MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem5 Unicode version

Theorem pgpfac1lem5 15564
Description: Lemma for pgpfac1 15565 (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
pgpfac1.s  |-  S  =  ( K `  { A } )
pgpfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgpfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
pgpfac1.e  |-  E  =  (gEx `  G )
pgpfac1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pgpfac1.l  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pgpfac1.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
pgpfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
pgpfac1.n  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
pgpfac1.oe  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
pgpfac1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
pgpfac1.3  |-  ( ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  U  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem5  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Distinct variable groups:    t, s,  .0.    A, s, t    .(+) , s, t    P, s, t    B, s, t    G, s, t    U, s, t    S, s, t    ph, s, t    K, s, t
Allowed substitution hints:    E( t, s)    O( t, s)

Proof of Theorem pgpfac1lem5
Dummy variables  b  u  v  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
2 pwfi 7337 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  <->  ~P B  e.  Fin )
31, 2sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ~P B  e.  Fin )
43adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  ~P B  e.  Fin )
5 pgpfac1.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  G
)
65subgss 14872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  (SubGrp `  G
)  ->  v  C_  B )
763ad2ant2 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( v  C.  U  /\  A  e.  v
) )  ->  v  C_  B )
8 vex 2902 . . . . . . . . . . 11  |-  v  e. 
_V
98elpw 3748 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ~P B  <->  v  C_  B )
107, 9sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( v  C.  U  /\  A  e.  v
) )  ->  v  e.  ~P B )
1110rabssdv 3366 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  C_  ~P B )
12 ssfi 7265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P B  e.  Fin  /\ 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  C_  ~P B )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin )
134, 11, 12syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin )
14 finnum 7768 . . . . . . 7  |-  ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  dom  card )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  dom  card )
16 pgpfac1.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( K `  { A } )
17 pgpfac1.g . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
18 ablgrp 15344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
205subgacs 14902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
21 acsmre 13804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B )  -> 
(SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
2219, 20, 213syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
23 pgpfac1.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
245subgss 14872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  B
)
2523, 24syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  B )
26 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
2725, 26sseldd 3292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
28 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
2928mrcsncl 13764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  A  e.  B
)  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G
) )
3022, 27, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
3116, 30syl5eqel 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
3231adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
33 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  S  C.  U )
3426snssd 3886 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { A }  C_  U )
3534, 25sstrd 3301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { A }  C_  B )
3622, 28, 35mrcssidd 13777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { A }  C_  ( K `  { A } ) )
3736, 16syl6sseqr 3338 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { A }  C_  S )
38 snssg 3875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S ) )
3927, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S
) )
4037, 39mpbird 224 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
4140adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  A  e.  S )
42 psseq1 3377 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  S  ->  (
v  C.  U  <->  S  C.  U ) )
43 eleq2 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  S  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  S ) )
4442, 43anbi12d 692 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  S  ->  (
( v  C.  U  /\  A  e.  v
)  <->  ( S  C.  U  /\  A  e.  S
) ) )
4544rspcev 2995 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( S  C.  U  /\  A  e.  S ) )  ->  E. v  e.  (SubGrp `  G ) ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) )
4632, 33, 41, 45syl12anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  E. v  e.  (SubGrp `  G )
( v  C.  U  /\  A  e.  v
) )
47 rabn0 3590 . . . . . . 7  |-  ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  =/=  (/)  <->  E. v  e.  (SubGrp `  G ) ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) )
4846, 47sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  =/=  (/) )
49 simpr1 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  u  C_ 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )
50 simpr2 964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  u  =/=  (/) )
5113adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin )
52 ssfi 7265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin  /\  u  C_ 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )  ->  u  e.  Fin )
5351, 49, 52syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  u  e.  Fin )
54 simpr3 965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  -> [ C.]  Or  u )
55 fin1a2lem10 8222 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =/=  (/)  /\  u  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  u
)  ->  U. u  e.  u )
5650, 53, 54, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  U. u  e.  u )
5749, 56sseldd 3292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )
5857ex 424 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  (
( u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
)  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } ) )
5958alrimiv 1638 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  A. u
( ( u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u )  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } ) )
60 zornn0g 8318 . . . . . 6  |-  ( ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  dom  card  /\  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  =/=  (/)  /\  A. u
