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Theorem pgpfac1lem3 15637
Description: Lemma for pgpfac1 15640. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
pgpfac1.s  |-  S  =  ( K `  { A } )
pgpfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgpfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
pgpfac1.e  |-  E  =  (gEx `  G )
pgpfac1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pgpfac1.l  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pgpfac1.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
pgpfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
pgpfac1.n  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
pgpfac1.oe  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
pgpfac1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
pgpfac1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.i  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
pgpfac1.ss  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
pgpfac1.2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w ) )
pgpfac1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
pgpfac1.mg  |-  .x.  =  (.g
`  G )
pgpfac1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
pgpfac1.mw  |-  ( ph  ->  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  A ) )  e.  W )
pgpfac1.d  |-  D  =  ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem3  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Distinct variable groups:    t,  .0.    w, t, A    t, D, w    t,  .(+) , w    t, P, w    t, B    t, G, w    t, U, w   
t, C, w    t, S, w    t, W, w    ph, t, w    t,  .x. , w    t, K, w
Allowed substitution hints:    B( w)    E( w, t)    M( w, t)    O( w, t)    .0. ( w)

Proof of Theorem pgpfac1lem3
Dummy variables  b  x  y  a  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
2 pgpfac1.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
3 ablgrp 15419 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
41, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
5 pgpfac1.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
65subgacs 14977 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
7 acsmre 13879 . . . . 5  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B )  -> 
(SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
84, 6, 73syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
9 pgpfac1.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
105subgss 14947 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  B
)
119, 10syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  C_  B )
12 pgpfac1.d . . . . . 6  |-  D  =  ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )
13 pgpfac1.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
1413eldifad 3334 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
15 pgpfac1.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( K `  { A } )
16 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
1711, 16sseldd 3351 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
18 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
1918mrcsncl 13839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  A  e.  B
)  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G
) )
208, 17, 19syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
2115, 20syl5eqel 2522 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
22 pgpfac1.l . . . . . . . . . . 11  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
2322lsmub1 15292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  S  C_  ( S  .(+)  W ) )
2421, 2, 23syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  ( S  .(+) 
W ) )
25 pgpfac1.ss . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
2624, 25sstrd 3360 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  U )
27 pgpfac1.o . . . . . . . . . . . 12  |-  O  =  ( od `  G
)
28 pgpfac1.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  (gEx `  G )
29 pgpfac1.z . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
30 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
31 pgpfac1.n . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
32 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
33 pgpfac1.i . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
34 pgpfac1.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w ) )
35 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . . 12  |-  .x.  =  (.g
`  G )
36 pgpfac1.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
37 pgpfac1.mw . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  A ) )  e.  W )
3818, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34, 13, 35, 36, 37pgpfac1lem3a 15636 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  ||  E  /\  P  ||  M ) )
3938simprd 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  M )
40 pgpprm 15229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P pGrp 
G  ->  P  e.  Prime )
4130, 40syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
42 prmz 13085 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
44 prmnn 13084 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
4541, 44syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
4645nnne0d 10046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
47 dvdsval2 12857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  M  <->  ( M  /  P )  e.  ZZ ) )
4843, 46, 36, 47syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  ||  M  <->  ( M  /  P )  e.  ZZ ) )
4939, 48mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  /  P
)  e.  ZZ )
5017snssd 3945 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { A }  C_  B )
518, 18, 50mrcssidd 13852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { A }  C_  ( K `  { A } ) )
5251, 15syl6sseqr 3397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { A }  C_  S )
53 snssg 3934 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  U  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S ) )
5416, 53syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S
) )
5552, 54mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
5635subgmulgcl 14959 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( M  /  P )  e.  ZZ  /\  A  e.  S )  ->  (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  S )
5721, 49, 55, 56syl3anc 1185 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  S )
5826, 57sseldd 3351 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  U )
59 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
6059subgcl 14956 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  C  e.  U  /\  (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  U )  ->  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) )  e.  U )
619, 14, 58, 60syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  e.  U )
6212, 61syl5eqel 2522 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  U )
6311, 62sseldd 3351 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  B )
6418mrcsncl 13839 . . . 4  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  D  e.  B
)  ->  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G
) )
658, 63, 64syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G ) )
6622lsmsubg2 15476 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  W  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( W  .(+)  ( K `
 { D }
) )  e.  (SubGrp `  G ) )
671, 2, 65, 66syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) )  e.  (SubGrp `  G ) )
68 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
6968, 22, 2, 65lsmelvalm 15287 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  <->  E. w  e.  W  E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y ) ) )
70 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  D ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) )
715, 35, 70, 18cycsubg2 14979 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  D  e.  B )  ->  ( K `  { D } )  =  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) )
724, 63, 71syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K `  { D } )  =  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) )
7372rexeqdv 2913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y )  <->  E. y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) x  =  ( w ( -g `  G
) y ) ) )
74 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n 
.x.  D )  e. 
