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Theorem pgpfac1lem2 15310
Description: Lemma for pgpfac1 15315. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
pgpfac1.s  |-  S  =  ( K `  { A } )
pgpfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgpfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
pgpfac1.e  |-  E  =  (gEx `  G )
pgpfac1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pgpfac1.l  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pgpfac1.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
pgpfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
pgpfac1.n  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
pgpfac1.oe  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
pgpfac1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
pgpfac1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.i  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
pgpfac1.ss  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
pgpfac1.2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w ) )
pgpfac1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
pgpfac1.mg  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem2  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
Distinct variable groups:    w, A    w, 
.(+)    w, P    w, G    w, U    w, C    w, S    w, W    ph, w    w,  .x.    w, K
Allowed substitution hints:    B( w)    E( w)    O( w)    .0. ( w)

Proof of Theorem pgpfac1lem2
Dummy variables  k 
s  t  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
2 eldifn 3299 . . 3  |-  ( C  e.  ( U  \ 
( S  .(+)  W ) )  ->  -.  C  e.  ( S  .(+)  W ) )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ( S  .(+)  W )
)
4 eldifi 3298 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( U  \ 
( S  .(+)  W ) )  ->  C  e.  U )
51, 4syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
65adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  C  e.  U )
7 pgpfac1.u . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
8 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
9 pgpprm 14904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P pGrp 
G  ->  P  e.  Prime )
108, 9syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
11 prmz 12762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
1210, 11syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
13 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . 11  |-  .x.  =  (.g
`  G )
1413subgmulgcl 14634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  P  e.  ZZ  /\  C  e.  U )  ->  ( P  .x.  C )  e.  U )
157, 12, 5, 14syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  C
)  e.  U )
1615adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( P  .x.  C )  e.  U
)
17 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )
18 eldif 3162 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  .x.  C )  e.  ( U  \ 
( S  .(+)  W ) )  <->  ( ( P 
.x.  C )  e.  U  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
1916, 17, 18sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( P  .x.  C )  e.  ( U  \  ( S 
.(+)  W ) ) )
20 pgpfac1.k . . . . . . . 8  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
21 pgpfac1.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( K `  { A } )
22 pgpfac1.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
23 pgpfac1.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( od `  G
)
24 pgpfac1.e . . . . . . . 8  |-  E  =  (gEx `  G )
25 pgpfac1.z . . . . . . . 8  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
26 pgpfac1.l . . . . . . . 8  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
27 pgpfac1.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
28 pgpfac1.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
29 pgpfac1.oe . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
30 pgpfac1.au . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
31 pgpfac1.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
32 pgpfac1.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
33 pgpfac1.ss . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
34 pgpfac1.2 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w ) )
3520, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 8, 27, 28, 29, 7, 30, 31, 32, 33, 34pgpfac1lem1 15309 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( P  .x.  C )  e.  ( U  \  ( S 
.(+)  W ) ) )  ->  ( ( S 
.(+)  W )  .(+)  ( K `
 { ( P 
.x.  C ) } ) )  =  U )
3619, 35syldan 456 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) )  =  U )
376, 36eleqtrrd 2360 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  ( P  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  C  e.  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) ) )
3837ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  ( P 
.x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( ( S  .(+)  W ) 
.(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) ) ) )
39 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
40 ablgrp 15094 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
4127, 40syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4222subgacs 14652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
4341, 42syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS `  B )
)
44 acsmre 13554 . . . . . . . . . 10  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B )  -> 
(SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
4543, 44syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
4622subgss 14622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  B
)
477, 46syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  C_  B )
4847, 30sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
4920mrcsncl 13514 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  A  e.  B
)  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G
) )
5045, 48, 49syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
5121, 50syl5eqel 2367 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
5226lsmsubg2 15151 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
5327, 51, 31, 52syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
5447, 15sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  C
)  e.  B )
5520mrcsncl 13514 . . . . . . 7  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  ( P  .x.  C
)  e.  B )  ->  ( K `  { ( P  .x.  C ) } )  e.  (SubGrp `  G
) )
5645, 54, 55syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( K `  {
( P  .x.  C
) } )  e.  (SubGrp `  G )
)
5739, 26, 53, 56lsmelvalm 14962 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( S  .(+)  W ) 
.(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) )  <->  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) E. t  e.  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) C  =  ( s ( -g `  G
) t ) ) )
58 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ZZ  |->  ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )
5922, 13, 58, 20cycsubg2 14654 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( P  .x.  C )  e.  B )  -> 
( K `  {
( P  .x.  C
) } )  =  ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
6041, 54, 59syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( K `  {
( P  .x.  C
) } )  =  ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
6160rexeqdv 2743 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( K `  {
( P  .x.  C
) } ) C  =  ( s (
-g `  G )
t )  <->  E. t  e.  ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) C  =  ( s ( -g `  G ) t ) ) )
62 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) )  e. 