( ( u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u )  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } ) )  ->  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w )
6115, 48, 59, 60syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w
)
62 psseq1 3377 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  (
v  C.  U  <->  w  C.  U ) )
63 eleq2 2448 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  w ) )
6462, 63anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( v  =  w  ->  (
( v  C.  U  /\  A  e.  v
)  <->  ( w  C.  U  /\  A  e.  w
) ) )
6564ralrab 3039 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )
6665rexbii 2674 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w  <->  E. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )
6761, 66sylib 189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )
6867ex 424 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  C.  U  ->  E. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) ) )
69 pgpfac1.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  U  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )
70 psseq1 3377 . . . . . . 7  |-  ( v  =  s  ->  (
v  C.  U  <->  s  C.  U ) )
71 eleq2 2448 . . . . . . 7  |-  ( v  =  s  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  s ) )
7270, 71anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( v  =  s  ->  (
( v  C.  U  /\  A  e.  v
)  <->  ( s  C.  U  /\  A  e.  s ) ) )
7372ralrab 3039 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  <->  A. s  e.  (SubGrp `  G )
( ( s  C.  U  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )
7469, 73sylibr 204 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) )
75 r19.29 2789 . . . . 5  |-  ( ( A. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  /\  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  ( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )
7672elrab 3035 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )
77 ineq2 3479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  v  ->  ( S  i^i  t )  =  ( S  i^i  v
) )
7877eqeq1d 2395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  v  ->  (
( S  i^i  t
)  =  {  .0.  }  <-> 
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  } ) )
79 oveq2 6028 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  v  ->  ( S  .(+)  t )  =  ( S  .(+)  v ) )
8079eqeq1d 2395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  v  ->  (
( S  .(+)  t )  =  s  <->  ( S  .(+) 
v )  =  s ) )
8178, 80anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  v  ->  (
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  <->  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s ) ) )
8281cbvrexv 2876 . . . . . . . . 9  |-  ( E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  <->  E. v  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  v )  =  s ) )
83 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
s  C.  U )
8483ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  s  C.  U )
85 simpr2 964 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( S  .(+) 
v )  =  s )
8685psseq1d 3382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( ( S  .(+)  v )  C.  U 
<->  s  C.  U ) )
8784, 86mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( S  .(+) 
v )  C.  U
)
88 pssdif 3633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  .(+)  v )  C.  U  ->  ( U 
\  ( S  .(+)  v ) )  =/=  (/) )
89 n0 3580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  \  ( S 
.(+)  v ) )  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) )
9088, 89sylib 189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  .(+)  v )  C.  U  ->  E. b 
b  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  v ) ) )
9187, 90syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  E. b 
b  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  v ) ) )
92 pgpfac1.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  O  =  ( od `  G
)
93 pgpfac1.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  E  =  (gEx `  G )
94 pgpfac1.z . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
95 pgpfac1.l . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
96 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
9796ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  P pGrp  G )
9817ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  G  e.  Abel )
991ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  B  e.  Fin )
100 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
101100ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( O `  A )  =  E )
10223ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G )
)
10326ad3antrrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  A  e.  U )
104 simplr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  v  e.  (SubGrp `  G )
)
105 simprl1 1002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  i^i  v )  =  {  .0.  } )
10687adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  .(+)  v )  C.  U )
107106pssssd 3387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  .(+)  v )  C_  U )
108 simprl3 1004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w ) )
10985adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  .(+)  v )  =  s )
110 psseq1 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( ( S  .(+)  v )  C.  y  <->  s  C.  y
) )
111110notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( -.  ( S  .(+)  v ) 
C.  y  <->  -.  s  C.  y ) )
112111imbi2d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( ( ( y  C.  U  /\  A  e.  y
)  ->  -.  ( S  .(+)  v )  C.  y )  <->  ( (
y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y
) ) )
113112ralbidv 2669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( A. y  e.  (SubGrp `  G
) ( ( y 
C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v ) 
C.  y )  <->  A. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y ) ) )
114 psseq1 3377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  (
y  C.  U  <->  w  C.  U ) )
115 eleq2 2448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  ( A  e.  y  <->  A  e.  w ) )
116114, 115anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  C.  U  /\  A  e.  y
)  <->  ( w  C.  U  /\  A  e.  w
) ) )
117 psseq2 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  (
s  C.  y  <->  s  C.  w ) )
118117notbid 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  s  C.  y  <->  -.  s  C.  w ) )
119116, 118imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y )  <->  ( (
w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) ) )
120119cbvralv 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. y  e.  (SubGrp `  G
) ( ( y 
C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y )  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w ) )
121113, 120syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( A. y  e.  (SubGrp `  G
) ( ( y 
C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v ) 
C.  y )  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w ) ) )
