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Theorem pgpfac1lem2 15560
Description: Lemma for pgpfac1 15565. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
pgpfac1.s  |-  S  =  ( K `  { A } )
pgpfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgpfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
pgpfac1.e  |-  E  =  (gEx `  G )
pgpfac1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pgpfac1.l  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pgpfac1.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
pgpfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
pgpfac1.n  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
pgpfac1.oe  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
pgpfac1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
pgpfac1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.i  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
pgpfac1.ss  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
pgpfac1.2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w ) )
pgpfac1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
pgpfac1.mg  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem2  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
Distinct variable groups:    w, A    w, 
.(+)    w, P    w, G    w, U    w, C    w, S    w, W    ph, w    w,  .x.    w, K
Allowed substitution hints:    B( w)    E( w)    O( w)    .0. ( w)

Proof of Theorem pgpfac1lem2
Dummy variables  k 
s  t  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
21eldifbd 3276 . 2  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ( S  .(+)  W )
)
31eldifad 3275 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
43adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  C  e.  U )
5 pgpfac1.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
6 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
7 pgpprm 15154 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P pGrp 
G  ->  P  e.  Prime )
86, 7syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
9 prmz 13010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
11 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  (.g
`  G )
1211subgmulgcl 14884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  P  e.  ZZ  /\  C  e.  U )  ->  ( P  .x.  C )  e.  U )
135, 10, 3, 12syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  C
)  e.  U )
1413adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( P  .x.  C )  e.  U
)
15 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )
1614, 15eldifd 3274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( P  .x.  C )  e.  ( U  \  ( S 
.(+)  W ) ) )
17 pgpfac1.k . . . . . . . 8  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
18 pgpfac1.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( K `  { A } )
19 pgpfac1.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
20 pgpfac1.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( od `  G
)
21 pgpfac1.e . . . . . . . 8  |-  E  =  (gEx `  G )
22 pgpfac1.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
23 pgpfac1.l . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
24 pgpfac1.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
25 pgpfac1.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
26 pgpfac1.oe . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
27 pgpfac1.au . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
28 pgpfac1.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
29 pgpfac1.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
30 pgpfac1.ss . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
31 pgpfac1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w ) )
3217, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 6, 24, 25, 26, 5, 27, 28, 29, 30, 31pgpfac1lem1 15559 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( P  .x.  C )  e.  ( U  \  ( S 
.(+)  W ) ) )  ->  ( ( S 
.(+)  W )  .(+)  ( K `
 { ( P 
.x.  C ) } ) )  =  U )
3316, 32syldan 457 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) )  =  U )
344, 33eleqtrrd 2464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  C  e.  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) ) )
3534ex 424 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  ( P 
.x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( ( S  .(+)  W ) 
.(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) ) ) )
36 eqid 2387 . . . . . 6  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
37 ablgrp 15344 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
3824, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
3919subgacs 14902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS `  B )
)
4140acsmred 13808 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
4219subgss 14872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  B
)
435, 42syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  C_  B )
4443, 27sseldd 3292 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
4517mrcsncl 13764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  A  e.  B
)  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G
) )
4641, 44, 45syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
4718, 46syl5eqel 2471 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
4823lsmsubg2 15401 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
4924, 47, 28, 48syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
5043, 13sseldd 3292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  C
)  e.  B )
5117mrcsncl 13764 . . . . . . 7  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  ( P  .x.  C
)  e.  B )  ->  ( K `  { ( P  .x.  C ) } )  e.  (SubGrp `  G
) )
5241, 50, 51syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K `  {
( P  .x.  C
) } )  e.  (SubGrp `  G )
)
5336, 23, 49, 52lsmelvalm 15212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( S  .(+)  W ) 
.(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) )  <->  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) E. t  e.  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) C  =  ( s ( -g `  G
) t ) ) )
54 eqid 2387 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  |->  ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )
5519, 11, 54, 17cycsubg2 14904 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( P  .x.  C )  e.  B )  -> 
( K `  {
( P  .x.  C
) } )  =  ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
5638, 50, 55syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K `  {
( P  .x.  C
) } )  =  ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
5756rexeqdv 2854 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( K `  {
( P  .x.  C
) } ) C  =  ( s (
-g `  G )
t )  <->  E. t  e.  ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) C  =  ( s ( -g `  G ) t ) ) )
58 ovex 6045 . . . . . . . . 9  |-  ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) )  e. 
_V
5958rgenw 2716 . . . . . . . 8  |-  A. k  e.  ZZ  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) )  e.  _V
60 oveq2 6028 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) )  ->  ( s
( -g `  G ) t )  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
6160eqeq2d 2398 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) )  ->  ( C  =  ( s (
-g `  G )
t )  <->  C  =  ( s ( -g `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
6254, 61rexrnmpt 5818 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ZZ  (
k  .x.  ( P  .x.  C ) )  e. 
