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Theorem pgpfac1lem3 15361
Description: Lemma for pgpfac1 15364. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
pgpfac1.s  |-  S  =  ( K `  { A } )
pgpfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgpfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
pgpfac1.e  |-  E  =  (gEx `  G )
pgpfac1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pgpfac1.l  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pgpfac1.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
pgpfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
pgpfac1.n  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
pgpfac1.oe  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
pgpfac1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
pgpfac1.w  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.i  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
pgpfac1.ss  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
pgpfac1.2  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w ) )
pgpfac1.c  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
pgpfac1.mg  |-  .x.  =  (.g
`  G )
pgpfac1.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
pgpfac1.mw  |-  ( ph  ->  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  A ) )  e.  W )
pgpfac1.d  |-  D  =  ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem3  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Distinct variable groups:    t,  .0.    w, t, A    t, D, w    t,  .(+) , w    t, P, w    t, B    t, G, w    t, U, w   
t, C, w    t, S, w    t, W, w    ph, t, w    t,  .x. , w    t, K, w
Allowed substitution hints:    B( w)    E( w, t)    M( w, t)    O( w, t)    .0. ( w)

Proof of Theorem pgpfac1lem3
Dummy variables  b  x  y  a  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
2 pgpfac1.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  (SubGrp `  G ) )
3 ablgrp 15143 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
41, 3syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
5 pgpfac1.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
65subgacs 14701 . . . . 5  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
7 acsmre 13603 . . . . 5  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B )  -> 
(SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
84, 6, 73syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
9 pgpfac1.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
105subgss 14671 . . . . . 6  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  B
)
119, 10syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U  C_  B )
12 pgpfac1.d . . . . . 6  |-  D  =  ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )
13 pgpfac1.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
14 eldifi 3332 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( U  \ 
( S  .(+)  W ) )  ->  C  e.  U )
1513, 14syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  U )
16 pgpfac1.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ( K `  { A } )
17 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
1811, 17sseldd 3215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
19 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . . 13  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
2019mrcsncl 13563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  A  e.  B
)  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G
) )
218, 18, 20syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
2216, 21syl5eqel 2400 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
23 pgpfac1.l . . . . . . . . . . 11  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
2423lsmub1 15016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  S  C_  ( S  .(+)  W ) )
2522, 2, 24syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  C_  ( S  .(+) 
W ) )
26 pgpfac1.ss . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W ) 
C_  U )
2725, 26sstrd 3223 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S  C_  U )
28 pgpfac1.o . . . . . . . . . . . 12  |-  O  =  ( od `  G
)
29 pgpfac1.e . . . . . . . . . . . 12  |-  E  =  (gEx `  G )
30 pgpfac1.z . . . . . . . . . . . 12  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
31 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
32 pgpfac1.n . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
33 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
34 pgpfac1.i . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  W
)  =  {  .0.  } )
35 pgpfac1.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  ( S  .(+)  W )  C.  w ) )
36 pgpfac1.mg . . . . . . . . . . . 12  |-  .x.  =  (.g
`  G )
37 pgpfac1.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
38 pgpfac1.mw . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G ) ( M 
.x.  A ) )  e.  W )
3919, 16, 5, 28, 29, 30, 23, 31, 1, 32, 33, 9, 17, 2, 34, 26, 35, 13, 36, 37, 38pgpfac1lem3a 15360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  ||  E  /\  P  ||  M ) )
4039simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  M )
41 pgpprm 14953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P pGrp 
G  ->  P  e.  Prime )
4231, 41syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
43 prmz 12809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
45 prmnn 12808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
4642, 45syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
4746nnne0d 9835 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
48 dvdsval2 12581 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  M  <->  ( M  /  P )  e.  ZZ ) )
4944, 47, 37, 48syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  ||  M  <->  ( M  /  P )  e.  ZZ ) )
5040, 49mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M  /  P
)  e.  ZZ )
5118snssd 3797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { A }  C_  B )
5219mrcssid 13568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  { A }  C_  B )  ->  { A }  C_  ( K `  { A } ) )
538, 51, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { A }  C_  ( K `  { A } ) )
5453, 16syl6sseqr 3259 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { A }  C_  S )
55 snssg 3788 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  U  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S ) )
