MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem3 Unicode version

Theorem pgpfac1lem3 15312
Description: Lemma for pgpfac1 15315. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
pgpfac1.s  |-  S  =  ( K `  { A } )
pgpfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgpfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
pgpfac1.e  |-  E  =  (gEx `  G )
pgpfac1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pgpfac1.l  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pgpfac1.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
pgpfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
pgpfac1.n  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
pgpfac1.oe  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
pgpfac1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
pgpfac1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.i  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
pgpfac1.ss  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
pgpfac1.2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w ) )
pgpfac1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
pgpfac1.mg  |-  .x.  =  (.g
`  G )
pgpfac1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
pgpfac1.mw  |-  ( ph  ->  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  A ) )  e.  W )
pgpfac1.d  |-  D  =  ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem3  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Distinct variable groups:    t,  .0.    w, t, A    t, D, w    t,  .(+) , w    t, P, w    t, B    t, G, w    t, U, w   
t, C, w    t, S, w    t, W, w    ph, t, w    t,  .x. , w    t, K, w
Allowed substitution hints:    B( w)    E( w, t)    M( w, t)    O( w, t)    .0. ( w)

Proof of Theorem pgpfac1lem3
Dummy variables  b  x  y  a  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
2 pgpfac1.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
3 ablgrp 15094 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
41, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
5 pgpfac1.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
65subgacs 14652 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
7 acsmre 13554 . . . . 5  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B )  -> 
(SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
84, 6, 73syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
9 pgpfac1.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
105subgss 14622 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  B
)
119, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  C_  B )
12 pgpfac1.d . . . . . 6  |-  D  =  ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )
13 pgpfac1.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
14 eldifi 3298 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( U  \ 
( S  .(+)  W ) )  ->  C  e.  U )
1513, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
16 pgpfac1.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( K `  { A } )
17 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
1811, 17sseldd 3181 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
19 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
2019mrcsncl 13514 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  A  e.  B
)  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G
) )
218, 18, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
2216, 21syl5eqel 2367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
23 pgpfac1.l . . . . . . . . . . 11  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
2423lsmub1 14967 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  S  C_  ( S  .(+)  W ) )
2522, 2, 24syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  ( S  .(+) 
W ) )
26 pgpfac1.ss . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
2725, 26sstrd 3189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  U )
28 pgpfac1.o . . . . . . . . . . . 12  |-  O  =  ( od `  G
)
29 pgpfac1.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  (gEx `  G )
30 pgpfac1.z . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
31 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
32 pgpfac1.n . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
33 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
34 pgpfac1.i . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
35 pgpfac1.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w ) )
36 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . . 12  |-  .x.  =  (.g
`  G )
37 pgpfac1.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
38 pgpfac1.mw . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  A ) )  e.  W )
3919, 16, 5, 28, 29, 30, 23, 31, 1, 32, 33, 9, 17, 2, 34, 26, 35, 13, 36, 37, 38pgpfac1lem3a 15311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  ||  E  /\  P  ||  M ) )
4039simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  M )
41 pgpprm 14904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P pGrp 
G  ->  P  e.  Prime )
4231, 41syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
43 prmz 12762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
45 prmnn 12761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
4642, 45syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
4746nnne0d 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
48 dvdsval2 12534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  M  <->  ( M  /  P )  e.  ZZ ) )
4944, 47, 37, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  ||  M  <->  ( M  /  P )  e.  ZZ ) )
5040, 49mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  /  P
)  e.  ZZ )
5118snssd 3760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { A }  C_  B )
5219mrcssid 13519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  { A }  C_  B )  ->  { A }  C_  ( K `  { A } ) )
538, 51, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { A }  C_  ( K `  { A } ) )
5453, 16syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { A }  C_  S )
55 snssg 3754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  U  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S ) )
5617, 55syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S
) )
5754, 56mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
5836subgmulgcl 14634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( M  /  P )  e.  ZZ  /\  A  e.  S )  ->  (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  S )
5922, 50, 57, 58syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  S )
6027, 59sseldd 3181 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  U )
61 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
6261subgcl 14631 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  C  e.  U  /\  (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  U )  ->  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) )  e.  U )
639, 15, 60, 62syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  e.  U )
6412, 63syl5eqel 2367 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  U )
6511, 64sseldd 3181 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  B )
6619mrcsncl 13514 . . . 4  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  D  e.  B
)  ->  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G
) )
678, 65, 66syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G ) )
6823lsmsubg2 15151 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  W  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( W  .(+)  ( K `
 { D }
) )  e.  (SubGrp `  G ) )
691, 2, 67, 68syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) )  e.  (SubGrp `  G ) )
70 eqid 2283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
7170, 23, 2, 67lsmelvalm 14962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  <->  E. w  e.  W  E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y ) ) )
72 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  D ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) )
735, 36, 72, 19cycsubg2 14654 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  D  e.  B )  ->  ( K `  { D } )  =  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) )
744, 65, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K `  { D } )  =  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) )
7574rexeqdv 2743 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y )  <->  E. y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) x  =  ( w ( -g `  G
) y ) ) )
76 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n 
.x.  D )  e. 