_V
7574rgenw 2775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. n  e.  ZZ  ( n  .x.  D )  e.  _V
76 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( n  .x.  D )  ->  (
w ( -g `  G
) y )  =  ( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) ) )
7776eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( n  .x.  D )  ->  (
x  =  ( w ( -g `  G
) y )  <->  x  =  ( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) ) ) )
7870, 77rexrnmpt 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  ZZ  (
n  .x.  D )  e.  _V  ->  ( E. y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  D ) ) x  =  ( w ( -g `  G
) y )  <->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) ) ) )
7975, 78ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) x  =  ( w ( -g `  G
) y )  <->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) ) )
8073, 79syl6bb 254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y )  <->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
8180rexbidv 2728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  W  E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y )  <->  E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
8269, 81bitrd 246 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  <->  E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
8382adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) )  <->  E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
84 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )
852ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  W  e.  (SubGrp `  G
) )
86 simplrl 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  w  e.  W )
87 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  n  e.  ZZ )
8887zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  n  e.  CC )
8945nncnd 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
9089ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  e.  CC )
9146ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  =/=  0 )
9288, 90, 91divcan1d 9793 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( n  /  P )  x.  P
)  =  n )
9392oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( ( n  /  P )  x.  P )  .x.  D
)  =  ( n 
.x.  D ) )
944ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  G  e.  Grp )
9513eldifbd 3335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ( S  .(+)  W )
)
9622lsmsubg2 15476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
971, 21, 2, 96syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
9824, 57sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
9968subgsubcl 14957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  D  e.  ( S  .(+)  W )  /\  ( ( M  /  P )  .x.  A )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( D
( -g `  G ) ( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
100993expia 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  D  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( D (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
101100impancom 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  ( ( M  /  P )  .x.  A )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( D  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( D (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
10297, 98, 101syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( D ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
10312oveq1i 6093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D ( -g `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) )  =  ( ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P )  .x.  A
) ) ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )
10411, 14sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
1055subgss 14947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
10621, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
107106, 57sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  B )
1085, 59, 68grppncan 14881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  C  e.  B  /\  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  B )  ->  ( ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  =  C )
1094, 104, 107, 108syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P )  .x.  A
) ) ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  =  C )
110103, 109syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( D ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  =  C )
111110eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( D (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )  <->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
112102, 111sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
11395, 112mtod 171 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  D  e.  ( S  .(+)  W )
)
114113ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  -.  D  e.  ( S  .(+)  W ) )
11541ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  e.  Prime )
116 coprm 13102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  n  <->  ( P  gcd  n )  =  1 ) )
117115, 87, 116syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( -.  P  ||  n 
<->  ( P  gcd  n
)  =  1 ) )
11843ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  e.  ZZ )
