MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pgpfac1lem5 Unicode version

Theorem pgpfac1lem5 15314
Description: Lemma for pgpfac1 15315 (Contributed by Mario Carneiro, 27-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pgpfac1.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
pgpfac1.s  |-  S  =  ( K `  { A } )
pgpfac1.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
pgpfac1.o  |-  O  =  ( od `  G
)
pgpfac1.e  |-  E  =  (gEx `  G )
pgpfac1.z  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
pgpfac1.l  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
pgpfac1.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
pgpfac1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
pgpfac1.n  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
pgpfac1.oe  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
pgpfac1.u  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
pgpfac1.au  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
pgpfac1.3  |-  ( ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  U  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )
Assertion
Ref Expression
pgpfac1lem5  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Distinct variable groups:    t, s,  .0.    A, s, t    .(+) , s, t    P, s, t    B, s, t    G, s, t    U, s, t    S, s, t    ph, s, t    K, s, t
Allowed substitution hints:    E( t, s)    O( t, s)

Proof of Theorem pgpfac1lem5
Dummy variables  b  u  v  y  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pgpfac1.n . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
2 pwfi 7151 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  Fin  <->  ~P B  e.  Fin )
31, 2sylib 188 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ~P B  e.  Fin )
43adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  ~P B  e.  Fin )
5 pgpfac1.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  G
)
65subgss 14622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( v  e.  (SubGrp `  G
)  ->  v  C_  B )
763ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( v  C.  U  /\  A  e.  v
) )  ->  v  C_  B )
8 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  v  e. 
_V
98elpw 3631 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  e.  ~P B  <->  v  C_  B )
107, 9sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( v  C.  U  /\  A  e.  v
) )  ->  v  e.  ~P B )
1110rabssdv 3253 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  C_  ~P B )
12 ssfi 7083 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P B  e.  Fin  /\ 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  C_  ~P B )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin )
134, 11, 12syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin )
14 finnum 7581 . . . . . . 7  |-  ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  dom  card )
1513, 14syl 15 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  dom  card )
16 pgpfac1.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( K `  { A } )
17 pgpfac1.g . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  G  e.  Abel )
18 ablgrp 15094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
205subgacs 14652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  Grp  ->  (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
21 acsmre 13554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (SubGrp `  G )  e.  (ACS
`  B )  -> 
(SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
2219, 20, 213syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )
)
23 pgpfac1.u . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U  e.  (SubGrp `  G ) )
245subgss 14622 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( U  e.  (SubGrp `  G
)  ->  U  C_  B
)
2523, 24syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  C_  B )
26 pgpfac1.au . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  U )
2725, 26sseldd 3181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  B )
28 pgpfac1.k . . . . . . . . . . . 12  |-  K  =  (mrCls `  (SubGrp `  G
) )
2928mrcsncl 13514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  A  e.  B
)  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G
) )
3022, 27, 29syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  e.  (SubGrp `  G ) )
3116, 30syl5eqel 2367 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  (SubGrp `  G ) )
3231adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  S  e.  (SubGrp `  G )
)
33 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  S  C.  U )
3426snssd 3760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  { A }  C_  U )
3534, 25sstrd 3189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  { A }  C_  B )
3628mrcssid 13519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  { A }  C_  B )  ->  { A }  C_  ( K `  { A } ) )
3722, 35, 36syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  { A }  C_  ( K `  { A } ) )
3837, 16syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  { A }  C_  S )
39 snssg 3754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  B  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S ) )
4027, 39syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A  e.  S  <->  { A }  C_  S
) )
4138, 40mpbird 223 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
4241adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  A  e.  S )
43 psseq1 3263 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  S  ->  (
v  C.  U  <->  S  C.  U ) )
44 eleq2 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( v  =  S  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  S ) )
4543, 44anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  S  ->  (
( v  C.  U  /\  A  e.  v
)  <->  ( S  C.  U  /\  A  e.  S
) ) )
4645rspcev 2884 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( S  C.  U  /\  A  e.  S ) )  ->  E. v  e.  (SubGrp `  G ) ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) )
4732, 33, 42, 46syl12anc 1180 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  E. v  e.  (SubGrp `  G )
( v  C.  U  /\  A  e.  v
) )
48 rabn0 3474 . . . . . . 7  |-  ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  =/=  (/)  <->  E. v  e.  (SubGrp `  G ) ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) )