5617, 55syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S
) )
5754, 56mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
5836subgmulgcl 14683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( M  /  P )  e.  ZZ  /\  A  e.  S )  ->  (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  S )
5922, 50, 57, 58syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  S )
6027, 59sseldd 3215 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  U )
61 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
6261subgcl 14680 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  (SubGrp `  G )  /\  C  e.  U  /\  (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  U )  ->  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) )  e.  U )
639, 15, 60, 62syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  e.  U )
6412, 63syl5eqel 2400 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  e.  U )
6511, 64sseldd 3215 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  B )
6619mrcsncl 13563 . . . 4  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  D  e.  B
)  ->  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G
) )
678, 65, 66syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G ) )
6823lsmsubg2 15200 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  W  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( W  .(+)  ( K `
 { D }
) )  e.  (SubGrp `  G ) )
691, 2, 67, 68syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) )  e.  (SubGrp `  G ) )
70 eqid 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
7170, 23, 2, 67lsmelvalm 15011 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  <->  E. w  e.  W  E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y ) ) )
72 eqid 2316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  D ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) )
735, 36, 72, 19cycsubg2 14703 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  D  e.  B )  ->  ( K `  { D } )  =  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) )
744, 65, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( K `  { D } )  =  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) )
7574rexeqdv 2777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y )  <->  E. y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) x  =  ( w ( -g `  G
) y ) ) )
76 ovex 5925 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n 
.x.  D )  e. 
_V
7776rgenw 2644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. n  e.  ZZ  ( n  .x.  D )  e.  _V
78 oveq2 5908 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  ( n  .x.  D )  ->  (
w ( -g `  G
) y )  =  ( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) ) )
7978eqeq2d 2327 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  ( n  .x.  D )  ->  (
x  =  ( w ( -g `  G
) y )  <->  x  =  ( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) ) ) )
8072, 79rexrnmpt 5708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  ZZ  (
n  .x.  D )  e.  _V  ->  ( E. y  e.  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n 
.x.  D ) ) x  =  ( w ( -g `  G
) y )  <->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) ) ) )
8177, 80ax-mp 8 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. y  e.  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n  .x.  D ) ) x  =  ( w ( -g `  G
) y )  <->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) ) )
8275, 81syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y )  <->  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
8382rexbidv 2598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( E. w  e.  W  E. y  e.  ( K `  { D } ) x  =  ( w ( -g `  G ) y )  <->  E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
8471, 83bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  <->  E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
8584adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) )  <->  E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) ) )
86 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )
872ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  W  e.  (SubGrp `  G
) )
88 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  w  e.  W )
89 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  n  e.  ZZ )
9089zcnd 10165 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  n  e.  CC )
9146nncnd 9807 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
9291ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  e.  CC )
9347ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  =/=  0 )
9490, 92, 93divcan1d 9582 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( n  /  P )  x.  P
)  =  n )
9594oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( ( n  /  P )  x.  P )  .x.  D
)  =  ( n 
.x.  D ) )
964ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  G  e.  Grp )
97 eldifn 3333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( C  e.  ( U  \ 
( S  .(+)  W ) )  ->  -.  C  e.  ( S  .(+)  W ) )
9813, 97syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  -.  C  e.  ( S  .(+)  W )
)
9923lsmsubg2 15200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
1001, 22, 2, 99syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
10125, 59sseldd 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
10270subgsubcl 14681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  D  e.  ( S  .(+)  W )  /\  ( ( M  /  P )  .x.  A )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( D
( -g `  G ) ( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
1031023expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  D  e.  ( S  .(+)  W ) )  ->  ( (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( D (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
104103impancom 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  ( ( M  /  P )  .x.  A )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( D  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( D (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
105100, 101, 104syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( S  .(+)  W )  ->  ( D ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