_V
7776rgenw 2610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. n  e.  ZZ  ( n  .x.  D )  e.  _V
78 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( n  .x.  D )  ->  (
w ( -g `  G
) y )  =  ( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) ) )
7978eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( n  .x.  D )  ->  (
x  =  ( w ( -g `  G
) y )  <->  x  =  ( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) ) ) )
8072, 79rexrnmpt 5670 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  ZZ  (
n  .x.  D )  e.  _V  ->  ( E. y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  D ) ) x  =  ( w ( -g `  G
) y )  <->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) ) ) )
8177, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) x  =  ( w ( -g `  G
) y )  <->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) ) )
8275, 81syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y )  <->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
8382rexbidv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  W  E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y )  <->  E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
8471, 83bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  <->  E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
8584adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) )  <->  E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
86 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )
872ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  W  e.  (SubGrp `  G
) )
88 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  w  e.  W )
89 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  n  e.  ZZ )
9089zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  n  e.  CC )
9146nncnd 9762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
9291ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  e.  CC )
9347ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  =/=  0 )
9490, 92, 93divcan1d 9537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( n  /  P )  x.  P
)  =  n )
9594oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( ( n  /  P )  x.  P )  .x.  D
)  =  ( n 
.x.  D ) )
964ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  G  e.  Grp )
97 eldifn 3299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( C  e.  ( U  \ 
( S  .(+)  W ) )  ->  -.  C  e.  ( S  .(+)  W ) )
9813, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ( S  .(+)  W )
)
9923lsmsubg2 15151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
1001, 22, 2, 99syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
10125, 59sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
10270subgsubcl 14632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  D  e.  ( S  .(+)  W )  /\  ( ( M  /  P )  .x.  A )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( D
( -g `  G ) ( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
1031023expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  D  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( D (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
104103impancom 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  ( ( M  /  P )  .x.  A )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( D  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( D (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
105100, 101, 104syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( D ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
10612oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D ( -g `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) )  =  ( ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P )  .x.  A
) ) ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )
10711, 15sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
1085subgss 14622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
10922, 108syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
110109, 59sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  B )
1115, 61, 70grppncan 14556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  C  e.  B  /\  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  B )  ->  ( ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  =  C )
1124, 107, 110, 111syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P )  .x.  A
) ) ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  =  C )
113106, 112syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( D ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  =  C )
114113eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( D (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )  <->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
115105, 114sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
11698, 115mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  D  e.  ( S  .(+)  W )
)
117116ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  -.  D  e.  ( S  .(+)  W ) )
11842ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  e.  Prime )
119 coprm 12779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  n  <->  ( P  gcd  n )  =  1 ) )
120118, 89, 119syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( -.  P  ||  n 
<->  ( P  gcd  n
)  =  1 ) )