4947, 48sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  =/=  (/) )
50 simpr1 961 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  u  C_ 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )
51 simpr2 962 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  u  =/=  (/) )
5213adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin )
53 ssfi 7083 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  Fin  /\  u  C_ 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )  ->  u  e.  Fin )
5452, 50, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  u  e.  Fin )
55 simpr3 963 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  -> [ C.]  Or  u )
56 fin1a2lem10 8035 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  =/=  (/)  /\  u  e.  Fin  /\ [ C.]  Or  u
)  ->  U. u  e.  u )
5751, 54, 55, 56syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  U. u  e.  u )
5850, 57sseldd 3181 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  S  C.  U )  /\  (
u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
) )  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )
5958ex 423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  (
( u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u
)  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } ) )
6059alrimiv 1617 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  A. u
( ( u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u )  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } ) )
61 zornn0g 8132 . . . . . 6  |-  ( ( { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  e.  dom  card  /\  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  =/=  (/)  /\  A. u
( ( u  C_  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  /\  u  =/=  (/)  /\ [ C.]  Or  u )  ->  U. u  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } ) )  ->  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w )
6215, 49, 60, 61syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w
)
63 psseq1 3263 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  (
v  C.  U  <->  w  C.  U ) )
64 eleq2 2344 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  w  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  w ) )
6563, 64anbi12d 691 . . . . . . 7  |-  ( v  =  w  ->  (
( v  C.  U  /\  A  e.  v
)  <->  ( w  C.  U  /\  A  e.  w
) ) )
6665ralrab 2927 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )
6766rexbii 2568 . . . . 5  |-  ( E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  -.  s  C.  w  <->  E. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )
6862, 67sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  C.  U )  ->  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )
6968ex 423 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S  C.  U  ->  E. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) ) )
70 pgpfac1.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. s  e.  (SubGrp `  G ) ( ( s  C.  U  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) ) )
71 psseq1 3263 . . . . . . 7  |-  ( v  =  s  ->  (
v  C.  U  <->  s  C.  U ) )
72 eleq2 2344 . . . . . . 7  |-  ( v  =  s  ->  ( A  e.  v  <->  A  e.  s ) )
7371, 72anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( v  =  s  ->  (
( v  C.  U  /\  A  e.  v
)  <->  ( s  C.  U  /\  A  e.  s ) ) )
7473ralrab 2927 . . . . 5  |-  ( A. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  <->  A. s  e.  (SubGrp `  G )
( ( s  C.  U  /\  A  e.  s )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s ) ) )
7570, 74sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s ) )
76 r19.29 2683 . . . . 5  |-  ( ( A. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  /\  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. s  e.  {
v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  ( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )
7773elrab 2923 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  <->  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )
78 ineq2 3364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  v  ->  ( S  i^i  t )  =  ( S  i^i  v
) )
7978eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  v  ->  (
( S  i^i  t
)  =  {  .0.  }  <-> 
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  } ) )
80 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  v  ->  ( S  .(+)  t )  =  ( S  .(+)  v ) )
8180eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  v  ->  (
( S  .(+)  t )  =  s  <->  ( S  .(+) 
v )  =  s ) )
8279, 81anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  v  ->  (
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  <->  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s ) ) )
8382cbvrexv 2765 . . . . . . . . 9  |-  ( E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  <->  E. v  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  v )  =  s ) )
84 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
s  C.  U )
8584ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  s  C.  U )
86 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( S  .(+) 
v )  =  s )
8786psseq1d 3268 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( ( S  .(+)  v )  C.  U 
<->  s  C.  U ) )
8885, 87mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( S  .(+) 
v )  C.  U
)
89 pssdif 3516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( S  .(+)  v )  C.  U  ->  ( U 
\  ( S  .(+)  v ) )  =/=  (/) )
90 n0 3464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( U  \  ( S 
.(+)  v ) )  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) )
9189, 90sylib 188 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( S  .(+)  v )  C.  U  ->  E. b 
b  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  v ) ) )
9288, 91syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  E. b 
b  e.  ( U 
\  ( S  .(+)  v ) ) )
93 pgpfac1.o . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  O  =  ( od `  G
)
94 pgpfac1.e . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  E  =  (gEx `  G )
95 pgpfac1.z . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .0.  =  ( 0g `  G )