10612oveq1i 5910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( D ( -g `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) )  =  ( ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P )  .x.  A
) ) ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )
10711, 15sseldd 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  C  e.  B )
1085subgss 14671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  S  C_  B
)
10922, 108syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  S  C_  B )
110109, 59sseldd 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  B )
1115, 61, 70grppncan 14605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  C  e.  B  /\  ( ( M  /  P )  .x.  A
)  e.  B )  ->  ( ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  =  C )
1124, 107, 110, 111syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( C ( +g  `  G ) ( ( M  /  P )  .x.  A
) ) ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  =  C )
113106, 112syl5eq 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( D ( -g `  G ) ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) )  =  C )
114113eleq1d 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( D (
-g `  G )
( ( M  /  P )  .x.  A
) )  e.  ( S  .(+)  W )  <->  C  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
115105, 114sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( S  .(+)  W )  ->  C  e.  ( S 
.(+)  W ) ) )
11698, 115mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  D  e.  ( S  .(+)  W )
)
117116ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  -.  D  e.  ( S  .(+)  W ) )
11842ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  e.  Prime )
119 coprm 12826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  n  <->  ( P  gcd  n )  =  1 ) )
120118, 89, 119syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( -.  P  ||  n 
<->  ( P  gcd  n
)  =  1 ) )
12144ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  e.  ZZ )
122 bezout 12768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  n )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) ) )
123121, 89, 122syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  n )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) ) )
124 eqeq1 2322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( P  gcd  n )  =  1  ->  (
( P  gcd  n
)  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) )  <->  1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) ) ) )
1251242rexbidv 2620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( P  gcd  n )  =  1  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  n )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) )  <->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) ) ) )
126123, 125syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( P  gcd  n )  =  1  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) ) ) )
12796adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  G  e.  Grp )
128121adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  ZZ )
129 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  a  e.  ZZ )
130128, 129zmulcld 10170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  a )  e.  ZZ )
13189adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  ZZ )
132 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  b  e.  ZZ )
133131, 132zmulcld 10170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( n  x.  b )  e.  ZZ )
13465ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  D  e.  B )
135134adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  D  e.  B )
1365, 36, 61mulgdir 14641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( P  x.  a )  e.  ZZ  /\  ( n  x.  b
)  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  =  ( ( ( P  x.  a )  .x.  D ) ( +g  `  G ) ( ( n  x.  b ) 
.x.  D ) ) )
137127, 130, 133, 135, 136syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  =  ( ( ( P  x.  a )  .x.  D ) ( +g  `  G ) ( ( n  x.  b ) 
.x.  D ) ) )
138100ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
) )
139138adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( S  .(+) 
W )  e.  (SubGrp `  G ) )
14092adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  P  e.  CC )
141 zcn 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( a  e.  ZZ  ->  a  e.  CC )
142141ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  a  e.  CC )
143140, 142mulcomd 8901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( P  x.  a )  =  ( a  x.  P ) )
144143oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  =  ( ( a  x.  P
)  .x.  D )
)
1455, 36mulgass 14646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( a  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
a  x.  P ) 
.x.  D )  =  ( a  .x.  ( P  .x.  D ) ) )
146127, 129, 128, 135, 145syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
a  x.  P ) 
.x.  D )  =  ( a  .x.  ( P  .x.  D ) ) )
147144, 146eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  =  ( a  .x.  ( P 
.x.  D ) ) )
14823lsmub2 15017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  W  C_  ( S  .(+)  W ) )
14922, 2, 148syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  W  C_  ( S  .(+) 
W ) )
15012oveq2i 5911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( P 
.x.  D )  =  ( P  .x.  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )
1515, 36, 61mulgdi 15175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  ( P  e.  ZZ  /\  C  e.  B  /\  (
( M  /  P
)  .x.  A )  e.  B ) )  -> 
( P  .x.  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )  =  ( ( P 
.x.  C ) ( +g  `  G ) ( P  .x.  (
( M  /  P
)  .x.  A )
) ) )
1521, 44, 107, 110, 151syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  ( C ( +g  `  G
) ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )  =  ( ( P 
.x.  C ) ( +g  `  G ) ( P  .x.  (
( M  /  P
)  .x.  A )
) ) )
153150, 152syl5eq 2360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  =  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G
) ( P  .x.  ( ( M  /  P )  .x.  A
) ) ) )
1545, 36mulgass 14646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( P  e.  ZZ  /\  ( M  /  P
)  e.  ZZ  /\  A  e.  B )
)  ->  ( ( P  x.  ( M  /  P ) )  .x.  A )  =  ( P  .x.  ( ( M  /  P ) 
.x.  A ) ) )
1554, 44, 50, 18, 154syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( M  /  P
) )  .x.  A
)  =  ( P 
