Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem2 Unicode version

Theorem pgpfac1lem2 15326
 Description: Lemma for pgpfac1 15331. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k mrClsSubGrp
pgpfac1.s
pgpfac1.b
pgpfac1.o
pgpfac1.e gEx
pgpfac1.z
pgpfac1.l
pgpfac1.p pGrp
pgpfac1.g
pgpfac1.n
pgpfac1.oe
pgpfac1.u SubGrp
pgpfac1.au
pgpfac1.w SubGrp
pgpfac1.i
pgpfac1.ss
pgpfac1.2 SubGrp
pgpfac1.c
pgpfac1.mg .g
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem pgpfac1lem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.c . . 3
2 eldifn 3312 . . 3
31, 2syl 15 . 2
4 eldifi 3311 . . . . . . . 8
51, 4syl 15 . . . . . . 7
65adantr 451 . . . . . 6
7 pgpfac1.u . . . . . . . . . 10 SubGrp
8 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12 pGrp
9 pgpprm 14920 . . . . . . . . . . . 12 pGrp
108, 9syl 15 . . . . . . . . . . 11
11 prmz 12778 . . . . . . . . . . 11
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . 10
13 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . 11 .g
1413subgmulgcl 14650 . . . . . . . . . 10 SubGrp
157, 12, 5, 14syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
1615adantr 451 . . . . . . . 8
17 simpr 447 . . . . . . . 8
18 eldif 3175 . . . . . . . 8
1916, 17, 18sylanbrc 645 . . . . . . 7
20 pgpfac1.k . . . . . . . 8 mrClsSubGrp
21 pgpfac1.s . . . . . . . 8
22 pgpfac1.b . . . . . . . 8
23 pgpfac1.o . . . . . . . 8
24 pgpfac1.e . . . . . . . 8 gEx
25 pgpfac1.z . . . . . . . 8
26 pgpfac1.l . . . . . . . 8
27 pgpfac1.g . . . . . . . 8
28 pgpfac1.n . . . . . . . 8
29 pgpfac1.oe . . . . . . . 8
30 pgpfac1.au . . . . . . . 8
31 pgpfac1.w . . . . . . . 8 SubGrp
32 pgpfac1.i . . . . . . . 8
33 pgpfac1.ss . . . . . . . 8
34 pgpfac1.2 . . . . . . . 8 SubGrp
3520, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 8, 27, 28, 29, 7, 30, 31, 32, 33, 34pgpfac1lem1 15325 . . . . . . 7
3619, 35syldan 456 . . . . . 6
376, 36eleqtrrd 2373 . . . . 5
3837ex 423 . . . 4
39 eqid 2296 . . . . . 6
40 ablgrp 15110 . . . . . . . . . . . 12
4127, 40syl 15 . . . . . . . . . . 11
4222subgacs 14668 . . . . . . . . . . 11 SubGrp ACS
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . 10 SubGrp ACS
44 acsmre 13570 . . . . . . . . . 10 SubGrp ACS SubGrp Moore
4543, 44syl 15 . . . . . . . . 9 SubGrp Moore
4622subgss 14638 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
477, 46syl 15 . . . . . . . . . 10
4847, 30sseldd 3194 . . . . . . . . 9
4920mrcsncl 13530 . . . . . . . . 9 SubGrp Moore SubGrp
5045, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . 8 SubGrp
5121, 50syl5eqel 2380 . . . . . . 7 SubGrp
5226lsmsubg2 15167 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp SubGrp
5327, 51, 31, 52syl3anc 1182 . . . . . 6 SubGrp
5447, 15sseldd 3194 . . . . . . 7
5520mrcsncl 13530 . . . . . . 7 SubGrp Moore SubGrp
5645, 54, 55syl2anc 642 . . . . . 6 SubGrp
5739, 26, 53, 56lsmelvalm 14978 . . . . 5
58 eqid 2296 . . . . . . . . . 10
5922, 13, 58, 20cycsubg2 14670 . . . . . . . . 9
6041, 54, 59syl2anc 642 . . . . . . . 8
6160rexeqdv 2756 . . . . . . 7
62 ovex 5899 . . . . . . . . 9
6362rgenw 2623 . . . . . . . 8
64 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10
6564eqeq2d 2307 . . . . . . . . 9
6658, 65rexrnmpt 5686 . . . . . . . 8
6763, 66mp1i 11 . . . . . . 7
6861, 67bitrd 244 . . . . . 6
6968rexbidv 2577 . . . . 5
70 rexcom 2714 . . . . . 6
7141ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
7233, 47sstrd 3202 . . . . . . . . . . . . . 14
7372adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13
7473sselda 3193 . . . . . . . . . . . 12
75 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13
7654ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13
7722, 13mulgcl 14600 . . . . . . . . . . . . 13
7871, 75, 76, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12
7947, 5sseldd 3194 . . . . . . . . . . . . 13
8079ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
81 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13
8222, 81, 39grpsubadd 14569 . . . . . . . . . . . 12
8371, 74, 78, 80, 82syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11
84 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . . 15
8584a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14
8612ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15
8775, 86zmulcld 10139 . . . . . . . . . . . . . 14
8822, 13, 81mulgdir 14608 . . . . . . . . . . . . . 14