_V
6362rgenw 2610 . . . . . . . 8  |-  A. k  e.  ZZ  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) )  e.  _V
64 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) )  ->  ( s
( -g `  G ) t )  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
6564eqeq2d 2294 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) )  ->  ( C  =  ( s (
-g `  G )
t )  <->  C  =  ( s ( -g `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
6658, 65rexrnmpt 5670 . . . . . . . 8  |-  ( A. k  e.  ZZ  (
k  .x.  ( P  .x.  C ) )  e. 
_V  ->  ( E. t  e.  ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) C  =  ( s ( -g `  G ) t )  <->  E. k  e.  ZZ  C  =  ( s
( -g `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
6763, 66mp1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( E. t  e. 
ran  ( k  e.  ZZ  |->  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) C  =  ( s ( -g `  G ) t )  <->  E. k  e.  ZZ  C  =  ( s
( -g `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
6861, 67bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. t  e.  ( K `  {
( P  .x.  C
) } ) C  =  ( s (
-g `  G )
t )  <->  E. k  e.  ZZ  C  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
6968rexbidv 2564 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  ( S  .(+)  W ) E. t  e.  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) C  =  ( s ( -g `  G ) t )  <->  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) E. k  e.  ZZ  C  =  ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) ) )
70 rexcom 2701 . . . . . 6  |-  ( E. s  e.  ( S 
.(+)  W ) E. k  e.  ZZ  C  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  E. k  e.  ZZ  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) C  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
7141ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  G  e.  Grp )
7233, 47sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  B )
7372adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S 
.(+)  W )  C_  B
)
7473sselda 3180 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  s  e.  B )
75 simplr 731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  k  e.  ZZ )
7654ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( P  .x.  C )  e.  B
)
7722, 13mulgcl 14584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  k  e.  ZZ  /\  ( P  .x.  C )  e.  B )  ->  (
k  .x.  ( P  .x.  C ) )  e.  B )
7871, 75, 76, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( k  .x.  ( P  .x.  C
) )  e.  B
)
7947, 5sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
8079ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  C  e.  B )
81 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
8222, 81, 39grpsubadd 14553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( s  e.  B  /\  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) )  e.  B  /\  C  e.  B ) )  -> 
( ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  C  <->  ( C
( +g  `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  s ) )
8371, 74, 78, 80, 82syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  C  <-> 
( C ( +g  `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  s ) )
84 1z 10053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  ZZ
8584a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  1  e.  ZZ )
8612ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  P  e.  ZZ )
8775, 86zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( k  x.  P )  e.  ZZ )
8822, 13, 81mulgdir 14592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( 1  e.  ZZ  /\  ( k  x.  P
)  e.  ZZ  /\  C  e.  B )
)  ->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C )  =  ( ( 1  .x. 
C ) ( +g  `  G ) ( ( k  x.  P ) 
.x.  C ) ) )
8971, 85, 87, 80, 88syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C )  =  ( ( 1  .x. 