.x.  ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )
15637zcnd 10165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
157156, 91, 47divcan2d 9583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( M  /  P ) )  =  M )
158157oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ph  ->  ( ( P  x.  ( M  /  P
) )  .x.  A
)  =  ( M 
.x.  A ) )
159155, 158eqtr3d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  (
( M  /  P
)  .x.  A )
)  =  ( M 
.x.  A ) )
160159oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ph  ->  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G ) ( P 
.x.  ( ( M  /  P )  .x.  A ) ) )  =  ( ( P 
.x.  C ) ( +g  `  G ) ( M  .x.  A
) ) )
161153, 160eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  =  ( ( P  .x.  C ) ( +g  `  G
) ( M  .x.  A ) ) )
162161, 38eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  e.  W )
163149, 162sseldd 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ph  ->  ( P  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
164163ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( P  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
165164adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( P  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)
16636subgmulgcl 14683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  a  e.  ZZ  /\  ( P  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( a  .x.  ( P  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
167139, 129, 165, 166syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( a  .x.  ( P  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
168147, 167eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)
16990adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  n  e.  CC )
170 zcn 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( b  e.  ZZ  ->  b  e.  CC )
171170ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  b  e.  CC )
172169, 171mulcomd 8901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( n  x.  b )  =  ( b  x.  n ) )
173172oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
n  x.  b ) 
.x.  D )  =  ( ( b  x.  n )  .x.  D
) )
1745, 36mulgass 14646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
b  x.  n ) 
.x.  D )  =  ( b  .x.  (
n  .x.  D )
) )
175127, 132, 131, 135, 174syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
b  x.  n ) 
.x.  D )  =  ( b  .x.  (
n  .x.  D )
) )
176173, 175eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
n  x.  b ) 
.x.  D )  =  ( b  .x.  (
n  .x.  D )
) )
17786oveq2d 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) x )  =  ( w (
-g `  G )
( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) ) ) )
1781ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  G  e.  Abel )
1795subgss 14671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( W  e.  (SubGrp `  G
)  ->  W  C_  B
)
18087, 179syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  W  C_  B )
181180, 88sseldd 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  w  e.  B )
1825, 36mulgcl 14633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  n  e.  ZZ  /\  D  e.  B )  ->  (
n  .x.  D )  e.  B )
18396, 89, 134, 182syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  e.  B )
1845, 70, 178, 181, 183ablnncan 15171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) ( w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) ) )  =  ( n  .x.  D ) )
185177, 184eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) x )  =  ( n  .x.  D ) )
186149ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  W  C_  ( S  .(+)  W ) )
187186, 88sseldd 3215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  w  e.  ( S  .(+) 
W ) )
18825sselda 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  x  e.  ( S  .(+)  W ) )
189188ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  x  e.  ( S  .(+) 
W ) )
19070subgsubcl 14681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  w  e.  ( S  .(+)  W )  /\  x  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( w
( -g `  G ) x )  e.  ( S  .(+)  W )
)
191138, 187, 189, 190syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) x )  e.  ( S  .(+)  W ) )
192185, 191eqeltrrd 2391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )
193192adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( n  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)
19436subgmulgcl 14683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  b  e.  ZZ  /\  ( n  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )
)  ->  ( b  .x.  ( n  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
195139, 132, 193, 194syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( b  .x.  ( n  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
196176, 195eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
n  x.  b ) 
.x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) )
19761subgcl 14680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( S  .(+)  W )  e.  (SubGrp `  G
)  /\  ( ( P  x.  a )  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W )  /\  ( ( n  x.  b )  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W ) )  -> 
( ( ( P  x.  a )  .x.  D ) ( +g  `  G ) ( ( n  x.  b ) 
.x.  D ) )  e.  ( S  .(+)  W ) )
198139, 168, 196, 197syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( P  x.  a
)  .x.  D )
( +g  `  G ) ( ( n  x.  b )  .x.  D
) )  e.  ( S  .(+)  W )
)
199137, 198eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) )
200 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) )  ->  (
1  .x.  D )  =  ( ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b ) )  .x.  D ) )
201200eleq1d 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) )  ->  (
( 1  .x.  D
)  e.  ( S 
.(+)  W )  <->  ( (
( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) ) 
.x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
202199, 201syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) ) )  /\  ( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ ) )  ->  ( 1  =  ( ( P  x.  a )  +  ( n  x.  b
) )  ->  (
1  .x.  D )  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
203202rexlimdvva 2708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  1  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( n  x.  b ) )  ->  ( 1  .x. 