_V  ->  ( E. t  e.  ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) C  =  ( s ( -g `  G ) t )  <->  E. k  e.  ZZ  C  =  ( s
( -g `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
6359, 62mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. t  e. 
ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) C  =  ( s ( -g `  G ) t )  <->  E. k  e.  ZZ  C  =  ( s
( -g `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
6457, 63bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( K `  {
( P  .x.  C
) } ) C  =  ( s (
-g `  G )
t )  <->  E. k  e.  ZZ  C  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
6564rexbidv 2670 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  ( S  .(+)  W ) E. t  e.  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) C  =  ( s ( -g `  G ) t )  <->  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) E. k  e.  ZZ  C  =  ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
66 rexcom 2812 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  ( S 
.(+)  W ) E. k  e.  ZZ  C  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  E. k  e.  ZZ  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) C  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
6738ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  G  e.  Grp )
6830, 43sstrd 3301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  B )
6968adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S 
.(+)  W )  C_  B
)
7069sselda 3291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  s  e.  B )
71 simplr 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  k  e.  ZZ )
7250ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( P  .x.  C )  e.  B
)
7319, 11mulgcl 14834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  k  e.  ZZ  /\  ( P  .x.  C )  e.  B )  ->  (
k  .x.  ( P  .x.  C ) )  e.  B )
7467, 71, 72, 73syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( k  .x.  ( P  .x.  C
) )  e.  B
)
7543, 3sseldd 3292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
7675ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  C  e.  B )
77 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
7819, 77, 36grpsubadd 14803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( s  e.  B  /\  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) )  e.  B  /\  C  e.  B ) )  -> 
( ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  C  <->  ( C
( +g  `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  s ) )
7967, 70, 74, 76, 78syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  C  <-> 
( C ( +g  `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  s ) )
80 1z 10243 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ZZ
8180a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  1  e.  ZZ )
8210ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  P  e.  ZZ )
8371, 82zmulcld 10313 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( k  x.  P )  e.  ZZ )
8419, 11, 77mulgdir 14842 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  ( k  x.  P
)  e.  ZZ  /\  C  e.  B )
)  ->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C )  =  ( ( 1  .x. 
C ) ( +g  `  G ) ( ( k  x.  P ) 
.x.  C ) ) )
8567, 81, 83, 76, 84syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C )  =  ( ( 1  .x. 
C ) ( +g  `  G ) ( ( k  x.  P ) 
.x.  C ) ) )
8619, 11mulg1 14824 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  B  ->  (
1  .x.  C )  =  C )
8776, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( 1 
.x.  C )  =  C )
8819, 11mulgass 14847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  C  e.  B )
)  ->  ( (
k  x.  P ) 
.x.  C )  =  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )
8967, 71, 82, 76, 88syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
k  x.  P ) 
.x.  C )  =  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )
9087, 89oveq12d 6038 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
1  .x.  C )
( +g  `  G ) ( ( k  x.  P )  .x.  C
) )  =  ( C ( +g  `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
9185, 90eqtrd 2419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C )  =  ( C ( +g  `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
9291eqeq1d 2395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  =  s  <->  ( C
( +g  `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  s ) )
9379, 92bitr4d 248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  C  <-> 
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  =  s ) )
94 eqcom 2389 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  C )
95 eqcom 2389 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  <->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C )  =  s )
9693, 94, 953bitr4g 280 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( C  =  ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  s  =  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) ) )
9796rexbidva 2666 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. s  e.  ( S 
.(+)  W ) C  =  ( s ( -g `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) s  =  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) ) )
98 risset 2696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  <->  E. s  e.  ( S  .(+)  W )
s  =  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )
9997, 98syl6bbr 255 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. s  e.  ( S 
.(+)  W ) C  =  ( s ( -g `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) )  <-> 
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
10099rexbidva 2666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  ZZ  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) C  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
10166, 100syl5bb 249 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  ( S  .(+)  W ) E. k  e.  ZZ  C  =  ( s
( -g `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
10253, 65, 1013bitrd 271 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( S  .(+)  W ) 
.(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
10335, 102sylibd 206 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  ( P 
.x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
10438adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  G  e. 
Grp )
10575adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  C  e.  B )
106 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  ZZ )
107 zmulcl 10256 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  P
)  e.  ZZ )
108106, 10, 107syl2anr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  P )  e.  ZZ )
109 zaddcl 10249 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( k  x.  P
)  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  ( k  x.  P
) )  e.  ZZ )
11080, 108, 109sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  ( k  x.  P ) )  e.  ZZ )
11119, 20odcl 15101 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  B  ->  ( O `  C )  e.  NN0 )
112105, 111syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( O `
 C )  e. 