96 pgpfac1.l . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  .(+)  =  (
LSSum `  G )
97 pgpfac1.p . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
9897ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  P pGrp  G )
9917ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  G  e.  Abel )
1001ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  B  e.  Fin )
101 pgpfac1.oe . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( O `  A
)  =  E )
102101ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( O `  A )  =  E )
10323ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  U  e.  (SubGrp `  G )
)
10426ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  A  e.  U )
105 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  v  e.  (SubGrp `  G )
)
106 simprl1 1000 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  i^i  v )  =  {  .0.  } )
10788adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  .(+)  v )  C.  U )
108107pssssd 3273 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  .(+)  v )  C_  U )
109 simprl3 1002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w ) )
11086adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( S  .(+)  v )  =  s )
111 psseq1 3263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( ( S  .(+)  v )  C.  y  <->  s  C.  y
) )
112111notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( -.  ( S  .(+)  v ) 
C.  y  <->  -.  s  C.  y ) )
113112imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( ( ( y  C.  U  /\  A  e.  y
)  ->  -.  ( S  .(+)  v )  C.  y )  <->  ( (
y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y
) ) )
114113ralbidv 2563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( A. y  e.  (SubGrp `  G
) ( ( y 
C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v ) 
C.  y )  <->  A. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y ) ) )
115 psseq1 3263 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  (
y  C.  U  <->  w  C.  U ) )
116 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  ( A  e.  y  <->  A  e.  w ) )
117115, 116anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  w  ->  (
( y  C.  U  /\  A  e.  y
)  <->  ( w  C.  U  /\  A  e.  w
) ) )
118 psseq2 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  w  ->  (
s  C.  y  <->  s  C.  w ) )
119118notbid 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  =  w  ->  ( -.  s  C.  y  <->  -.  s  C.  w ) )
120117, 119imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  w  ->  (
( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y )  <->  ( (
w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) ) )
121120cbvralv 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. y  e.  (SubGrp `  G
) ( ( y 
C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  s  C.  y )  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w ) )
122114, 121syl6bb 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( A. y  e.  (SubGrp `  G
) ( ( y 
C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v ) 
C.  y )  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w ) ) )
123110, 122syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  ( A. y  e.  (SubGrp `  G ) ( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v )  C.  y )  <->  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) ) )
124109, 123mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  A. y  e.  (SubGrp `  G )
( ( y  C.  U  /\  A  e.  y )  ->  -.  ( S  .(+)  v )  C.  y ) )
125 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) )
126 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
12728, 16, 5, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 103, 104, 105, 106, 108, 124, 125, 126pgpfac1lem4 15313 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
) )  /\  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) ) ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
128127expr 598 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
129128exlimdv 1664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  ( E. b  b  e.  ( U  \  ( S  .(+)  v ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) )
13092, 129mpd 14 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  /\  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
1311303exp2 1169 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  ->  ( ( S  .(+)  v )  =  s  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) ) )
132131imp3a 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
s  e.  (SubGrp `  G )  /\  (
s  C.  U  /\  A  e.  s )
) )  /\  v  e.  (SubGrp `  G )
)  ->  ( (
( S  i^i  v
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  v )  =  s )  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G )
( ( w  C.  U  /\  A  e.  w
)  ->  -.  s  C.  w )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) )
133132rexlimdva 2667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
( E. v  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  v )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  v )  =  s )  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) )
13483, 133syl5bi 208 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  ->  ( A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) ) )
135134imp3a 420 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( s  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( s  C.  U  /\  A  e.  s
) ) )  -> 
( ( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
13677, 135sylan2b 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } )  ->  (
( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
137136rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) }  ( E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  s )  /\  A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
13876, 137syl5 28 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  s )  /\  E. s  e.  { v  e.  (SubGrp `  G
)  |  ( v 
C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G
) ( ( w 
C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
13975, 138mpand 656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. s  e. 