D )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
204126, 203syld 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( P  gcd  n )  =  1  ->  ( 1  .x. 
D )  e.  ( S  .(+)  W )
) )
2055, 36mulg1 14623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( D  e.  B  ->  (
1  .x.  D )  =  D )
206134, 205syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( 1  .x.  D
)  =  D )
207206eleq1d 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( 1  .x. 
D )  e.  ( S  .(+)  W )  <->  D  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
208204, 207sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( P  gcd  n )  =  1  ->  D  e.  ( S  .(+)  W )
) )
209120, 208sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( -.  P  ||  n  ->  D  e.  ( S  .(+)  W )
) )
210117, 209mt3d 117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  P  ||  n )
211 dvdsval2 12581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  n  <->  ( n  /  P )  e.  ZZ ) )
212121, 93, 89, 211syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( P  ||  n  <->  ( n  /  P )  e.  ZZ ) )
213210, 212mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  /  P
)  e.  ZZ )
2145, 36mulgass 14646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( n  /  P )  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ  /\  D  e.  B )
)  ->  ( (
( n  /  P
)  x.  P ) 
.x.  D )  =  ( ( n  /  P )  .x.  ( P  .x.  D ) ) )
21596, 213, 121, 134, 214syl13anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( ( n  /  P )  x.  P )  .x.  D
)  =  ( ( n  /  P ) 
.x.  ( P  .x.  D ) ) )
21695, 215eqtr3d 2350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  =  ( ( n  /  P ) 
.x.  ( P  .x.  D ) ) )
217162ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( P  .x.  D
)  e.  W )
21836subgmulgcl 14683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
n  /  P )  e.  ZZ  /\  ( P  .x.  D )  e.  W )  ->  (
( n  /  P
)  .x.  ( P  .x.  D ) )  e.  W )
21987, 213, 217, 218syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( ( n  /  P )  .x.  ( P  .x.  D ) )  e.  W )
220216, 219eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( n  .x.  D
)  e.  W )
22170subgsubcl 14681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  (SubGrp `  G )  /\  w  e.  W  /\  (
n  .x.  D )  e.  W )  ->  (
w ( -g `  G
) ( n  .x.  D ) )  e.  W )
22287, 88, 220, 221syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  -> 
( w ( -g `  G ) ( n 
.x.  D ) )  e.  W )
22386, 222eqeltrd 2390 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  ( w  e.  W  /\  n  e.  ZZ ) )  /\  x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) ) )  ->  x  e.  W )
224223ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  S )  /\  (
w  e.  W  /\  n  e.  ZZ )
)  ->  ( x  =  ( w (
-g `  G )
( n  .x.  D
) )  ->  x  e.  W ) )
225224rexlimdvva 2708 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  ( E. w  e.  W  E. n  e.  ZZ  x  =  ( w
( -g `  G ) ( n  .x.  D
) )  ->  x  e.  W ) )
22685, 225sylbid 206 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  (
x  e.  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) )  ->  x  e.  W
) )
227226imdistanda 674 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  S  /\  x  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  -> 
( x  e.  S  /\  x  e.  W
) ) )
228 elin 3392 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) ) )
229 elin 3392 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( S  i^i  W )  <->  ( x  e.  S  /\  x  e.  W ) )
230227, 228, 2293imtr4g 261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( S  i^i  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )  ->  x  e.  ( S  i^i  W ) ) )
231230ssrdv 3219 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  C_  ( S  i^i  W ) )
232231, 34sseqtrd 3248 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  C_  {  .0.  } )
23330subg0cl 14678 . . . . . 6  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
23422, 233syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  S )
23530subg0cl 14678 . . . . . 6  |-  ( ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  .0.  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )
23669, 235syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )
237 elin 3392 . . . . 5  |-  (  .0. 