C ) ( +g  `  G ) ( ( k  x.  P ) 
.x.  C ) ) )
9022, 13mulg1 14574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  e.  B  ->  (
1  .x.  C )  =  C )
9180, 90syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( 1 
.x.  C )  =  C )
9222, 13mulgass 14597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  C  e.  B )
)  ->  ( (
k  x.  P ) 
.x.  C )  =  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )
9371, 75, 86, 80, 92syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
k  x.  P ) 
.x.  C )  =  ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )
9491, 93oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
1  .x.  C )
( +g  `  G ) ( ( k  x.  P )  .x.  C
) )  =  ( C ( +g  `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
9589, 94eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C )  =  ( C ( +g  `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) ) )
9695eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  =  s  <->  ( C
( +g  `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  s ) )
9783, 96bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  C  <-> 
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  =  s ) )
98 eqcom 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  =  ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  =  C )
99 eqcom 2285 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  <->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C )  =  s )
10097, 98, 993bitr4g 279 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  s  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( C  =  ( s (
-g `  G )
( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  s  =  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) ) )
101100rexbidva 2560 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. s  e.  ( S 
.(+)  W ) C  =  ( s ( -g `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) s  =  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) ) )
102 risset 2590 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  <->  E. s  e.  ( S  .(+)  W )
s  =  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )
103101, 102syl6bbr 254 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. s  e.  ( S 
.(+)  W ) C  =  ( s ( -g `  G ) ( k 
.x.  ( P  .x.  C ) ) )  <-> 
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
104103rexbidva 2560 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  ZZ  E. s  e.  ( S  .(+)  W ) C  =  ( s ( -g `  G
) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
10570, 104syl5bb 248 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s  e.  ( S  .(+)  W ) E. k  e.  ZZ  C  =  ( s
( -g `  G ) ( k  .x.  ( P  .x.  C ) ) )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
10657, 69, 1053bitrd 270 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( ( S  .(+)  W ) 
.(+)  ( K `  { ( P  .x.  C ) } ) )  <->  E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
10738, 106sylibd 205 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  ( P 
.x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
10841adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  G  e. 
Grp )
10979adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  C  e.  B )
110 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ZZ  ->  k  e.  ZZ )
111 zmulcl 10066 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  P
)  e.  ZZ )
112110, 12, 111syl2anr 464 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( k  x.  P )  e.  ZZ )
113 zaddcl 10059 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  ( k  x.  P
)  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  ( k  x.  P
) )  e.  ZZ )
11484, 112, 113sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  ( k  x.  P ) )  e.  ZZ )
11522, 23odcl 14851 . . . . . . . . 9  |-  ( C  e.  B  ->  ( O `  C )  e.  NN0 )
116109, 115syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( O `
 C )  e. 
NN0 )
117116nn0zd 10115 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( O `
 C )  e.  ZZ )
118 hashcl 11350 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
11928, 118syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
120119nn0zd 10115 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  ZZ )
121120adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( # `  B )  e.  ZZ )
122 gcdcom 12699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  gcd  ( # `
 B ) )  =  ( ( # `  B )  gcd  (
1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
123114, 121, 122syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( # `  B
) )  =  ( ( # `  B
)  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
12422pgphash 14918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P pGrp  G  /\  B  e.  Fin )  ->  ( # `
 B )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  B
) ) ) )
1258, 28, 124syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  B )
) ) )
126125adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( # `  B )  =  ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  B
) ) ) )
127126oveq1d 5873 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( (
# `  B )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  ( ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
128 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  k  e.  ZZ )
12912adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  P  e.  ZZ )
13084a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  1  e.  ZZ )
131 gcdaddm 12708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  1 )  =  ( P  gcd  (
1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
132128, 129, 130, 131syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  1 )  =  ( P  gcd  (
1  +  ( k  x.  P ) ) ) )
133 gcd1 12711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P  gcd  1 )  =  1 )
134129, 133syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  1 )  =  1 )
135132, 134eqtr3d 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P
) ) )  =  1 )
13622grpbn0 14511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  =/=  (/) )
13741, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
138 hashnncl 11354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  Fin  ->  (
( # `  B )  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
13928, 138syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  e.  NN  <->  B  =/=  (/) ) )
140137, 139mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN )
14110, 140pccld 12903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 B ) )  e.  NN0 )
142141adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( P 
pCnt  ( # `  B
) )  e.  NN0 )
143 rpexp1i 12800 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( 1  +  ( k  x.  P ) )  e.  ZZ  /\  ( P  pCnt  ( # `  B ) )  e. 