12144ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  e.  ZZ )
122 bezout 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  n )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) ) )
123121, 89, 122syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  n )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) ) )
124 eqeq1 2289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  gcd  n )  =  1  ->  (
( P  gcd  n
)  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) )  <->  1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) ) ) )
1251242rexbidv 2586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  gcd  n )  =  1  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  n )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) ) ) )
126123, 125syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( P  gcd  n )  =  1  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) ) ) )
12796adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
128121adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  ZZ )
129 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  a  e.  ZZ )
130128, 129zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  a )  e.  ZZ )
13189adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  ZZ )
132 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  b  e.  ZZ )
133131, 132zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( n  x.  b )  e.  ZZ )
13465ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  D  e.  B )
135134adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  D  e.  B )
1365, 36, 61mulgdir 14592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( P  x.  a )  e.  ZZ  /\  ( n  x.  b
)  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  =  ( ( ( P  x.  a )  .x.  D ) ( +g  `  G ) ( ( n  x.  b ) 
.x.  D ) ) )
137127, 130, 133, 135, 136syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  =  ( ( ( P  x.  a )  .x.  D ) ( +g  `  G ) ( ( n  x.  b ) 
.x.  D ) ) )
138100ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
139138adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( S  .(+) 
W )  e.  (SubGrp `  G ) )
14092adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  CC )
141 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  CC )
142141ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  a  e.  CC )
143140, 142mulcomd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  a )  =  ( a  x.  P ) )
144143oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  =  ( ( a  x.  P
)  .x.  D )
)
1455, 36mulgass 14597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( a  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
a  x.  P ) 
.x.  D )  =  ( a  .x.  ( P  .x.  D ) ) )
146127, 129, 128, 135, 145syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
a  x.  P ) 
.x.  D )  =  ( a  .x.  ( P  .x.  D ) ) )
147144, 146eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  =  ( a  .x.  ( P 
.x.  D ) ) )
14823lsmub2 14968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  W  C_  ( S  .(+)  W ) )
14922, 2, 148syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  W  C_  ( S  .(+) 
W ) )
15012oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( P 
.x.  D )  =  ( P  .x.  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )
1515, 36, 61mulgdi 15126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( P  e.  ZZ  /\  C  e.  B  /\  (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  B ) )  -> 
( P  .x.  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )  =  ( ( P 
.x.  C ) ( +g  `  G ) ( P  .x.  (
( M  /  P
)  .x.  A )
) ) )
1521, 44, 107, 110, 151syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )  =  ( ( P 
.x.  C ) ( +g  `  G ) ( P  .x.  (
( M  /  P
)  .x.  A )
) ) )
153150, 152syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  =  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G
) ( P  .x.  ( ( M  /  P )  .x.  A
) ) ) )
1545, 36mulgass 14597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( P  e.  ZZ  /\  ( M  /  P
)  e.  ZZ  /\  A  e.  B )
)  ->  ( ( P  x.  ( M  /  P ) )  .x.  A )  =  ( P  .x.  ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) ) )
1554, 44, 50, 18, 154syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( M  /  P
) )  .x.  A
)  =  ( P 
.x.  ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )
15637zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
157156, 91, 47divcan2d 9538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( M  /  P ) )  =  M )
158157oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( M  /  P
) )  .x.  A
)  =  ( M 
.x.  A ) )
159155, 158eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  (
( M  /  P
)  .x.  A )
)  =  ( M 
.x.  A ) )
160159oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G ) ( P 
.x.  ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )  =  ( ( P 
.x.  C ) ( +g  `  G ) ( M  .x.  A
) ) )
161153, 160eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  =  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G
) ( M  .x.  A ) ) )
162161, 38eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  e.  W )
163149, 162sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
164163ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( P  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
