250ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( P  .x.  C )  e.  B
)
7319, 11mulgcl 14899 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  k  e.  ZZ  /\  ( P  .x.  C )  e.  B )  ->  (
k  .x.  ( P  .x.  C ) )  e.  B )
7467, 71, 72, 73syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( k  .x.  ( P  .x.  C
) )  e.  B
)
7543, 3sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
7675ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  C  e.  B )
77 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
7819, 77, 36grpsubadd 14868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( s  e.  B  /\  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) )  e.  B  /\  C  e.  B ) )  -> 
( ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  C  <->  ( C
( +g  `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  s ) )
7967, 70, 74, 76, 78syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  C  <-> 
( C ( +g  `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  s ) )
80 1z 10303 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ZZ
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  1  e.  ZZ )
8210ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  P  e.  ZZ )
8371, 82zmulcld 10373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( k  x.  P )  e.  ZZ )
8419, 11, 77mulgdir 14907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  ( k  x.  P
)  e.  ZZ  /\  C  e.  B )
)  ->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C )  =  ( ( 1  .x. 
C ) ( +g  `  G ) ( ( k  x.  P ) 
.x.  C ) ) )
8567, 81, 83, 76, 84syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C )  =  ( ( 1  .x. 
C ) ( +g  `  G ) ( ( k  x.  P ) 
.x.  C ) ) )
8619, 11mulg1 14889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  B  ->  (
1  .x.  C )  =  C )
8776, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( 1 
.x.  C )  =  C )
8819, 11mulgass 14912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  C  e.  B )
)  ->  ( (
k  x.  P ) 
.x.  C )  =  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )
8967, 71, 82, 76, 88syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
k  x.  P ) 
.x.  C )  =  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )
9087, 89oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
1  .x.  C )
( +g  `  G ) ( ( k  x.  P )  .x.  C
) )  =  ( C ( +g  `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
9185, 90eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C )  =  ( C ( +g  `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
9291eqeq1d 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  =  s  <->  ( C
( +g  `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  s ) )
9379, 92bitr4d 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  C  <-> 
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  =  s ) )
94 eqcom 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  C )
95 eqcom 2437 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  <->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C )  =  s )
9693, 94, 953bitr4g 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( C  =  ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  s  =  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) ) )
9796rexbidva 2714 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. s  e.  ( S 
.(+)  W ) C  =  ( s ( -g `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) s  =  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) ) )
98 risset 2745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  <->  E. s  e.  ( S  .(+)  W )
s  =  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )
9997, 98syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. s  e.  ( S 
.(+)  W ) C  =  ( s ( -g `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) )  <-> 
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
10099rexbidva 2714 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  ZZ  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) C  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
10166, 100syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  ( S  .(+)  W ) E. k  e.  ZZ  C  =  ( s
( -g `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
10253, 65, 1013bitrd 271 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( S  .(+)  W ) 
.(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
10335, 102sylibd 206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  ( P 
.x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
10438adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  G  e. 
Grp )
10575adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  C  e.  B )
106 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  ZZ )
107 zmulcl 10316 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  P
)  e.  ZZ )
108106, 10, 107syl2anr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  P )  e.  ZZ )
109 zaddcl 10309 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( k  x.  P
)  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  ( k  x.  P
) )  e.  ZZ )
11080, 108, 109sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  ( k  x.  P ) )  e.  ZZ )
11119, 20odcl 15166 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  B  ->  ( O `  C )  e.  NN0 )
112105, 111syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( O `
 C )  e. 