e.  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  <->  (  .0.  e.  S  /\  .0.  e.  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) ) )
238234, 236, 237sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
239238snssd 3797 . . 3  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
240232, 239eqssd 3230 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  {  .0.  } )
24123lsmass 15028 . . . 4  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  W  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( K `  { D } )  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  ( S 
.(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
24222, 2, 67, 241syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  ( S 
.(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
243 eldif 3196 . . . . 5  |-  ( D  e.  ( U  \ 
( S  .(+)  W ) )  <->  ( D  e.  U  /\  -.  D  e.  ( S  .(+)  W ) ) )
24464, 116, 243sylanbrc 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  D  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  W ) ) )
24519, 16, 5, 28, 29, 30, 23, 31, 1, 32, 33, 9, 17, 2, 34, 26, 35pgpfac1lem1 15358 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  D  e.  ( U  \  ( S  .(+)  W ) ) )  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  U )
246244, 245mpdan 649 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  W )  .(+)  ( K `  { D } ) )  =  U )
247242, 246eqtr3d 2350 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  U )
248 ineq2 3398 . . . . 5  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( S  i^i  t
)  =  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
249248eqeq1d 2324 . . . 4  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  <->  ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  =  {  .0.  } ) )
250 oveq2 5908 . . . . 5  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( S  .(+)  t )  =  ( S  .(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) ) )
251250eqeq1d 2324 . . . 4  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( ( S  .(+)  t )  =  U  <->  ( S  .(+) 
( W  .(+)  ( K `
 { D }
) ) )  =  U ) )
252249, 251anbi12d 691 . . 3  |-  ( t  =  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) )  -> 
( ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U )  <->  ( ( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  ( W 
.(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  U ) ) )
253252rspcev 2918 . 2  |-  ( ( ( W  .(+)  ( K `
 { D }
) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
( S  i^i  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  ( W  .(+)  ( K `  { D } ) ) )  =  U ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
25469, 240, 247, 253syl12anc 1180 1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   E.wrex 2578   _Vcvv 2822    \ cdif 3183    i^i cin 3185    C_ wss 3186    C. wpss 3187   {csn 3674   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   ran crn 4727   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   Fincfn 6906   CCcc 8780   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    x. cmul 8787    / cdiv 9468   NNcn 9791   ZZcz 10071    || cdivides 12578    gcd cgcd 12732   Primecprime 12805   Basecbs 13195   +g cplusg 13255   0gc0g 13449  Moorecmre 13533  mrClscmrc 13534  ACScacs 13536   Grpcgrp 14411   -gcsg 14414  .gcmg 14415  SubGrpcsubg 14664   odcod 14889  gExcgex 14890   pGrp cpgp 14891   LSSumclsm 14994   Abelcabel 15139
This theorem is referenced by:  pgpfac1lem4  15362
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-disj 4031  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-omul 6526  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-acn 7620  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-fl 10972  df-mod 11021  df-seq 11094  df-exp 11152  df-fac 11336  df-bc 11363  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-clim 12009  df-sum 12206  df-dvds 12579  df-gcd 12733  df-prm 12806  df-pc 12937  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-0g 13453  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-grp 14538  df-minusg 14539  df-sbg 14540  df-mulg 14541  df-subg 14667  df-eqg 14669  df-ga 14793  df-cntz 14842  df-od 14893  df-gex 14894  df-pgp 14895  df-lsm 14996  df-cmn 15140  df-abl 15141
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