122109, 121syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( A. y  e.  (SubGrp `  G ) ( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v )  C.  y )  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) ) )
123108, 122mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  A. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v )  C.  y ) )
124 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) )
125 eqid 2387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
12628, 16, 5, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, 101, 102, 103, 104, 105, 107, 123, 124, 125pgpfac1lem4 15563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
127126expr 599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
128127exlimdv 1643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( E. b  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) )
12991, 128mpd 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
1301293exp2 1171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  ->  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) ) )
131130imp3a 421 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s )  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) )
132131rexlimdva 2773 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
( E. v  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  v )  =  s )  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) )
13382, 132syl5bi 209 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) )
134133imp3a 421 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
( ( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
13576, 134sylan2b 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )  ->  (
( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
136135rexlimdva 2773 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  ( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
13775, 136syl5 30 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  /\  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
13874, 137mpand 657 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) )
13968, 138syld 42 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  C.  U  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
140940subg 14892 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G
) )
14119, 140syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G ) )
142141adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G
) )
14394subg0cl 14879 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
14431, 143syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  e.  S )
145144snssd 3886 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  S )
146145adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  {  .0.  } 
C_  S )
147 sseqin2 3503 . . . . 5  |-  ( {  .0.  }  C_  S  <->  ( S  i^i  {  .0.  } )  =  {  .0.  } )
148146, 147sylib 189 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  ( S  i^i  {  .0.  }
)  =  {  .0.  } )
14995lsmss2 15227 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G )  /\  {  .0.  }  C_  S )  ->  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  S )
15031, 141, 145, 149syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  S )
151150eqeq1d 2395 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U  <->  S  =  U
) )
152151biimpar 472 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  ( S  .(+)  {  .0.  }
)  =  U )
153 ineq2 3479 . . . . . . 7  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( S  i^i  t
)  =  ( S  i^i  {  .0.  }
) )
154153eqeq1d 2395 . . . . . 6  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  <->  ( S  i^i  {  .0.  } )  =  {  .0.  } ) )
155 oveq2 6028 . . . . . . 7  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( S  .(+)  t )  =  ( S  .(+)  {  .0.  } ) )
156155eqeq1d 2395 . . . . . 6  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( ( S  .(+)  t )  =  U  <->  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U ) )
157154, 156anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U )  <->  ( ( S  i^i  {  .0.  }
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U ) ) )
158157rspcev 2995 . . . 4  |-  ( ( {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( ( S  i^i  {  .0.  } )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
159142, 148, 152, 158syl12anc 1182 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
160159ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  =  U  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
16128mrcsscl 13772 . . . . 5  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  { A }  C_  U  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( K `  { A } )  C_  U
)
16222, 34, 23, 161syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  C_  U
)
16316, 162syl5eqss 3335 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  U )
164 sspss 3389 . . 3  |-  ( S 
C_  U  <->  ( S  C.  U  \/  S  =  U ) )
165163, 164sylib 189 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  C.  U  \/  S  =  U
) )
166139, 160, 165mpjaod 371 1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   A.wral 2649   E.wrex 2650   {crab 2653    \ cdif 3260    i^i cin 3262    C_ wss 3263    C. wpss 3264   (/)c0 3571   ~Pcpw 3742   {csn 3757   U.cuni 3957   class class class wbr 4153    Or wor 4443   dom cdm 4818   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   [ C.] crpss 6457   Fincfn 7045   cardccrd 7755   Basecbs 13396   0gc0g 13650  Moorecmre 13734  mrClscmrc 13735  ACScacs 13737   Grpcgrp 14612  .gcmg 14616  SubGrpcsubg 14865   odcod 15090  gExcgex 15091   pGrp cpgp 15092   LSSumclsm 15195   Abelcabel 15340
This theorem is referenced by:  pgpfac1  15565
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-inf2 7529  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000  ax-pre-sup 9001
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-int 3993  df-iun 4037  df-iin 4038  df-disj 4124  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-se 4483  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-isom 5403  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-rpss 6458  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6841  df-ec 6843  df-qs 6847  df-map 6956  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-fin 7049  df-sup 7381  df-oi 7412  df-card 7759  df-acn 7762  df-cda 7981  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-2 9990  df-3 9991  df-n0 10154  df-z 10215  df-uz 10421  df-q 10507  df-rp 10545  df-fz 10976  df-fzo 11066  df-fl 11129  df-mod 11178  df-seq 11251  df-exp 11310  df-fac 11494  df-bc 11521  df-hash 11546  df-cj 11831  df-re 11832  df-im 11833  df-sqr 11967  df-abs 11968  df-clim 12209  df-sum 12407  df-dvds 12780  df-gcd 12934  df-prm 13007  df-pc 13138  df-ndx 13399  df-slot 13400  df-base 13401  df-sets 13402  df-ress 13403  df-plusg 13469  df-0g 13654  df-mre 13738  df-mrc 13739  df-acs 13741  df-mnd 14617  df-submnd 14666  df-grp 14739  df-minusg 14740  df-sbg 14741  df-mulg 14742  df-subg 14868  df-eqg 14870  df-ga 14994  df-cntz 15043  df-od 15094  df-gex 15095  df-pgp 15096  df-lsm 15197  df-cmn 15341  df-abl 15342
  Copyright terms: Public domain W3C validator