165164adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( P  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)
16636subgmulgcl 14634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  a  e.  ZZ  /\  ( P  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( a  .x.  ( P  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
167139, 129, 165, 166syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  .x.  ( P  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
168147, 167eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)
16990adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  CC )
170 zcn 10029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  CC )
171170ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  b  e.  CC )
172169, 171mulcomd 8856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( n  x.  b )  =  ( b  x.  n ) )
173172oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
n  x.  b ) 
.x.  D )  =  ( ( b  x.  n )  .x.  D
) )
1745, 36mulgass 14597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
b  x.  n ) 
.x.  D )  =  ( b  .x.  (
n  .x.  D )
) )
175127, 132, 131, 135, 174syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
b  x.  n ) 
.x.  D )  =  ( b  .x.  (
n  .x.  D )
) )
176173, 175eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
n  x.  b ) 
.x.  D )  =  ( b  .x.  (
n  .x.  D )
) )
17786oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) x )  =  ( w (
-g `  G )
( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) ) ) )
1781ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  G  e.  Abel )
1795subgss 14622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( W  e.  (SubGrp `  G
)  ->  W  C_  B
)
18087, 179syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  W  C_  B )
181180, 88sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  w  e.  B )
1825, 36mulgcl 14584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  D  e.  B )  ->  (
n  .x.  D )  e.  B )
18396, 89, 134, 182syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  e.  B )
1845, 70, 178, 181, 183ablnncan 15122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) ( w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) ) )  =  ( n  .x.  D ) )
185177, 184eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) x )  =  ( n  .x.  D ) )
186149ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  W  C_  ( S  .(+)  W ) )
187186, 88sseldd 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  w  e.  ( S  .(+) 
W ) )
18825sselda 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( S  .(+)  W ) )
189188ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  x  e.  ( S  .(+) 
W ) )
19070subgsubcl 14632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  w  e.  ( S  .(+)  W )  /\  x  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( w
( -g `  G ) x )  e.  ( S  .(+)  W )
)
191138, 187, 189, 190syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) x )  e.  ( S  .(+)  W ) )
192185, 191eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
193192adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( n  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)
19436subgmulgcl 14634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  b  e.  ZZ  /\  ( n  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( b  .x.  ( n  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
195139, 132, 193, 194syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( b  .x.  ( n  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
196176, 195eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
n  x.  b ) 
.x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) )
19761subgcl 14631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )  /\  ( ( n  x.  b )  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )  -> 
( ( ( P  x.  a )  .x.  D ) ( +g  `  G ) ( ( n  x.  b ) 
.x.  D ) )  e.  ( S  .(+)  W ) )
198139, 168, 196, 197syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( P  x.  a
)  .x.  D )
( +g  `  G ) ( ( n  x.  b )  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
199137, 198eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) )
200 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) )  ->  (
1  .x.  D )  =  ( ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) )  .x.  D ) )
201200eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) )  ->  (
( 1  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W )  <->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
202199, 201syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( 1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) )  ->  (
1  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
203202rexlimdvva 2674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  1  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) )  ->  ( 1  .x. 
D )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
204126, 203syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( P  gcd  n )  =  1  ->  ( 1  .x. 
D )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
2055, 36mulg1 14574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  B  ->  (
1  .x.  D )  =  D )
206134, 205syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( 1  .x.  D
)  =  D )
207206eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( 1  .x. 