NN0 )
113112nn0zd 10305 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( O `
 C )  e.  ZZ )
114 hashcl 11566 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
11525, 114syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
116115nn0zd 10305 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
117116adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( # `  B )  e.  ZZ )
118 gcdcom 12947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  gcd  ( # `
 B ) )  =  ( ( # `  B )  gcd  (
1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
119110, 117, 118syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  B
)  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
12019pgphash 15168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P pGrp  G  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 B )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
1216, 25, 120syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  B )
) ) )
122121adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( # `  B )  =  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  B
) ) ) )
123122oveq1d 6035 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( (
# `  B )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  ( ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
124 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
12510adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  P  e.  ZZ )
12680a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  1  e.  ZZ )
127 gcdaddm 12956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  1 )  =  ( P  gcd  (
1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
128124, 125, 126, 127syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  1 )  =  ( P  gcd  (
1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
129 gcd1 12959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P  gcd  1 )  =  1 )
130125, 129syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  1 )  =  1 )
131128, 130eqtr3d 2421 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P
) ) )  =  1 )
13219grpbn0 14761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
13338, 132syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
134 hashnncl 11572 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( # `  B )  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
13525, 134syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
136133, 135mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN )
1378, 136pccld 13151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 B ) )  e.  NN0 )
138137adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P 
pCnt  ( # `  B
) )  e.  NN0 )
139 rpexp1i 13048 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( 1  +  ( k  x.  P ) )  e.  ZZ  /\  ( P  pCnt  ( # `  B ) )  e. 
NN0 )  ->  (
( P  gcd  (
1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 B ) ) )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1 ) )
140125, 110, 138, 139syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( P  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1 ) )
141131, 140mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1 )
142119, 123, 1413eqtrd 2423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( # `  B
) )  =  1 )
14319, 20oddvds2 15129 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin  /\  C  e.  B )  ->  ( O `  C )  ||  ( # `  B
) )
14438, 25, 75, 143syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( O `  C
)  ||  ( # `  B
) )
145144adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( O `
 C )  ||  ( # `  B ) )
146 rpdvds 13051 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  e.  ZZ  /\  ( O `  C
)  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ )  /\  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( # `  B
) )  =  1  /\  ( O `  C )  ||  ( # `
 B ) ) )  ->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( O `  C ) )  =  1 )
147110, 113, 117, 142, 145, 146syl32anc 1192 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( O `  C ) )  =  1 )
14819, 20, 11odbezout 15121 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  C  e.  B  /\  ( 1  +  ( k  x.  P ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( O `  C
) )  =  1 )  ->  E. a  e.  ZZ  ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
) )  =  C )
149104, 105, 110, 147, 148syl31anc 1187 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
) )  =  C )
15049ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G )
)
151 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
15211subgmulgcl 14884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  a  e.  ZZ  /\  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
1531523expia 1155 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
) )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
154150, 151, 153syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  (
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W )  ->  (
a  .x.  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
155 eleq1 2447 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )  =  C  ->  (
( a  .x.  (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) )  e.  ( S 
.(+)  W )  <->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
156155imbi2d 308 . . . . . . 7  |-  ( ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )  =  C  ->  (
( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( a  .x.  (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) )  e.  ( S 
.(+)  W ) )  <->  ( (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) ) )
157154, 156syl5ibcom 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  (
( a  .x.  (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) )  =  C  -> 
( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S 
.(+)  W ) ) ) )
158157rexlimdva 2773 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. a  e.  ZZ  (
a  .x.  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )  =  C  ->  (
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W )  ->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) ) )
159149, 158mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
160159rexlimdva 2773 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
161103, 160syld 42 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  ( P 
.x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S  .(+)  W )
) )
1622, 161mt3d 119 1  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   _Vcvv 2899    \ cdif 3260    i^i cin 3262    C_ wss 3263    C. wpss 3264   (/)c0 3571   {csn 3757   class class class wbr 4153    e. cmpt 4207   ran crn 4819   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Fincfn 7045   1c1 8924    + caddc 8926    x. cmul 8928   NNcn 9932   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   ^cexp 11309   #chash 11545    || cdivides 12779    gcd cgcd 12933   Primecprime 13006    pCnt cpc 13137   Basecbs 13396   +g cplusg 13456   0gc0g 13650  Moorecmre 13734  mrClscmrc 13735  ACScacs 13737   Grpcgrp 14612   -gcsg 14615  .gcmg 14616  SubGrpcsubg 14865   odcod 15090  gExcgex 15091   pGrp cpgp 15092   LSSumclsm 15195   Abelcabel 15340
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  15563
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-disj 4124  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6841  df-ec 6843  df-qs 6847  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-acn 7762  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-sum 12407  df-dvds 12780  df-gcd 12934  df-prm 13007  df-pc 13138  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-0g 13654  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-mulg 14742  df-subg 14868  df-eqg 14870  df-ga 14994  df-cntz 15043  df-od 15094  df-pgp 15096  df-lsm 15197  df-cmn 15341  df-abl 15342
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