NN0 )
113112nn0zd 10365 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( O `
 C )  e.  ZZ )
114 hashcl 11631 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
11525, 114syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
116115nn0zd 10365 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
117116adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( # `  B )  e.  ZZ )
118 gcdcom 13012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  gcd  ( # `
 B ) )  =  ( ( # `  B )  gcd  (
1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
119110, 117, 118syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  B
)  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
12019pgphash 15233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P pGrp  G  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 B )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
1216, 25, 120syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  B )
) ) )
122121adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( # `  B )  =  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  B
) ) ) )
123122oveq1d 6088 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( (
# `  B )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  ( ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
124 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
12510adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  P  e.  ZZ )
12680a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  1  e.  ZZ )
127 gcdaddm 13021 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  1 )  =  ( P  gcd  (
1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
128124, 125, 126, 127syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  1 )  =  ( P  gcd  (
1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
129 gcd1 13024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P  gcd  1 )  =  1 )
130125, 129syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  1 )  =  1 )
131128, 130eqtr3d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P
) ) )  =  1 )
13219grpbn0 14826 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
13338, 132syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
134 hashnncl 11637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( # `  B )  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
13525, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
136133, 135mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN )
1378, 136pccld 13216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 B ) )  e.  NN0 )
138137adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P 
pCnt  ( # `  B
) )  e.  NN0 )
139 rpexp1i 13113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( 1  +  ( k  x.  P ) )  e.  ZZ  /\  ( P  pCnt  ( # `  B ) )  e. 
NN0 )  ->  (
( P  gcd  (
1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 B ) ) )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1 ) )
140125, 110, 138, 139syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( P  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1 ) )
141131, 140mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1 )
142119, 123, 1413eqtrd 2471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( # `  B
) )  =  1 )
14319, 20oddvds2 15194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin  /\  C  e.  B )  ->  ( O `  C )  ||  ( # `  B
) )
14438, 25, 75, 143syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( O `  C
)  ||  ( # `  B
) )
145144adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( O `
 C )  ||  ( # `  B ) )
146 rpdvds 13116 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  e.  ZZ  /\  ( O `  C
)  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ )  /\  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( # `  B
) )  =  1  /\  ( O `  C )  ||  ( # `
 B ) ) )  ->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( O `  C ) )  =  1 )
147110, 113, 117, 142, 145, 146syl32anc 1192 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( O `  C ) )  =  1 )
14819, 20, 11odbezout 15186 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  C  e.  B  /\  ( 1  +  ( k  x.  P ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( O `  C
) )  =  1 )  ->  E. a  e.  ZZ  ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
) )  =  C )
149104, 105, 110, 147, 148syl31anc 1187 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
) )  =  C )
15049ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G )
)
151 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
15211subgmulgcl 14949 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  a  e.  ZZ  /\  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
1531523expia 1155 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
) )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
154150, 151, 153syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  (
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W )  ->  (
a  .x.  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
155 eleq1 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )  =  C  ->  (
( a  .x.  (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) )  e.  ( S 
.(+)  W )  <->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
156155imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )  =  C  ->  (
( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( a  .x.  (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) )  e.  ( S 
.(+)  W ) )  <->  ( (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) ) )
157154, 156syl5ibcom 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  (
( a  .x.  (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) )  =  C  -> 
( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S 
.(+)  W ) ) ) )
158157rexlimdva 2822 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. a  e.  ZZ  (
a  .x.  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )  =  C  ->  (
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W )  ->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) ) )
159149, 158mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
160159rexlimdva 2822 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
161103, 160syld 42 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  ( P 
.x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S  .(+)  W )
) )
1622, 161mt3d 119 1  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    i^i cin 3311    C_ wss 3312    C. wpss 3313   (/)c0 3620   {csn 3806   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ran crn 4871   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Fincfn 7101   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   ^cexp 11374   #chash 11610    || cdivides 12844    gcd cgcd 12998   Primecprime 13071    pCnt cpc 13202   Basecbs 13461   +g cplusg 13521   0gc0g 13715  Moorecmre 13799  mrClscmrc 13800  ACScacs 13802   Grpcgrp 14677   -gcsg 14680  .gcmg 14681  SubGrpcsubg 14930   odcod 15155  gExcgex 15156   pGrp cpgp 15157   LSSumclsm 15260   Abelcabel 15405
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  15628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-disj 4175  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-omul 6721  df-er 6897  df-ec 6899  df-qs 6903  df-map 7012  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-acn 7821  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-sum 12472  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-pc 13203  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-0g 13719  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-grp 14804  df-minusg 14805  df-sbg 14806  df-mulg 14807  df-subg 14933  df-eqg 14935  df-ga 15059  df-cntz 15108  df-od 15159  df-pgp 15161  df-lsm 15262  df-cmn 15406  df-abl 15407
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