119 bezout 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  n )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) ) )
120118, 87, 119syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  n )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) ) )
121 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  gcd  n )  =  1  ->  (
( P  gcd  n
)  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) )  <->  1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) ) ) )
1221212rexbidv 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  gcd  n )  =  1  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  n )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) ) ) )
123120, 122syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( P  gcd  n )  =  1  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) ) ) )
12494adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
125118adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  ZZ )
126 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  a  e.  ZZ )
127125, 126zmulcld 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  a )  e.  ZZ )
12887adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  ZZ )
129 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  b  e.  ZZ )
130128, 129zmulcld 10383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( n  x.  b )  e.  ZZ )
13163ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  D  e.  B )
132131adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  D  e.  B )
1335, 35, 59mulgdir 14917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( P  x.  a )  e.  ZZ  /\  ( n  x.  b
)  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  =  ( ( ( P  x.  a )  .x.  D ) ( +g  `  G ) ( ( n  x.  b ) 
.x.  D ) ) )
134124, 127, 130, 132, 133syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  =  ( ( ( P  x.  a )  .x.  D ) ( +g  `  G ) ( ( n  x.  b ) 
.x.  D ) ) )
13597ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
136135adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( S  .(+) 
W )  e.  (SubGrp `  G ) )
13790adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  CC )
138 zcn 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  CC )
139138ad2antrl 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  a  e.  CC )
140137, 139mulcomd 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  a )  =  ( a  x.  P ) )
141140oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  =  ( ( a  x.  P
)  .x.  D )
)
1425, 35mulgass 14922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( a  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
a  x.  P ) 
.x.  D )  =  ( a  .x.  ( P  .x.  D ) ) )
143124, 126, 125, 132, 142syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
a  x.  P ) 
.x.  D )  =  ( a  .x.  ( P  .x.  D ) ) )
144141, 143eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  =  ( a  .x.  ( P 
.x.  D ) ) )
14522lsmub2 15293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  W  C_  ( S  .(+)  W ) )
14621, 2, 145syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  W  C_  ( S  .(+) 
W ) )
14712oveq2i 6094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( P 
.x.  D )  =  ( P  .x.  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )
1485, 35, 59mulgdi 15451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( P  e.  ZZ  /\  C  e.  B  /\  (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  B ) )  -> 
( P  .x.  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )  =  ( ( P 
.x.  C ) ( +g  `  G ) ( P  .x.  (
( M  /  P
)  .x.  A )
) ) )
1491, 43, 104, 107, 148syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )  =  ( ( P 
.x.  C ) ( +g  `  G ) ( P  .x.  (
( M  /  P
)  .x.  A )
) ) )
150147, 149syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  =  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G
) ( P  .x.  ( ( M  /  P )  .x.  A
) ) ) )
1515, 35mulgass 14922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( P  e.  ZZ  /\  ( M  /  P
)  e.  ZZ  /\  A  e.  B )
)  ->  ( ( P  x.  ( M  /  P ) )  .x.  A )  =  ( P  .x.  ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) ) )
1524, 43, 49, 17, 151syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( M  /  P
) )  .x.  A
)  =  ( P 
.x.  ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )
15336zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
154153, 89, 46divcan2d 9794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( M  /  P ) )  =  M )
155154oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( M  /  P
) )  .x.  A
)  =  ( M 
.x.  A ) )
156152, 155eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  (
( M  /  P
)  .x.  A )
)  =  ( M 
.x.  A ) )
157156oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G ) ( P 
.x.  ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )  =  ( ( P 
.x.  C ) ( +g  `  G ) ( M  .x.  A
) ) )
158150, 157eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  =  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G
) ( M  .x.  A ) ) )
159158, 37eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  e.  W )
160146, 159sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
161160ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( P  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