{ v  e.  (SubGrp `  G )  |  ( v  C.  U  /\  A  e.  v ) } A. w  e.  (SubGrp `  G ) ( ( w  C.  U  /\  A  e.  w )  ->  -.  s  C.  w
)  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) ) )
14069, 139syld 40 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  C.  U  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
141950subg 14642 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G
) )
14219, 141syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G ) )
143142adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G
) )
14495subg0cl 14629 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .0.  e.  S )
14531, 144syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .0.  e.  S )
146145snssd 3760 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  {  .0.  }  C_  S )
147146adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  {  .0.  } 
C_  S )
148 sseqin2 3388 . . . . 5  |-  ( {  .0.  }  C_  S  <->  ( S  i^i  {  .0.  } )  =  {  .0.  } )
149147, 148sylib 188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  ( S  i^i  {  .0.  }
)  =  {  .0.  } )
15096lsmss2 14977 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  (SubGrp `  G )  /\  {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G )  /\  {  .0.  }  C_  S )  ->  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  S )
15131, 142, 146, 150syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  S )
152151eqeq1d 2291 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U  <->  S  =  U
) )
153152biimpar 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  ( S  .(+)  {  .0.  }
)  =  U )
154 ineq2 3364 . . . . . . 7  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( S  i^i  t
)  =  ( S  i^i  {  .0.  }
) )
155154eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  <->  ( S  i^i  {  .0.  } )  =  {  .0.  } ) )
156 oveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( S  .(+)  t )  =  ( S  .(+)  {  .0.  } ) )
157156eqeq1d 2291 . . . . . 6  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( ( S  .(+)  t )  =  U  <->  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U ) )
158155, 157anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( t  =  {  .0.  }  ->  ( ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U )  <->  ( ( S  i^i  {  .0.  }
)  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U ) ) )
159158rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( {  .0.  }  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( ( S  i^i  {  .0.  } )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  {  .0.  } )  =  U ) )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
160143, 149, 153, 159syl12anc 1180 . . 3  |-  ( (
ph  /\  S  =  U )  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G )
( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S 
.(+)  t )  =  U ) )
161160ex 423 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  =  U  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) ) )
16228mrcsscl 13522 . . . . 5  |-  ( ( (SubGrp `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  { A }  C_  U  /\  U  e.  (SubGrp `  G ) )  -> 
( K `  { A } )  C_  U
)
16322, 34, 23, 162syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K `  { A } )  C_  U
)
16416, 163syl5eqss 3222 . . 3  |-  ( ph  ->  S  C_  U )
165 sspss 3275 . . 3  |-  ( S 
C_  U  <->  ( S  C.  U  \/  S  =  U ) )
166164, 165sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  ( S  C.  U  \/  S  =  U
) )
167140, 161, 166mpjaod 370 1  |-  ( ph  ->  E. t  e.  (SubGrp `  G ) ( ( S  i^i  t )  =  {  .0.  }  /\  ( S  .(+)  t )  =  U ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152    C. wpss 3153   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    Or wor 4313   dom cdm 4689   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   [ C.] crpss 6276   Fincfn 6863   cardccrd 7568   Basecbs 13148   0gc0g 13400  Moorecmre 13484  mrClscmrc 13485  ACScacs 13487   Grpcgrp 14362  .gcmg 14366  SubGrpcsubg 14615   odcod 14840  gExcgex 14841   pGrp cpgp 14842   LSSumclsm 14945   Abelcabel 15090
This theorem is referenced by:  pgpfac1  15315
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-disj 3994  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-rpss 6277  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-0g 13404  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-eqg 14620  df-ga 14744  df-cntz 14793  df-od 14844  df-gex 14845  df-pgp 14846  df-lsm 14947  df-cmn 15091  df-abl 15092
  Copyright terms: Public domain W3C validator