Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem4 Structured version   Unicode version

Theorem pgpfac1lem4 15638
 Description: Lemma for pgpfac1 15640. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k mrClsSubGrp
pgpfac1.s
pgpfac1.b
pgpfac1.o
pgpfac1.e gEx
pgpfac1.z
pgpfac1.l
pgpfac1.p pGrp
pgpfac1.g
pgpfac1.n
pgpfac1.oe
pgpfac1.u SubGrp
pgpfac1.au
pgpfac1.w SubGrp
pgpfac1.i
pgpfac1.ss
pgpfac1.2 SubGrp
pgpfac1.c
pgpfac1.mg .g
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem4 SubGrp
Distinct variable groups:   ,   ,,   , ,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   , ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,)   ()

Proof of Theorem pgpfac1lem4
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.k . . . . . . . 8 mrClsSubGrp
2 pgpfac1.s . . . . . . . 8
3 pgpfac1.b . . . . . . . 8
4 pgpfac1.o . . . . . . . 8
5 pgpfac1.e . . . . . . . 8 gEx
6 pgpfac1.z . . . . . . . 8
7 pgpfac1.l . . . . . . . 8
8 pgpfac1.p . . . . . . . 8 pGrp
9 pgpfac1.g . . . . . . . 8
10 pgpfac1.n . . . . . . . 8
11 pgpfac1.oe . . . . . . . 8
12 pgpfac1.u . . . . . . . 8 SubGrp
13 pgpfac1.au . . . . . . . 8
14 pgpfac1.w . . . . . . . 8 SubGrp
15 pgpfac1.i . . . . . . . 8
16 pgpfac1.ss . . . . . . . 8
17 pgpfac1.2 . . . . . . . 8 SubGrp
18 pgpfac1.c . . . . . . . 8
19 pgpfac1.mg . . . . . . . 8 .g
201, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19pgpfac1lem2 15635 . . . . . . 7
21 ablgrp 15419 . . . . . . . . . . . 12
229, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11
233subgacs 14977 . . . . . . . . . . 11 SubGrp ACS
24 acsmre 13879 . . . . . . . . . . 11 SubGrp ACS SubGrp Moore
2522, 23, 243syl 19 . . . . . . . . . 10 SubGrp Moore
263subgss 14947 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
2712, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11
2827, 13sseldd 3351 . . . . . . . . . 10
291mrcsncl 13839 . . . . . . . . . 10 SubGrp Moore SubGrp
3025, 28, 29syl2anc 644 . . . . . . . . 9 SubGrp
312, 30syl5eqel 2522 . . . . . . . 8 SubGrp
327lsmcom 15475 . . . . . . . 8 SubGrp SubGrp
339, 31, 14, 32syl3anc 1185 . . . . . . 7
3420, 33eleqtrd 2514 . . . . . 6
35 eqid 2438 . . . . . . 7
3635, 7, 14, 31lsmelvalm 15287 . . . . . 6
3734, 36mpbid 203 . . . . 5
38 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11
393, 19, 38, 1cycsubg2 14979 . . . . . . . . . 10
4022, 28, 39syl2anc 644 . . . . . . . . 9
412, 40syl5eq 2482 . . . . . . . 8
4241rexeqdv 2913 . . . . . . 7
43 ovex 6108 . . . . . . . . 9
4443rgenw 2775 . . . . . . . 8
45 oveq2 6091 . . . . . . . . . 10
4645eqeq2d 2449 . . . . . . . . 9
4738, 46rexrnmpt 5881 . . . . . . . 8
4844, 47ax-mp 8 . . . . . . 7
4942, 48syl6bb 254 . . . . . 6
5049rexbidv 2728 . . . . 5
5137, 50mpbid 203 . . . 4
52 rexcom 2871 . . . 4
5351, 52sylib 190 . . 3
5422ad2antrr 708 . . . . . . . 8
553subgss 14947 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
5614, 55syl 16 . . . . . . . . . 10
5756adantr 453 . . . . . . . . 9
5857sselda 3350 . . . . . . . 8
59 simplr 733 . . . . . . . . 9
6028ad2antrr 708 . . . . . . . . 9
613, 19mulgcl 14909 . . . . . . . . 9
6254, 59, 60, 61syl3anc 1185 . . . . . . . 8
63 pgpprm 15229 . . . . . . . . . . 11 pGrp
64 prmz 13085 . . . . . . . . . . 11
658, 63, 643syl 19 . . . . . . . . . 10
6618eldifad 3334 . . . . . . . . . . 11
6727, 66sseldd 3351 . . . . . . . . . 10
683, 19mulgcl 14909 . . . . . . . . . 10
6922, 65, 67, 68syl3anc 1185 . . . . . . . . 9
7069ad2antrr 708 . . . . . . . 8
71 eqid 2438 . . . . . . . . 9
723, 71, 35grpsubadd 14878 . . . . . . . 8
7354, 58, 62, 70, 72syl13anc 1187 . . . . . . 7
74 eqcom 2440 . . . . . . 7
75 eqcom 2440 . . . . . . 7
7673, 74, 753bitr4g 281 . . . . . 6
7776rexbidva 2724 . . . . 5
78 risset 2755 . . . . 5
7977, 78syl6bbr 256 . . . 4
8079rexbidva 2724 . . 3
8153, 80mpbid 203 . 2
828adantr 453 . . 3 pGrp
839adantr 453 . . 3
8410adantr 453 . . 3
8511adantr 453 . . 3
8612adantr 453 . . 3 SubGrp
8713adantr 453 . . 3
8814adantr 453 . . 3 SubGrp
8915adantr 453 . . 3
9016adantr 453 . . 3
9117adantr 453 . . 3 SubGrp
9218adantr 453 . . 3
93 simprl 734 . . 3
94 simprr 735 . . 3
95 eqid 2438 . . 3
961, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 19, 93, 94, 95pgpfac1lem3 15637 . 2 SubGrp
9781, 96rexlimddv 2836 1 SubGrp
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958   cdif 3319   cin 3321   wss 3322   wpss 3323  csn 3816   class class class wbr 4214   cmpt 4268   crn 4881  cfv 5456  (class class class)co 6083  cfn 7111   cdiv 9679  cz 10284  cprime 13081  cbs 13471   cplusg 13531  c0g 13725  Moorecmre 13809  mrClscmrc 13810  ACScacs 13812  cgrp 14687  csg 14690  .gcmg 14691  SubGrpcsubg 14940  cod 15165  gExcgex 15166   pGrp cpgp 15167  clsm 15270  cabel 15415 This theorem is referenced by:  pgpfac1lem5  15639 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-disj 4185  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-omul 6731  df-er 6907  df-ec 6909  df-qs 6913  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-acn 7831  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-pc 13213  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-0g 13729  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-grp 14814  df-minusg 14815  df-sbg 14816  df-mulg 14817  df-subg 14943  df-eqg 14945  df-ga 15069  df-cntz 15118  df-od 15169  df-gex 15170  df-pgp 15171  df-lsm 15272  df-cmn 15416  df-abl 15417
 Copyright terms: Public domain W3C validator