162161adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( P  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)
16335subgmulgcl 14959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  a  e.  ZZ  /\  ( P  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( a  .x.  ( P  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
164136, 126, 162, 163syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  .x.  ( P  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
165144, 164eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)
16688adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  CC )
167 zcn 10289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  CC )
168167ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  b  e.  CC )
169166, 168mulcomd 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( n  x.  b )  =  ( b  x.  n ) )
170169oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
n  x.  b ) 
.x.  D )  =  ( ( b  x.  n )  .x.  D
) )
1715, 35mulgass 14922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
b  x.  n ) 
.x.  D )  =  ( b  .x.  (
n  .x.  D )
) )
172124, 129, 128, 132, 171syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
b  x.  n ) 
.x.  D )  =  ( b  .x.  (
n  .x.  D )
) )
173170, 172eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
n  x.  b ) 
.x.  D )  =  ( b  .x.  (
n  .x.  D )
) )
17484oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) x )  =  ( w (
-g `  G )
( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) ) ) )
1751ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  G  e.  Abel )
1765subgss 14947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( W  e.  (SubGrp `  G
)  ->  W  C_  B
)
17785, 176syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  W  C_  B )
178177, 86sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  w  e.  B )
1795, 35mulgcl 14909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  D  e.  B )  ->  (
n  .x.  D )  e.  B )
18094, 87, 131, 179syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  e.  B )
1815, 68, 175, 178, 180ablnncan 15447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) ( w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) ) )  =  ( n  .x.  D ) )
182174, 181eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) x )  =  ( n  .x.  D ) )
183146ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  W  C_  ( S  .(+)  W ) )
184183, 86sseldd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  w  e.  ( S  .(+) 
W ) )
18524sselda 3350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( S  .(+)  W ) )
186185ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  x  e.  ( S  .(+) 
W ) )
18768subgsubcl 14957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  w  e.  ( S  .(+)  W )  /\  x  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( w
( -g `  G ) x )  e.  ( S  .(+)  W )
)
188135, 184, 186, 187syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) x )  e.  ( S  .(+)  W ) )
189182, 188eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
190189adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( n  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)
19135subgmulgcl 14959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  b  e.  ZZ  /\  ( n  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( b  .x.  ( n  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
192136, 129, 190, 191syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( b  .x.  ( n  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
193173, 192eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
n  x.  b ) 
.x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) )
19459subgcl 14956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )  /\  ( ( n  x.  b )  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )  -> 
( ( ( P  x.  a )  .x.  D ) ( +g  `  G ) ( ( n  x.  b ) 
.x.  D ) )  e.  ( S  .(+)  W ) )
195136, 165, 193, 194syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( P  x.  a
)  .x.  D )
( +g  `  G ) ( ( n  x.  b )  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
196134, 195eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) )
197 oveq1 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) )  ->  (
1  .x.  D )  =  ( ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) )  .x.  D ) )
198197eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) )  ->  (
( 1  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W )  <->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
199196, 198syl5ibrcom 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( 1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) )  ->  (
1  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
200199rexlimdvva 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  1  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) )  ->  ( 1  .x. 
D )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
201123, 200syld 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( P  gcd  n )  =  1  ->  ( 1  .x. 
D )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
2025, 35mulg1 14899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  B  ->  (
1  .x.  D )  =  D )
203131, 202syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( 1  .x.  D
)  =  D )
204203eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( 1  .x. 