D )  e.  ( S  .(+)  W )  <->  D  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
208204, 207sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( P  gcd  n )  =  1  ->  D  e.  ( S  .(+)  W )
) )
209120, 208sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( -.  P  ||  n  ->  D  e.  ( S  .(+)  W )
) )
210117, 209mt3d 117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  ||  n )
211 dvdsval2 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  n  <->  ( n  /  P )  e.  ZZ ) )
212121, 93, 89, 211syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( P  ||  n  <->  ( n  /  P )  e.  ZZ ) )
213210, 212mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  /  P
)  e.  ZZ )
2145, 36mulgass 14597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( n  /  P )  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
( n  /  P
)  x.  P ) 
.x.  D )  =  ( ( n  /  P )  .x.  ( P  .x.  D ) ) )
21596, 213, 121, 134, 214syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( ( n  /  P )  x.  P )  .x.  D
)  =  ( ( n  /  P ) 
.x.  ( P  .x.  D ) ) )
21695, 215eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  =  ( ( n  /  P ) 
.x.  ( P  .x.  D ) ) )
217162ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( P  .x.  D
)  e.  W )
21836subgmulgcl 14634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
n  /  P )  e.  ZZ  /\  ( P  .x.  D )  e.  W )  ->  (
( n  /  P
)  .x.  ( P  .x.  D ) )  e.  W )
21987, 213, 217, 218syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( n  /  P )  .x.  ( P  .x.  D ) )  e.  W )
220216, 219eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  e.  W )
22170subgsubcl 14632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  (SubGrp `  G )  /\  w  e.  W  /\  (
n  .x.  D )  e.  W )  ->  (
w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) )  e.  W )
22287, 88, 220, 221syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) )  e.  W )
22386, 222eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  x  e.  W )
224223ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  (
w  e.  W  /\  n  e.  ZZ )
)  ->  ( x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) )  ->  x  e.  W ) )
225224rexlimdvva 2674 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) )  ->  x  e.  W ) )
22685, 225sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) )  ->  x  e.  W
) )
227226imdistanda 674 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  /\  x  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  -> 
( x  e.  S  /\  x  e.  W
) ) )
228 elin 3358 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) ) )
229 elin 3358 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( S  i^i  W )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  W ) )
230227, 228, 2293imtr4g 261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  i^i  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )  ->  x  e.  ( S  i^i  W ) ) )
231230ssrdv 3185 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  C_  ( S  i^i  W ) )
232231, 34sseqtrd 3214 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  C_  {  .0.  } )
23330subg0cl 14629 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
23422, 233syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  S )
23530subg0cl 14629 . . . . . 6  |-  ( ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  .0.  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )
23669, 235syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )
237 elin 3358 . . . . 5  |-  (  .0. 
e.  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  <->  (  .0.  e.  S  /\  .0.  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) ) )
238234, 236, 237sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
239238snssd 3760 . . 3  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
240232, 239eqssd 3196 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  {  .0.  } )
24123lsmass 14979 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  ( S 
.(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
24222, 2, 67, 241syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  ( S 
.(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
243 eldif 3162 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( U  \ 
( S  .(+)  W ) )  <->  ( D  e.  U  /\  -.  D  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
24464, 116, 243sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
24519, 16, 5, 28, 29, 30, 23, 31, 1, 32, 33, 9, 17, 2, 34, 26, 35pgpfac1lem1 15309 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( U  \  ( S  .(+)  W ) ) )  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  U )
246244, 245mpdan 649 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  U )
247242, 246eqtr3d 2317 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  U )
248 ineq2 3364 . . . . 5  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( S  i^i  t
)  =  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
249248eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  <->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  =  {  .0.  } ) )
250 oveq2 5866 . . . . 5  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( S  .(+)  t )  =  ( S  .(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
251250eqeq1d 2291 . . . 4  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( ( S  .(+)  t )  =  U  <->  ( S  .(+) 
( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  =  U ) )
252249, 251anbi12d 691 . . 3  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U )  <->  ( ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  U ) ) )
253252rspcev 2884 . 2  |-  ( ( ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  U ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
25469, 240, 247, 253syl12anc 1180 1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152    C. wpss 3153   {csn 3640   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZcz 10024    || cdivides 12531    gcd cgcd 12685   Primecprime 12758   Basecbs 13148   +g cplusg 13208   0gc0g 13400  Moorecmre 13484  mrClscmrc 13485  ACScacs 13487   Grpcgrp 14362   -gcsg 14365  .gcmg 14366  SubGrpcsubg 14615   odcod 14840  gExcgex 14841   pGrp cpgp 14842   LSSumclsm 14945   Abelcabel 15090
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  15313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-eqg 14620  df-ga 14744  df-cntz 14793  df-od 14844  df-gex 14845  df-pgp 14846  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092
  Copyright terms: Public domain W3C validator