NN0 )  ->  (
( P  gcd  (
1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1  -> 
( ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 B ) ) )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1 ) )
144129, 114, 142, 143syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( P  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1 ) )
145135, 144mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( P ^ ( P 
pCnt  ( # `  B
) ) )  gcd  ( 1  +  ( k  x.  P ) ) )  =  1 )
146123, 127, 1453eqtrd 2319 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( # `  B
) )  =  1 )
14722, 23oddvds2 14879 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  Fin  /\  C  e.  B )  ->  ( O `  C )  ||  ( # `  B
) )
14841, 28, 79, 147syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( O `  C
)  ||  ( # `  B
) )
149148adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( O `
 C )  ||  ( # `  B ) )
150 rpdvds 12803 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  e.  ZZ  /\  ( O `  C
)  e.  ZZ  /\  ( # `  B )  e.  ZZ )  /\  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( # `  B
) )  =  1  /\  ( O `  C )  ||  ( # `
 B ) ) )  ->  ( (
1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( O `  C ) )  =  1 )
151114, 117, 121, 146, 149, 150syl32anc 1190 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( O `  C ) )  =  1 )
15222, 23, 13odbezout 14871 . . . . . 6  |-  ( ( ( G  e.  Grp  /\  C  e.  B  /\  ( 1  +  ( k  x.  P ) )  e.  ZZ )  /\  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  gcd  ( O `  C
) )  =  1 )  ->  E. a  e.  ZZ  ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
) )  =  C )
153108, 109, 114, 151, 152syl31anc 1185 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
) )  =  C )
15453ad2antrr 706 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G )
)
155 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  a  e.  ZZ )
15613subgmulgcl 14634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  a  e.  ZZ  /\  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
1571563expia 1153 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
) )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
158154, 155, 157syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  (
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W )  ->  (
a  .x.  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
159 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )  =  C  ->  (
( a  .x.  (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) )  e.  ( S 
.(+)  W )  <->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
160159imbi2d 307 . . . . . . 7  |-  ( ( a  .x.  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )  =  C  ->  (
( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( a  .x.  (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) )  e.  ( S 
.(+)  W ) )  <->  ( (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) ) )
161158, 160syl5ibcom 211 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ZZ )  /\  a  e.  ZZ )  ->  (
( a  .x.  (
( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C ) )  =  C  -> 
( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S 
.(+)  W ) ) ) )
162161rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( E. a  e.  ZZ  (
a  .x.  ( (
1  +  ( k  x.  P ) ) 
.x.  C ) )  =  C  ->  (
( ( 1  +  ( k  x.  P
) )  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W )  ->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) ) )
163153, 162mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
164163rexlimdva 2667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  ZZ  ( ( 1  +  ( k  x.  P ) )  .x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
165107, 164syld 40 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  ( P 
.x.  C )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S  .(+)  W )
) )
1663, 165mt3d 117 1  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  C
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152    C. wpss 3153   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ^cexp 11104   #chash 11337    || cdivides 12531    gcd cgcd 12685   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400  Moorecmre 13484  mrClscmrc 13485  ACScacs 13487   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365  .gcmg 14366  SubGrpcsubg 14615   odcod 14840  gExcgex 14841   pGrp cpgp 14842   LSSumclsm 14945   Abelcabel 15090
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  15313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-eqg 14620  df-ga 14744  df-cntz 14793  df-od 14844  df-pgp 14846  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092
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