D )  e.  ( S  .(+)  W )  <->  D  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
205201, 204sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( P  gcd  n )  =  1  ->  D  e.  ( S  .(+)  W )
) )
206117, 205sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( -.  P  ||  n  ->  D  e.  ( S  .(+)  W )
) )
207114, 206mt3d 120 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  ||  n )
208 dvdsval2 12857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  n  <->  ( n  /  P )  e.  ZZ ) )
209118, 91, 87, 208syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( P  ||  n  <->  ( n  /  P )  e.  ZZ ) )
210207, 209mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  /  P
)  e.  ZZ )
2115, 35mulgass 14922 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( n  /  P )  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
( n  /  P
)  x.  P ) 
.x.  D )  =  ( ( n  /  P )  .x.  ( P  .x.  D ) ) )
21294, 210, 118, 131, 211syl13anc 1187 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( ( n  /  P )  x.  P )  .x.  D
)  =  ( ( n  /  P ) 
.x.  ( P  .x.  D ) ) )
21393, 212eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  =  ( ( n  /  P ) 
.x.  ( P  .x.  D ) ) )
214159ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( P  .x.  D
)  e.  W )
21535subgmulgcl 14959 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
n  /  P )  e.  ZZ  /\  ( P  .x.  D )  e.  W )  ->  (
( n  /  P
)  .x.  ( P  .x.  D ) )  e.  W )
21685, 210, 214, 215syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( n  /  P )  .x.  ( P  .x.  D ) )  e.  W )
217213, 216eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  e.  W )
21868subgsubcl 14957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  (SubGrp `  G )  /\  w  e.  W  /\  (
n  .x.  D )  e.  W )  ->  (
w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) )  e.  W )
21985, 86, 217, 218syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) )  e.  W )
22084, 219eqeltrd 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  x  e.  W )
221220ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  (
w  e.  W  /\  n  e.  ZZ )
)  ->  ( x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) )  ->  x  e.  W ) )
222221rexlimdvva 2839 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) )  ->  x  e.  W ) )
22383, 222sylbid 208 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) )  ->  x  e.  W
) )
224223imdistanda 676 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  /\  x  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  -> 
( x  e.  S  /\  x  e.  W
) ) )
225 elin 3532 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) ) )
226 elin 3532 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( S  i^i  W )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  W ) )
227224, 225, 2263imtr4g 263 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  i^i  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )  ->  x  e.  ( S  i^i  W ) ) )
228227ssrdv 3356 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  C_  ( S  i^i  W ) )
229228, 33sseqtrd 3386 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  C_  {  .0.  } )
23029subg0cl 14954 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
23121, 230syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  S )
23229subg0cl 14954 . . . . . 6  |-  ( ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  .0.  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )
23367, 232syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )
234 elin 3532 . . . . 5  |-  (  .0. 
e.  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  <->  (  .0.  e.  S  /\  .0.  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) ) )
235231, 233, 234sylanbrc 647 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
236235snssd 3945 . . 3  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
237229, 236eqssd 3367 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  {  .0.  } )
23822lsmass 15304 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  ( S 
.(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
23921, 2, 65, 238syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  ( S 
.(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
24062, 113eldifd 3333 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
24118, 15, 5, 27, 28, 29, 22, 30, 1, 31, 32, 9, 16, 2, 33, 25, 34pgpfac1lem1 15634 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( U  \  ( S  .(+)  W ) ) )  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  U )
242240, 241mpdan 651 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  U )
243239, 242eqtr3d 2472 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  U )
244 ineq2 3538 . . . . 5  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( S  i^i  t
)  =  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
245244eqeq1d 2446 . . . 4  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  <->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  =  {  .0.  } ) )
246 oveq2 6091 . . . . 5  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( S  .(+)  t )  =  ( S  .(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
247246eqeq1d 2446 . . . 4  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( ( S  .(+)  t )  =  U  <->  ( S  .(+) 
( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  =  U ) )
248245, 247anbi12d 693 . . 3  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U )  <->  ( ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  U ) ) )
249248rspcev 3054 . 2  |-  ( ( ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  U ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
25067, 237, 243, 249syl12anc 1183 1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322    C. wpss 3323   {csn 3816   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ran crn 4881   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   CCcc 8990   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    / cdiv 9679   NNcn 10002   ZZcz 10284    || cdivides 12854    gcd cgcd 13008   Primecprime 13081   Basecbs 13471   +g cplusg 13531   0gc0g 13725  Moorecmre 13809  mrClscmrc 13810  ACScacs 13812   Grpcgrp 14687   -gcsg 14690  .gcmg 14691  SubGrpcsubg 14940   odcod 15165  gExcgex 15166   pGrp cpgp 15167   LSSumclsm 15270   Abelcabel 15415
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  15638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-pc 13213  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-eqg 14945  df-ga 15069  df-cntz 15118  df-od 15169  df-gex 15170  df-pgp 15171  df-lsm 15272  df-cmn 15416  df-abl 15417
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