8971, 85, 87, 80, 88syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
9022, 13mulg1 14590 . . . . . . . . . . . . . . 15
9180, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
9222, 13mulgass 14613 . . . . . . . . . . . . . . 15
9371, 75, 86, 80, 92syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14
9491, 93oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . 13
9589, 94eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12
9695eqeq1d 2304 . . . . . . . . . . 11
9783, 96bitr4d 247 . . . . . . . . . 10
98 eqcom 2298 . . . . . . . . . 10
99 eqcom 2298 . . . . . . . . . 10
10097, 98, 993bitr4g 279 . . . . . . . . 9
101100rexbidva 2573 . . . . . . . 8
102 risset 2603 . . . . . . . 8
103101, 102syl6bbr 254 . . . . . . 7
104103rexbidva 2573 . . . . . 6
10570, 104syl5bb 248 . . . . 5
10657, 69, 1053bitrd 270 . . . 4
10738, 106sylibd 205 . . 3
10841adantr 451 . . . . . 6
10979adantr 451 . . . . . 6
110 id 19 . . . . . . . 8
111 zmulcl 10082 . . . . . . . 8
112110, 12, 111syl2anr 464 . . . . . . 7
113 zaddcl 10075 . . . . . . 7
11484, 112, 113sylancr 644 . . . . . 6
11522, 23odcl 14867 . . . . . . . . 9
116109, 115syl 15 . . . . . . . 8
117116nn0zd 10131 . . . . . . 7
118 hashcl 11366 . . . . . . . . . 10
11928, 118syl 15 . . . . . . . . 9
120119nn0zd 10131 . . . . . . . 8
121120adantr 451 . . . . . . 7
122 gcdcom 12715 . . . . . . . . 9
123114, 121, 122syl2anc 642 . . . . . . . 8
12422pgphash 14934 . . . . . . . . . . 11 pGrp
1258, 28, 124syl2anc 642 . . . . . . . . . 10
126125adantr 451 . . . . . . . . 9
127126oveq1d 5889 . . . . . . . 8
128 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
12912adantr 451 . . . . . . . . . . 11
13084a1i 10 . . . . . . . . . . 11
131 gcdaddm 12724 . . . . . . . . . . 11
132128, 129, 130, 131syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10
133 gcd1 12727 . . . . . . . . . . 11
134129, 133syl 15 . . . . . . . . . 10
135132, 134eqtr3d 2330 . . . . . . . . 9
13622grpbn0 14527 . . . . . . . . . . . . . 14
13741, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
138 hashnncl 11370 . . . . . . . . . . . . . 14
13928, 138syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
140137, 139mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12
14110, 140pccld 12919 . . . . . . . . . . 11
142141adantr 451 . . . . . . . . . 10
143 rpexp1i 12816 . . . . . . . . . 10
144129, 114, 142, 143syl3anc 1182 . . . . . . . . 9
145135, 144mpd 14 . . . . . . . 8
146123, 127, 1453eqtrd 2332 . . . . . . 7
14722, 23oddvds2 14895 . . . . . . . . 9
14841, 28, 79, 147syl3anc 1182 . . . . . . . 8
149148adantr 451 . . . . . . 7
150 rpdvds 12819 . . . . . . 7
151114, 117, 121, 146, 149, 150syl32anc 1190 . . . . . 6
15222, 23, 13odbezout 14887 . . . . . 6
153108, 109, 114, 151, 152syl31anc 1185 . . . . 5
15453ad2antrr 706 . . . . . . . 8 SubGrp
155 simpr 447 . . . . . . . 8
15613subgmulgcl 14650 . . . . . . . . 9 SubGrp
1571563expia 1153 . . . . . . . 8 SubGrp
158154, 155, 157syl2anc 642 . . . . . . 7
159 eleq1 2356 . . . . . . . 8
160159imbi2d 307 . . . . . . 7
161158, 160syl5ibcom 211 . . . . . 6
162161rexlimdva 2680 . . . . 5
163153, 162mpd 14 . . . 4
164163rexlimdva 2680 . . 3
165107, 164syld 40 . 2
1663, 165mt3d 117 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wa 358   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   cdif 3162   cin 3164   wss 3165   wpss 3166  c0 3468  csn 3653   class class class wbr 4039   cmpt 4093   crn 4706  cfv 5271  (class class class)co 5874  cfn 6879  c1 8754   caddc 8756   cmul 8758  cn 9762  cn0 9981  cz 10040  cexp 11120  chash 11353   cdivides 12547   cgcd 12701  cprime 12774   cpc 12905  cbs 13164   cplusg 13224  c0g 13416  Moorecmre 13500  mrClscmrc 13501  ACScacs 13503  cgrp 14378  csg 14381  .gcmg 14382  SubGrpcsubg 14631  cod 14856  gExcgex 14857   pGrp cpgp 14858  clsm 14961  cabel 15106 This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  15329 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-disj 4010  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-omul 6500  df-er 6676  df-ec 6678  df-qs 6682  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-0g 13420  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-grp 14505  df-minusg 14506  df-sbg 14507  df-mulg 14508  df-subg 14634  df-eqg 14636  df-ga 14760  df-cntz 14809  df-od 14860  df-pgp 14862  df-lsm 14963  df-cmn 15107  df-abl 15108
 Copyright terms: Public domain W3C validator